高中数学论文：利用空间向量证明线面平行问题.doc

利用空间向量证明线面平行问题 向量是高中数学的新增内容，是一个具有代数与几何双重属性的量，为我们用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具。线面平行是立体几何的一个重要内容，是面面平行等内容的基础，也是学生学习的一个难点和重点，若我们能充分应用好向量这个工具的特点，发挥它的双重属性，能起到事半功倍的效果。一、应用空间共线向量定理：由平面外的一条直线和平面内一条直线共线，得到线面平行。例1 、（2004年天津）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点。证明：PA/平面EDB。 证明：如图所示建立空间直角坐标系D为坐标原点，设DC=a，连结AC，AC交BD于G，连结EG。依题意得A（a，0，0），P（0，0，a），E（0，）。底面ABCD是正方形，G是此正方形的中心，则点G的坐标为（，0），=（a，0，-a），=（，0，-）=2，PEG，PA/EG，而EG平面EDB，PA平面EDB，PA/平面EDB。二、应用向量平行于平面和空间向量共面定理，我们可得到如下的性质：如图，已知直线L不在平面内，取直线L上的任一非零向量，平面中存在两个不共线向量，若存在唯一的实数对1，2，使得=1+2，则L/。 证明：由=1+2知，与共面，因此/，由直线L不在平面内得到L/。例2 、已知平行四边形ABCD，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别为PC，PB的中点；求证：MN/面PAB。 证明：构造向量，和。 =（+）=（+）=（） MN/面PAB例3、 已知四边形ABCD是正方形，S是平面ABCD外一点，且SA=SB=SC=SD，SP:PD=1:2，SN: NA=2:1，SM:MC=2:1。求证：SB/平面PMN。 证明：如图，连结AC与BD交于O，连结SO，易证SO平面ABCD ，由四边形ABCD为正方形知BDAC，如图建立空间直角坐标系O-XYZ。构造向量，与，令BC= ，SO=1， 由题目已知可得坐标：O（0，0，0），S（0，0，1），A（0，-1，0），B（1，0，0），C（0，1，0），D(-1，0，0)，所以P（-，0，），M（0，），N（0，-，），则=（1，0，-1），=（，-，-），=（，-），所以=+，所以SB/平面PMN。 三、应用法向量：如果能证明平面外直线的方向向量垂直平面的法向量，得到线面平行。 例4 、已知四边形ABCD是正方形，S是平面ABCD外一点，且SA=SB=SC=SD，SP:PD=1:2，SN: NA=2:1，SM:MC=2:1，求证：SB/平面PMN。 证明：从例3可知=（1，0，-1），=（，-，-），=（，-），由，可得到平面PMN的法向量=（-1，0，1），则·=0，所以，得到SB/平面PMN。从上述问题中可以看到，在解决线面平行问题时一定要善于运用向量的代数属性，能融数形于一体的属性。通过代数的方法解决立体几何的空间问题，降低了立体几何的空间难度，给学生一个比较低的门槛，值得我们深入思考。