高中数学论文:应用三次函数的图像和性质解题.doc
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高中数学论文:应用三次函数的图像和性质解题.doc
应用三次函数的图像和性质解题函数是贯穿中学数学中的一条主线,每年高考对函数的考查所占比例都相当大。现行高中数学教材增加了导数内容后,各地高考及其模拟试题中,频频出现了以三次函数为背景,考查导数在三次函数的单调性、极值与最值问题中的应用。下面就对一元三次函数的图象与性质进行研究,并解决这类问题。一元三次函数的图像可分为两类:(一)在整个定义域内是单调的无极值的,其形状与类似;(二)在整个定义域内有3个单调区间(两增一减或两减一增)必有一个极大值和一个极小值。具体分析如下:设方程的判别式为,时方程的两个实数根记为(1) 当函数的单调增区间为;单调减区间为,在处取极大值;在处取极小值。大致图像如下面几种情形:xXyx1x2yxXx2x1yx1x2oXoXoXx(2)当,函数在上单调递增,无极值。图象与相类似, xXyXoX,当即时,图象都有一个对称中心,其中xXyXoXxXyXoXxX(3)当时,函数单调减区间为,单调增区间为,在处极小值,在处取极大值。图为:xXyXoXxXyXoXxXyXoX xXyXoXxXyXoX(4)当时,函数在上单调递减,无极值,图象与相类似,同理也有一个对称中心,其中。xXyXoX例题选讲例1已知其中,试判断a,b,s,t的大小 stabxXyXoX解:由可知它的图象与x轴有3个交点且的系数大于0,又由且,根据结论,可知的简图为由图可知:例2方程的实根的个数( )(A)3 (B)2 (C)1 (D)0 yXxXoX解析:,令又的系数大于0 1 3 由结论可知,函数的图象是先增后减的,且在取得极大值为,在处取得极小值为所以,方程实数根的个数只有一个,其中所以实根范围为。例3已知实数满足,则解析:,则,方程,的系数大于0,由结论可知函数在R上都是增函数,而由结论可知(1,3)是函数图象的对称中心。x13yo为图象上两点,即xyo例4已知函数若函数的图象上任意不同的两点的连线的斜率小于2,求a的取值范围yox解:,方程(i)时,函数简图如图:其中(0,b)是图象的对称中心,满足题意(ii)时,函数的简图如图:恒成立,即恒成立,综合(i)(ii),a的取值范围为。例5直线与函数的图象有相异的三个交点,求a的取值范围解:是一条平行于x轴(a=0时x轴重合)的直线,所以只需研究的图象变化即可,因为,由的方程的两根为-1,1,的系数大于0,由结论可以知,在上递增,在-1,1上递减,在上递增。,简图如下:-1-22xy1o 因为要使与函数的图象有相异的三个交点,必须有也容易看出:若无交点,; 若有一个交点或;若有两个交点或。例6若函数在区间(1,4)内为减函数,在区间内为增函数,试求:实数a的取值范围解:方程的两个根为,若a=2时,在整个定义域的单调增,所以不符合题意,故,又的系数大于0,函数图象应有3个单调区间且先增后减再增,由已知在(1,4)内减函数,在区间内为增函数,可知在x=1时取极大值,在x=a-1处取极小值。从而得到的简图a-1yxO 1由图可知:,所以a的取值范围为5,7。例7已知,在上是增函数,在上是减函数,且的一根是,(1)求c的值(2)求证:还有不同于的实数根,且成等差数列(3)若方程恰有一解,求的取值范围解:(1),由题意,函数在0处取到极大值,即c0(2) 方程的一个根为,故, ,方程的判别式为,且不是此方程的根,所以还有两个根,且,故成等差数列。(3)的解集为,的解集为,由题意,即,故 又方程只有一根,函数的简图如图:xy2bo2bxyo由图可知 或者。记,在时,所以在时为减函数,故,。