高中数学论文：一类距离最值问题的探究.doc

一类距离最值问题的探究 中学数学中的导数知识有着非常广泛的应用.例如我们可以应用导数的方法求函数的最值和单调区间，也可以用它来求二次曲线的切线和法线等.应用该方法，不仅能使解法简练，还能使问题得以拓展和深化.下面我们结合具体的问题，对解析几何中一类两点间距离的最小值问题作一探究和推广.引题：已知抛物线，点为抛物线上一点.为平面上 一定点，若到抛物线上的点的最短距离就是到的距离，求和. （注：本题由2005年高考浙江卷20题改编而得）解答：设抛物线上任一点，则 记 由于当时取最小值. 必有 ，即 又 探究：该解答关键是将两点的最短距离转化为求函数的最小值问题，进而利用导数 的知识加以解决.进一步研究发现，当我们将式变形为 后，点位置的几何特征非常明显，如果记抛物线 在点处的切线的斜率为，上式可写为 ，这就意味着与抛物线在点处的切线相互垂直.一、 定理的给出和证明通过上面的分析，我们可以得到一般性的一个结论：定理：已知函数在定义域上可导，为平面上一定点，函数不经过点,为函数图象上一点.则函数图象上的点与的最短距离是的必要条件是与函数图象上过点的切线垂直.（即是曲线上过点的法线）证明：设函数上动点，则 记 ，则 若存在使得最小，必有 即 所以与函数图象上过点的切线垂直.说明：（1）上面的定理给了我们一种当取最小值时求点坐标的方法，即从方程（写成该形式主要为避免某一条直线斜率不存在的情况）中解出，进而求出对应的点.（2）将定理中的函数改为一般的二次曲线，我们来研究一下结论是否一致.设动点，则 ，记 两边对求导可得 （隐函数求导方法）再令 因此定理对一般的二次曲线也成立.由此我们可以得到该定理的一个推论：推论1：已知为二次曲线上一点，为曲线外一定点.则曲线上的点与的最短距离是的必要条件是与曲线上过点的切线垂直.（即是 曲线上过点的法线）二、定理的应用应用上面的定理求解引题：过曲线上点的切线斜率为， 即 将代入抛物线方程得.同第一种解法比较，该解法简洁明了.我们再看下面这样一个问题：例1.平面上一定点，在抛物线上求点,使得是和抛物线上的点的距离的最小值.解：设， 过的抛物线的切线方程为 由切线与垂直，所以考虑到过的切线的斜率或的斜率可能不存在，所以 或 (1) 当时，点坐标唯一，即，此时取最小值.(2) 当时，点坐标有三组：，经检验 当时，取最小值.题后说明：（1）若解得的点坐标唯一，此时的点即为所求；（2）若解得的点坐标有多组解，这说明可能有多个极值，只需在这些极值中求出使得最小的点即可.三、定理的推广及应用定点与曲线上动点距离的最小值问题可以借助导数方法加以解决，对于两曲线上两动点距离的最小值这一初等数学较难解决的问题也可借助该方法加以解决.推论2 ：是曲线上一点，是曲线上一点，与无公共点.则是上一点与上一点的最短距离的必要条件是曲线上过点的法线与曲线上过点的法线重合.（以上的曲线指中学数学中的一次和二次曲线）证明：假设，使是两曲线上两点的最短距离.研究定点 与上任一点的最短距离，由于是所有到上的点的距离中最短的，根据推论1，必与曲线上过的切线垂直.同理，研究定点与上任一点的最短距离，也可得到必与曲线上过的切线垂直，因此同时是曲线的法线，即曲线上过点的法线必与曲线上过点的法线重合.下面我们运用推论2来解决具体的问题：例2. 已知曲线上一动点和曲线上一动点，当运动时，求的最小值并求出当取最小值时的坐标.分析：通过设的坐标，可写出上过的两条法线方程，利用法线方程相同 得到坐标之间的关系，进而求出坐标.解：设，是使达到最小值的两点.上过点的法线方程为 上过的切线方程为，法线方程为 .由推论2，两法线重合， 且 又 三式联立 或 或（舍，因）观察图形，要取最小值，点必在轴下方.故取 此时 或，另外，当，时，也同时是的法线，但综上所述或时取最小值.