农场规划问题求解模型论文.doc

农场规划问题求解模型【摘 要】公司承包农场建立奶牛场，要求获取最大收益，关键为制定合理的生产计划。本文通过对现实条件的解读归纳，建立非线性模型，求解出详细的生产计划和最大利润，并进行了更深入的讨论。首先，鉴于各年的生产计划相互关联，本文从影响农场收入和支出的各个方面引入多个决策变量及参数，以五年总收益最大为目标函数，并结合相应的奶牛数量限制、粮食和甜菜种植限制以及贷款金额的约束，建立非线性规划模型，利用Lingo软件求解出最大收益和各年具体的生产计划。其次，后续讨论中，根据条件要求，对于利率变化对最大收益及生产计划产生的影响，本文将不同的利率带入原模型进行求解分析；对于还款方式产生的影响则通过修改原模型中的约束条件进行分析；而对于农产品产量、价格及劳动力市场价格的变动产生的影响，利用Lingo进行灵敏度分析，得出最终结论。关键词：非线性规划 灵敏度分析 最大收益目录1问题重述11.1问题描述31.2需要解决的问题32问题分析33模型假设和符号说明44问题一的模型建立与求解64.1模型建立64.2模型求解和方案分析135问题二的求解146模型评价与改进166.1模型的优缺点166.2模型的改进167参考文献161问题重述1.1问题背景某公司承包了200亩的土地，农场起初拥有100头2-11岁的产奶牛和20头要饲养成产奶牛的幼牛，公司需要通过一次性贷款支付6万元每年的地租和120头牛的费用，承包结束时将按奶牛每头4000元和幼牛每头400元的价格抵卖，而产奶牛的数目与现在相比不能减少超过50%，也不能增加超过75%。题目需要规划五年的生产，使得总收益最大。产奶牛平均每头每年生1.1头牛，其中一半为公牛，生出后不久即卖掉，平均每头卖300元；另一半为母牛，可以在出生后不久卖掉，平均每头卖400元，也可以留下饲养，养至2岁成为产奶牛。幼牛年损失5%；产奶牛年损失2%。产奶牛养到满12岁就卖掉，平均每头卖1200元。一头牛所产的奶提供年收入3700元。现在农场最多只能养130头牛，超过此数每多养一头，要投资2000元。每头产奶牛每年消耗0.6吨粮食和0.7吨甜菜。每头小牛每年消耗粮食和甜菜量为奶牛的2/3。粮食和甜菜可以由农场种植出来，每亩产甜菜1.5吨，农场只有80亩的土地适于种粮食，产量平均0.9吨。从市场购粮食每吨900元，卖出750元。买甜菜每吨700元，卖出500元。另外养牛和种植所需的劳动量为：每头小牛每年10小时；每头产奶牛每年42小时；种一亩粮食每年需20小时；种一亩甜菜每年需30小时。其它费用情况为：每头幼牛每年500元，产奶牛每头每年1000元；种粮食每亩每年150元，种甜菜每亩每年100元。劳动力成本为每小时费用为10元。1.2需要解决的问题求解如何安排五年生产使总收益最大，并讨论银行利率波动、还贷方式改变、由于气候等外因变化引起的农产品产量与价格的变化及劳动力市场价格的变动等会对五年生产计划及收益产生的影响。2问题分析农场五年的生产计划是一个最优化问题，每年牛的数量和种植粮食和甜菜的面积决定着逐年的支出和收益，对此可建立净利润最大化的优化模型进行求解，然后再分析银行利率变化、市场价格变化、还款方式转变等对生产方案和最终盈利的影响。1农场经营费用来自于一次性贷款，每年偿还本息和的1/5；2第四、五年的出生所有幼牛由于在承包期内长不成奶牛将被卖掉；3. 农场每年的收益来自于牛奶提供的收入，卖出幼公牛和幼母牛获取的收入，和卖出多余粮食和甜菜的收入；4可建立最大化的非线性规划来求解五年的总收益，将逐年净收益相加为最大化的目标函数。5种粮食和甜菜均有利可图，种粮食平均盈利比种甜菜平均盈利大，可以先满足粮食产量再考虑甜菜的产量。3模型假设和符号说明3.1模型假设1. 假设幼牛在每年年初出生，于次年年初将12满岁的产奶牛卖掉，而且幼牛和产奶牛均在年底损失；2. 根据实际情况，牛的数量都为整数；3. 假设幼牛和产奶牛的损失数量按年龄均匀分布；4. 不考虑出生就卖掉的幼牛的一切费用；5. 农场200亩土地均可用来种植甜菜，饲养牛不占用土地；6. 农场的五年期的贷款数额为第一年的总开支；7. 不考虑市场购买或卖出甜菜和粮食，卖出幼牛和产奶牛的交易费用。3.2符号说明第k年的产奶牛数量第k年末的小母牛数量第k年初小母牛数量第k年末0岁的小母牛数量第k年末1岁的小母牛数量第k年没有变卖的小母牛数量第k年初卖出的小母牛数数量第k年初卖出的小公牛数数量第k年甜菜的种植面积第k年卖甜菜的数量第k年买甜菜的数量第k年粮食的种植面积第k年卖粮食的数量第k年买粮食的数量第k年的总收入第k年的饲养总成本（不包含地租和等额还款）第k年的净利润r贷款本金4问题一的模型建立和求解4.1 模型建立 五年的净利润等于总收入与总支出之差，本题每年的小牛数量和产奶牛数量都会变化，因此分别列出每年的收入及支出状况，继而求解总的净利润是必要的。农场各年经营状况如下：第一年：没有满12岁的牛，无需卖掉。 收入：支出：约束条件：种植面积限制：幼牛数量限制：粮食及甜菜买卖决定式：供需平衡：第二年：开始有满12岁的产奶牛，需要卖掉。收入：支出：约束条件：种植面积限制：幼牛数量限制：粮食及甜菜买卖决定式：供需平衡：第三年：收入：支出：约束条件：种植面积限制：幼牛数量限制：粮食及甜菜买卖决定式： 供需平衡：第四年：年初新出生的小牛到第5年底还未长到两岁，故全部卖掉。收入：支出：约束条件：种植面积限制：幼牛数量限制：粮食及甜菜买卖决定式：供需平衡：第五年：新出生的小牛同样需要卖掉，同时年末承包期满，产奶牛和幼牛全部出卖，产奶牛数量受到限制。收入：支出：约束条件：种植面积限制：幼牛数量限制：粮食及甜菜买卖决定式：供需平衡：五年公共所需贷款金额：其中，第一年初承包120头牛的费用：必须贷款，地租元有可能从当年收益中获得，故做谨慎估计模型的目标函数：4.2模型求解和方案分析 本文建立以影响农场第k年支出和收入的参数为决策变量，以五年总收益为最大目标函数的非线性回归模型，目标函数为：；决策变量有：卖出幼公牛头数，卖出幼母牛头数，留下的幼母牛头数，每年初小母牛的，拥有的产奶牛头数，粮食种植亩数，甜菜种植亩数，粮食购买吨数，甜菜购买吨数，卖出粮食吨数，卖出粮食吨数，卖出甜菜吨数；结合农产面积限制，牛群数量要求等约束条件，基于lingo软件建立规划模型求解出五年农场的最大净收益。在每一年中，由于题目繁杂的条件限制，尤其是小牛会长成产奶牛，每年可以自行选择出卖新生小母牛的数量，各年的收入、支出及约束条件会有相应调整，分开列式建模是合理化的。模型的第一个关键点，贷款金额R的试算。为使得净利润最大化，同时减轻每年末的贷款还款压力，考虑由两部分费用组成：一部分为承包农场所需的120头牛费用；另一部分为承包第一年能使得农场正常运转的最少费用（包括地租、贷款、饲养牛群费用），即为预期第一年获得的总支出和总收入之差。由此，求出的R为最优贷款数额。第二个关键点在于：每年种植的粮食、甜菜未知，而只有当种植的食物少于牛需要的数量时才会从市场上高价购买，相反则出售。所以首先，分别设出每年的粮食、甜菜购买量和卖出量，用 进行限制选择，巧妙避开在未知状态下人为做出买入食物还是卖出食物的选择。其次，根据供给等于需求的经济学平衡，有 令粮食和甜菜的种植、买卖选择问题得到有效解决。第三个关键点，农场最多只能养130头牛，超过此数每多养一头，要投资2000元。这里的额外投资为固定投资，但存在每年多出的牛中有重复计算的，需要剔除,否则额外投资变动较大。运用max函数，将次年与上一年的总牛数相减即可：。 综上所述，将模型输入lingo软件后求解得到局部最优解，得出农场五年期的贷款金额为贷：408000元；五年最大净利润为：758364元；农产五年的生产计划表如下：表一 农场五年生产方案变量年份k卖出幼公牛头数卖出幼母牛头数留下的幼母牛头数拥有的产奶牛头数粮食种植亩数甜菜种植亩数粮食购买吨数甜菜购买吨数卖出粮食吨数卖出甜菜吨数 1553718100801203.10094.4254054988012018.60074.238933561508012047.70040.44828201838012039.00050.5510310301888012040.70048.55年末1755.问题二的求解5.1问题分析与模型建立1.利率变动时我们采取直接调整模型中的利率上下变动2个百分点，分别为10%和14%，重新计算目标函数的解；2.还款方式变化时，我们以按年还息，到期还本为例，只需修改模型中对贷款金额R的约束为：3.假设劳动力市场价格不变时，直接分析，系数的灵敏度；对于粮食：的系数变化为一个单位时，产量的变化1/900。对于甜菜：产量变化1/750将导致的系数变化一个单位，由此可分析产量变化分别对目标函数值和最优解的影响；5.2 模型求解（1）当利率调低两个百分点即10%时，的目标函数为：贷款金额为：其他约束条件不变，求解得到的最优解为：最终总盈利758364元，贷款金额为408000，此时公司盈利变大，生产方案不发生变化；当利率调整为14%时，同理求解得到的最优解为：总盈利6535951元，贷款金额仍为408000，此时公司盈利减小。（2）还贷方式发生变化时，五年计划及收益也会随之发生改变。以按年还息，到期还本为例，经过计算，公司的最大利润为756289元。其五年的生产计划如下表：变量年份k卖出幼公牛头数卖出幼母牛头数留下的幼母牛头数年初小母牛总头数拥有的产奶牛头数粮食种植亩数甜菜种植亩数粮食购买吨数甜菜购买吨数卖出粮食吨数卖出甜菜吨数 1551441201008012012.40081.525405449988012027.50063.93100673301838012051.40036.1494940321708012042.80046.05103103001888012040.70048.55年末0175表二 改变还款方式后的五年生产计划（3）控制劳动力市场价格不变，仅有粮食产量变化或者甜菜产量的变化时，在lingo软件的range report的参数和原始变量的系数关系进行计算得出甜菜产量的变化区间：当只考虑甜菜产量变化时，甜菜的原产量为1.5，当甜菜产量的变动区间约为时，整个模型的最优基不变，模型仍可以得到局部最优解，五年的生产计划不变，此时农场仍可取得最大的净盈利，此时求得的最优解的范围是：元当只考虑粮食产量变化时，粮食的产量区间约为时，整个模型的最优基不发生改变，农场生产计划不会发生变化时仍可取得最大的净盈利为714588，而粮食增产时仍采取原来生产方案。（4）当只考虑劳动力市场价格变化时，劳动力如果变动将导致本模型的最优基发生变化，最优解也将发生变化。6.模型评价与改进6.1模型的优缺点优点：模型把握全局，以最大化的五年总净收益为目标函数；模型中目标函数包含了所有收益项目和支出项目的计算；将贷款金额作为决策变量之一进行建模。缺点：非线性变量过多，计算出的为局部最优解，增大灵敏度分析的难度；每年牛的头数应为整数，为了避免计算的难度，模型没有对所有牛的头数进行取整；模型没有考虑饲养每头牛所需的土地面积； 6.2模型改进可将目标函数中的smax()函数化为线性表示，将整个模型变为线性规划模型；可在lingo中使用GIN()函数对部分表达式进行取整；可更深入地挖掘和每年的具体细节限制或者去掉对模型计算结果影响不大的表达式项，从而简化模型；可查阅资料对杨每头牛的占地面积进行设定，将此参数加入模型的约束条件中。7参考文献1姜启源,谢金星,叶俊.数学模型（第三版）.高等教育出版社.2胡运权.运筹学教程.清华大学出版社.3吴祈宗.运筹学与最优化方法.机械工业出版社.附件：model:title 农场生产规划问题;!所有变量s(k)第k年的产奶牛数量x(k)第k年末的小母牛数量u(k)第k年初小母牛数量a(k,1)第k年末0岁的小母牛数量a(k,2)第k年末1岁的小母牛数量a(k,3)第k年没有变卖的小母牛数量m(k,1)第k年初卖出的小母牛数数量m(k,2)第k年初卖出的小公牛数数量t(k)第k年甜菜的种植面积f(k)第k年卖甜菜的数量b(k)第k年买甜菜的数量g(k)第k年粮食的种植面积h(k)第k年卖粮食的数量d(k)第k年买粮食的数量I(k)第k年的总收入C(k)第k年的总成本N(k)第k年的净利润R贷款本金;!Nk：第k年的净收益;sets:year/1,2,3,4,5,6/:x,u,f,t,b,g,h,d,s,N;age/1,2/;ag/1,2,3/;maichu(year,age):m;xiaoniu2(year,ag):a;endsets!第一组约束条件;s(1)=100;s(6)>=100*0.5;s(6)<=100*1.75;!牛的头数限制;a(4,3)=0;a(1,2)=10; u(1)=20;a(5,3)=0;for(year(i)|i#lt#6:x(i)=u(i)+a(i,3); !第i年年初小母牛数+本年留下的小母牛数=本年拥有的小母牛数;for(year(i)|i#lt#6:m(i,1)+m(i,2)<=s(i)*1.1);!卖出的小母牛和公牛数量限制;for(year(i)|(i#gt#1)#and#(i#le#6):s(i)=0.98*s(i-1)-10*0.98(i-1)+0.95*a(i-1,2);!每年产奶牛数量变化;for(year(i)|(i#gt#1)#and#(i#le#6):u(i)=0.95*x(i-1)-0.95*a(i-1,2);!年初小母牛损失后的总小母牛;for(year(i)|i#lt#6:m(i,1)=(1.1/2)*s(i)-a(i,3);!卖出的小母牛数量;for(year(i)|i#lt#6:m(i,2)=(1.1/2)*s(i);!卖出的小公牛数量=产出的小公牛数量;for(year(i)|i#lt#6:g(i)+t(i)<=200);!种植甜菜和粮食面积限制;for(year(i)|i#lt#6:g(i)<=80);!粮食面积限制;for(year(i)|i#lt#6:h(i)*d(i)=0);for(year(i)|i#lt#6:f(i)*b(i)=0);!粮食或甜菜卖出与买进的积为零;for(year(i)|i#lt#6:d(i)+0.9*g(i)=0.6*s(i)+0.6*(u(i)+a(i,3)*2/3+h(i);for(year(i)|i#lt#6:b(i)+1.5*t(i)=0.7*s(i)+0.7*(u(i)+a(i,3)*2/3+f(i);!甜菜或粮食数量与所需数量平衡;!第一年净收益;for(year(i)|i#eq#1:N(i)=3700*s(i)+400*m(i,1)+300*m(i,2)+750*h(i)+500*f(i)-(420*s(i)+100*u(i)+200*g(i)+300*t(i)+1000*s(i)+500*(u(i)+a(i,3)+150*g(i)+100*t(i)+900*d(i)+700*b(i)+smax(s(i)+u(i)+a(1,3)-130),0)*2000);!第二到四年年净收益;for(year(i)|(i#ge#2)#and#(i#lt#5):N(i)=3700*s(i)+400*m(i,1)+300*m(i,2)+750*h(i)+500*f(i)+10*(0.98(i-1)*1200-(420*s(i)+100*u(i)+200*g(i)+300*t(i)+1000*s(i)+500*(u(i)+a(i,3)+150*g(i)+100*t(i)+900*d(i)+700*b(i)+smax(smax(s(i)+u(i)+a(i,3)-130,0)-smax(s(i-1)+u(i-1)+a(i-1),3)-130,0),0)*2000);!第五年净收益;for(year(i)|i#eq#5:N(i)=3700*s(i)+400*m(i,1)+300*m(i,2)+750*h(i)+500*f(i)+10*0.98(i-1)*1200+4000*s(6)+10*(0.985)*1200+u(6)*400-(420*s(i)+100*u(i)+200*g(i)+300*t(i)+1000*s(i)+500*(u(i)+a(i,3)+150*g(i)+100*t(i)+900*d(i)+700*b(i)+smax(smax(s(i)+u(i)+a(i,3)-130,0)-smax(s(i-1)+u(i-1)+a(i-1),3)-130,0),0)*2000);!其他条件，对贷款资金的约束条件;R=(420*s(1)+100*u(1)+200*g(1)+300*t(1)+1000*s(1)+500*(u(1)+a(1,3)+150*g(1)+100*t(1)+900*d(1)+700*b(1)+smax(s(1)+u(1)+a(1,3)-130),0)*2000)-(3700*s(1)+m(1,1)*400+m(1,2)*300+h(1)*750+f(1)*500)+400000+20*400+60000+R*(1+0.12*5)*0.2;(420*s(1)+100*u(1)+200*g(1)+300*t(1)+1000*s(1)+500*(u(1)+a(1,3)+150*g(1)+100*t(1)+900*d(1)+700*b(1)+smax(s(1)+u(1)+a(1,3)-130),0)*2000)-(3700*s(1)+m(1,1)*400+m(1,2)*300+h(1)*750+f(1)*500)+60000+R*(1+0.12*5)*0.2>=0;!目标函数;Max=N(1)+N(2)+N(3)+N(4)+N(5)-R*(1+5*0.12)-60000*5;endsolution report： Local optimal solution found. Objective value: 694751.1 Total solveR iteRations: 8 VaRiable Value Reduced Cost ES1 100.0000 0.000000 M10 0.000000 3404.475 M11 55.00000 0.000000 H1 0.000000 0.000000 F1 0.000000 0.000000 U1 20.00000 0.000000 G1 0.000000 0.000000 T1 60.76923 0.000000 A13 55.00000 0.000000 D1 90.00000 0.000000 B1 13.84616 0.000000 ES2 97.70000 0.000000 M20 0.000000 1178.395 M21 53.73500 0.000000 H2 0.000000 0.000000 F2 57.71700 0.000000 U2 61.75000 0.000000 G2 80.00000 0.000000 T2 120.0000 0.000000 A23 53.73500 0.000000 D2 32.81400 0.000000 B2 0.000000 0.000000 M30 87.61320 0.000000 M31 107.7190 0.000000 H3 0.000000 0.000000 F3 33.52036 0.000000 ES3 195.8527 0.000000 U3 0.000000 2512.346 G3 80.00000 0.000000 T3 120.0000 0.000000 A33 20.10581 0.000000 D3 53.55397 0.000000 B3 0.000000 0.000000 M40 100.3881 0.000000 M41 100.3881 0.000000 H4 0.000000 0.000000 F4 43.31978 0.000000 ES4 182.5238 0.000000 U4 19.10052 0.000000 G4 80.00000 0.000000 T4 120.0000 0.000000 A43 0.000000 0.000000 D4 45.15447 0.000000 B4 0.000000 0.000000 ES5 187.7951 0.000000 M50 103.2873 0.000000 M51 103.2873 0.000000 H5 0.000000 0.000000 F5 48.54342 0.000000 ES6 175.0000 0.000000 U6 0.000000 6252.845 U5 0.2500300E-06 0.000000 G5 80.00000 0.000000 T5 120.0000 0.000000 A53 0.000000 0.000000 D5 40.67707 0.000000 B5 0.000000 0.000000 R 408000.0 0.000000 A1 75.00000 0.000000 A2 115.4850 0.000000 A3 20.10581 0.000000 A4 19.10052 0.000000 A5 0.2500300E-06 0.000000 A11 10.00000 0.000000 A21 115.4850 0.000000 A31 0.000000 548.9675 A41 19.10052 0.000000 A51 0.000000 3070.942 Range Report： Ranges in which the basis is unchanged: Objective Coefficient Ranges CuRRent Allowable Allowable VaRiable Coefficient IncRease DecRease M10 400.0000 3404.475 INFINITY H1 NONLINEAR INFINITY INFINITY F1 NONLINEAR INFINITY INFINITY G1 -350.0000 0.0 INFINITY T1 -400.0000 -1690.000 616.9821 A13 NONLINEAR INFINITY 3404.475 D1 NONLINEAR 0.0 8511.188 B1 NONLINEAR 435.8980 -1126.667 M20 400.0000 1178.395 INFINITY H2 NONLINEAR INFINITY INFINITY F2 NONLINEAR 73.33333 233.3333 U2 NONLINEAR INFINITY 3583.658 G2 -350.0000 INFINITY 110.0000