数学高考基础知识 常见结论详解(三) 八 导 数.doc

数学高考基础知识、常见结论详解（三）八、导 数考试要求：(1)了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。(2)熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数。(3)理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。基本概念：求导数的方法：（1）常用的导数公式：(c)/=0 这里c是常数。即常数的导数值为。 (xn)/=nxn1 特别地：(x)/=1 (x1)/= ( )/=x-2 (sinx)´=cosx, (cosx)´=-sinx ， ， ， （2）两个函数四则运算的导数：(u±v)´=u´±v´ (uv)´=u´v+uv´ （v 0） (cu)´=cu´（3）复合函数的导数： 导数的几何物理意义：kf/(x0)表示过曲线y=f(x)上的点P(x0,f(x0)的切线的斜率。Vs/(t)表示即时速度。a=v/(t)表示加速度。导数的应用：求切线的斜率。导数与函数的单调性的关系 与 为增函数的关系。 能推出 为增函数，但反之不一定。如函数 在 上单调递增，但 ， 是 为增函数的充分不必要条件。 时， 与 为增函数的关系。若将 的根作为分界点，因为规定 ，即抠去了分界点，此时 为增函数，就一定有 。当 时， 是 为增函数的充分必要条件。 与 为增函数的关系。 为增函数，一定可以推出 ，但反之不一定，因为 ，即为 或 。当函数在某个区间内恒有 ，则 为常数，函数不具有单调性。 是 为增函数的必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。单调区间的求解过程，已知 （1）分析 的定义域;（2）求导数 （3）解不等式 ，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式 ，解集在定义域内的部分为减区间。我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以上关系，才能准确无误地判断函数的单调性。以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数 在某个区间内可导。求极值、求最值。注意：极值最值。函数f(x)在区间a,b上的最大值为极大值和f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个。f/(x0)0不能得到当x=x0时，函数有极值。但是，当x=x0时，函数有极值 f/(x0)0判断极值，还需结合函数的单调性说明。4.导数的常规问题：（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于 次多项式的导数问题属于较难类型。注：1关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。九、排列组合与二项式定理考试要求：(1)掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。(2)理解排列的意义.掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题。(3)理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质.并能用它们解决一些简单的应用问题。(4)掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题。基本概念：计数原理加法原理：N=n1+n2+n3+nM (分类) 乘法原理：N=n1·n2·n3·nM (分步)排列（有序）与组合（无序）Anm=n(n1)(n2)(n3)(nm+1)= Ann =n!Cnm = Cnm= CnnmCnmCnm1= Cn+1m+1 kk!=(k+1)!k!排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素. 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.捆绑法（集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑）插空法（解决相间问题）间接法和去杂法等等在求解排列与组合应用问题时，应注意：(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题；(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；(4)列出式子计算和作答.经常运用的数学思想是：分类讨论思想；转化思想；对称思想.二项式定理：(a+b)n=Cn0ax+Cn1an1b1+ Cn2an2b2+ Cn3an3b3+ Cnranrbr+ Cn n1abn1+ Cnnbn特别地：(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+Cnrxr+Cnnxn通项为第r+1项：Tr+1= Cnranrbr 作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。主要性质和主要结论：对称性Cnm=Cnnm 最大二项式系数在中间。（要注意n为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项）所有二项式系数的和：Cn+Cn1+Cn2+ Cn3+ Cn4+Cnr+Cnn=2n奇数项二项式系数的和偶数项而是系数的和Cn+Cn+Cn+ Cn+ Cn+Cn+Cn+Cn+ Cn+ Cn+=2n-15. 注意二项式系数与项的系数（字母项的系数，指定项的系数等，运算结果的系数）的区别，在求某几项的系数的和时注意赋值法的应用。6二项式定理的应用：解决有关近似计算、整除问题，运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。十、概 率考试要求：(1)了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义。(2)了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率。(3)了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率。(4)会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生次的概率。基本概念：1必然事件 P(A)=1，不可能事件 P(A)=0，随机事件的定义 0<P(A)<1。2.等可能事件的概率：（古典概率）P(A)= 理解这里m、的意义。互斥事件：A、B互斥，即事件A、B不可能同时发生，这时P(A+B)=P（A）+ P(B)对立事件：A、B对立，即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生。这时P（A）+ P(B)独立事件：（事件A、B的发生相互独立，互不影响）P(AB)P(A) P(B)独立重复事件（贝努里概型）：Pn(K)=Cnkpk(1p)n-k 表示事件A在n次独立重复试验中恰好发生了k次的概率。P为在一次独立重复试验中事件A发生的概率。特殊：令k=0得：在n次独立重复试验中，事件A没有发生的概率为Pn()=Cn0p0(1p)n =(1p)n令k=n得：在n次独立重复试验中，事件A全部发生的概率为Pn(n)=Cnnpn(1p)0 =pn十一、概率与统计考试要求：(1)了解离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列。(2)了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差。(3)会用随机抽样、系统抽样、分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本。(4)会用样本频率分布去估计总体分布(5)了解正态分布的意义及主要性质。(6)了解线性回归的方法和简单应用基本概念：1、随机变量和随机事件随机变量是将随机事件数量化。随机变量 是和基本随机事件集合A（随机事件）互相对应的。随机变量 的取值x1,x2，是和A中的基本事件A1，A2，一一对应的；随机变量 中的每个取值x1,x2，的概率P( =x1), P( =x2)，分别等于基本随机事件A1，A2，所发生的概率P(A1), P(A2), 。随机变量 不但有取值范围，而且还要有取值的概率，这是和通常的变量所不同的地方。2、离散型随机变量的分布列和排列组合：要求离散型随机变量 的分布列，就要求出概率P( =xi)(i=1,2,)，而P( =xi)P(Ai)，要求基本事件Ai的概率就要运用等可能事件的概率，排列组合，分类计数原理，分步计数原理等知识和方法，二项分布中还用到二项式定理，因此，求解离散型随机变量分布列的问题往往需要综合运用排列组合，概率等知识和方法。3、随机变量 的分布列是用来定义、计算期望E 和方差D 的先决条件。期望、方差性质的证明以及常用分布的期望和方差公式的推导都需要用上随机变量的分布列。如果掌握了E 、D 的性质及常用分布期望和方差的计算方式，可不求出 的分布列也能求某些随机变量的期望和方差。4、方差和期望之间有密切关系，按定义求随机变量 的方差D ，必先求得 的期望E ，方差D 描述的是随机变量 取值与E 的离散程度。方差D 也是随机变量 的期望，事实上， 。注：基本数学思想的掌握(1)数学建模思想：对于实际生活中的随机现象的研究，第一步引进了随机事件及其概率，找到了常见的随机事件的概率的计算方法和公式；第二步将随机事件再抽象为随机变量，建立纯数学模型，使对随机现象的研究进一步数学化，对一门自然学科的研究，只有当数学在其中能运用自如，使其数学化了时，才算最后成熟。(2)整体思想：随机变量的概率分布反映了随机变量在各个范围内取值的概率大小，从整体上反映了随机变量取值的概率的变化规律。(3)概率思想：随机变量的期望和方差是从整体和全局上分别描述随机变量取值的平均水平和离散程度的，它是随机变量的重要特征值，它是以随机变量的概率分布列为前提的，而概率分布列中每一个值都有相应的概率，所以要理解、计算期望和方差，离不开概率和概率思想。(4)抽象概括的思想：随机变量的期望和方差的概念是由大量具体的实例抽象概括出来的，特别是对于服从两点分布和二项分布的随机变量的期望和方差，还能得出解的计算公式。5、抽样方法：1简单随机抽样：包括随机数表法，标签法；2系统抽样 3分层抽样。 简单随机抽样：设一个总体的个数为N。如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样。简单随机抽样常用的方法有：抽签法和随机数表法。系统抽样：将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这样抽样叫做系统抽样，也称为机械抽样。分层抽样：当已知总体是由差异明显的几个部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫做层。6、分布的估计总体分布：随着试验次数的不断增加，试验结果的频率值在相应概率值附近摆动。当试验次数无限增大时，频率值就变成相应的概率了。此时，随着样本容量无限增大其频率分布也就会排除抽样误差，精确地反映总体的概率分布规律，通常称为总体分布。总体分布反映的是总体在各个范围内取值的概率，这种分布一般我们是不知道的，所以用样本分布估计总体分布，对于每个个体所取不同数值较少的总体，常用条形图表示其样本分布；而对于每个个体所取不同数值较多或可以在实数区间内取值的总体，常用频率分布直方图表示其样本分布。7、正态总体：在连续型总体中，应用最为广泛的是一种呈正态分布的总体，简称正态总体。正态总体的概率密度函数是f(x)= (xR)式中的实数 是参数，分别表示总体的平均值与标准差。正态总体常记为N( )，它的密度曲线简称为正态曲线。8、总体特征数的估计样本平均数： 样本方差：S2= (x1 )2+(x2 )2+ (x3 )2+(xn )2样本标准差：s= 作用：估计总体的稳定程度理解频率直方图的意义，会用样本估计总体的期望值和方差，用样本频率估计总体分布。9、线性回归对n个样本数据(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn)，其回归直线方程，或经验公式为,y=ax+b，其中a= , b= , 分别是xi, yi的平均数。十二、极 限考试要求：(1)理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。(2)了解数列极限和函数极限的概念。(3)掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限。(4)了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质。基本概念：（一）数列极限的定性描述：1数列极限的定性描述：如果当数列an的项数n无限增大时，数列的项an无限趋近于常数A，那么就说数列an以A为极限。记作 。2数列极限的定量描述：设an是一个无穷数列，A是一个常数。如果对于预先给定的任意小的正数，总存在正整数N，使得n>N时，有|an-A|<恒成立，那么就说：n 时，数列an以A为极限，记作： 。3几何描述： 点A的2邻域(A-, A+)内，含有an的无穷多个项aN+1, aN+2, ，而区间外，至多有an的有限项a1, a2, aN。说明：（1）无穷数列是数列存在极限的必要不充分条件。数列不一定存在极限。（2）an A的方式是多种形式的，如 。4数列极限的几个重要结论。（1）若数列有极限则唯一（2）公差不为零的等差数列无极限，常数列C有 。（3）对于公比为q的等比数列：当|q|>1时，数列无极限当|q|<1时，数列有极限，（ （|q|<1且q0）5无穷递缩等比数列各项和 （|q|<1且q0）6极限的运算法则（以后仍适用于函数的极限）如果 那么： 注：以上法则可以推广到有限多个。（二）函数的极限1当x时，函数f(x)极限（1） f(x)=a 当自变量x取正值并且无限增大时，f(x)a（2） 当自变量x取负值并且绝对值无限增大时，f(x)a（3） 设函数f(x)的定义域是正、负无界的，如果对于预先给定的任意小的>0,存在M>0，当|x|>M时，不等式|f(x)-a|<恒成立（a是常数），那么就说x时，f(x)的极限是a。注意： 2当xx0时，函数f(x)的极限。（1） 当x从点x0左侧(x<x0)且xx0时，f(x)a（2） 当x从点x0右侧(x>x0)且xx0时，f(x)a（3） 设函数f(x)在x0的邻域(x0-b,x0)(x0, x0+b)(b>0)内有定义，如果对于预先给定的任意小的>0,都存在 >0，当0<|x-x0|< 时，不等式|f(x)-a|<恒成立，(a是常数)，那么，就说xx0时,f(x)的极限是a。注意： 3两个重要极限（1） （2） （三）函数的连续性：1函数的连续性定义（1）如果函数f(x)在点x=x0处及其附近有定义，且 ，那么f(x)在点x0处连续。（2）如果函数f(x)在点x=x0处及其左侧（或右侧）有定义，而且 （或者 ），那么，f(x)在点x0处左连续（右连续）。（3）若f(x)在(a,b)内每一点都连续，且在a点右连续，b点左连续，则称f(x)在闭区间a,b上连续。2运算：（1）若f(x)，g(x)在x0点处连续，则f(x)±g(x)，f(x)·g(x)， 也在x0处连续。（2）在 在点x0处连续，且f(u)在 处连续，则复数函数 在点x0处也连续。3初等函数的连续性：（1）正比例函数，反比例函数，一（二）次函数，幂、指、对数函数，三角、反三角函数都属于基本初等函数，基本初等函数在定义域里每一点处都连续。（2）基本初等函数及常数经有限次四则运算得到的函数都是初等函数，初等函数在其定义域里每一点处的极限值都等于该点的函数值。说明：f(x)在x0处连续与f(x)在点x0处有极限的联系与区别：联系：f(x)在点x0处连续是依据f(x)在x0处的极限来定义的，它要求 存在。区别：f(x)在点x0处连续比在此点处有极限所具备的条件要强：首先 存在时，x0可以属于或不属于f(x)的定义域，即与f(x0)是否有意义无关；而f(x)在x0处连续，要求f(x)在点x0及其附近都要有意义。其次f(x)在点x0处的极限值与f(x)在点x0处的函数值f(x0)要相等。综上：连续必有极限，而有极限未必连续。函数f(x)在点x0处连续的三个条件缺一不可：其一：f(x)在点x0处有定义；其二：f(x)在点x0处有极限，其三： 。从运算角度，连续函数在某一点x0处的极限运算与函数关系“f”可以交换顺序。十三、数系的扩充复数考试要求：(1) 了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义。(2) 掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算。 (3) 了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想。基本概念：1. 形如a+bi(a,bR)的数称为复数。说明：这里a,bR容易忽视但却是列方程求复数的重要依据。2. 相等 复数不能比大小，除非它们都是实数。3. 几何意义复数 4. 运算(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i复数除法通常上下同乘分母的共轭复数。5. 共轭复数 注意：以上考试要求均参考2005年考试大纲。10