【名校精品】数学高考复习第7讲 正弦定理、余弦定理及其实际应用 (2).doc
名校精品资料数学第7讲正弦定理、余弦定理及其实际应用基础巩固1.(2013·北京,文5)在ABC中,a=3,b=5,sin A=,则sin B=()A.B.C.D.1答案:B解析:根据正弦定理,则sin B=sin A=,故选B.2.已知圆的半径为4,a,b,c为该圆的内接三角形的三边,若abc=16,则内接三角形的面积为()A.2B.8C.D.来源:www.shulihua.net答案:C解析:=2R=8,sin C=.SABC=absin C=abc=×16.3.已知A,B两地的距离为10 km,B,C两地的距离为20 km,现测得ABC=120°,则A,C两地间的距离为()A.10 kmB. kmC.10 kmD.10 km答案:D解析:利用余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos 120°=102+202-2×10×20×=700,故AC=10(km).4.下列判断中正确的是()A.ABC中,a=7,b=14,A=30°,有两解B.ABC中,a=30,b=25,A=150°,有一解C.ABC中,a=6,b=9,A=45°,有两解D.ABC中,b=9,c=10,B=60°,无解答案:B解析:A:a=bsin A,有一解;B:A>90°,a>b,有一解;C:a<bsin A,无解;D:c>b>csin B,有两解.5.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2c2=2a2+2b2+ab,则ABC是()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形答案:A解析:2c2=2a2+2b2+ab,a2+b2-c2=-ab.cos C=-<0.则ABC是钝角三角形.故选A.6.已知ABC三内角A,B,C所对的三边长分别为a,b,c,且面积SABC=(b2+c2-a2),则角A等于()A.45°B.30°C.120°D.15°答案:A解析:由SABC=(b2+c2-a2)=bcsin A,得sin A=cos A,故A=45°.7.(2013·陕西,文9)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则ABC的形状为()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定答案:A解析:,sin Bcos C+sin Ccos B=sin Asin A,即sin(B+C)=sin2A,即sin A=1,A=,故选A.8.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若(b-c)cos A=acos C,则cos A=. 来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net答案:解析:由(b-c)cos A=acos C,得(b-c)·=a·,即,由余弦定理,得cos A=.9.已知ABC的三边长成公比为的等比数列,则其最大角的余弦值为. 答案:-解析:设ABC的最小边长为a(m>0),则其余两边长为a,2a,故最大角的余弦值是cos =-.10.某船以每小时15 km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向,行驶4 h后,船到B处,看到这个灯塔在北偏东15°方向,这时船与灯塔的距离为km. 答案:30解析:如图所示,依题意有AB=15×4=60,MAB=30°,AMB=45°,在AMB中,由正弦定理得,解得BM=30(km)11.(2013·江西,文17)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin Asin B+sin Bsin C+cos 2B=1.(1)求证:a,b,c成等差数列;(2)若C=,求的值.解:(1)由已知得sin Asin B+sin Bsin C=2sin2B,因为sin B0,所以sin A+sin C=2sin B.由正弦定理,有a+c=2b,即a,b,c成等差数列.(2)由C=,c=2b-a及余弦定理得(2b-a)2=a2+b2+ab,即有5ab-3b2=0,所以.12.在ABC中,内角A,B,C所对的边长分别是a,b,c.(1)若c=2,C=,且ABC的面积为,求a,b的值;(2)若sin C+sin(B-A)=sin 2A,试判断ABC的形状.解:(1)c=2,C=,由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,得a2+b2-ab=4.又ABC的面积为,absin C=,ab=4.联立方程组解得a=2,b=2.(2)由sin C+sin(B-A)=sin 2A,得sin(A+B)+sin(B-A)=2sin Acos A,即2sin Bcos A=2sin Acos A,cos A·(sin A-sin B)=0,从而cos A=0或sin A-sin B=0,当cos A=0时,0<A<,A=,ABC为直角三角形;当sin A-sin B=0时,得sin B=sin A,由正弦定理得a=b,即ABC为等腰三角形.ABC为等腰三角形或直角三角形.13.某单位在抗雪救灾中,需要在A,B两地之间架设高压电线,测量人员在相距6 km的C,D两地测得ACD=45°,ADC=75°,BDC=15°,BCD=30°(如图,其中A,B,C,D在同一平面上),假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因,实际所需电线长度大约应该是A,B之间距离的1.2倍,问施工单位至少应该准备多长的电线?解:在ACD中,ACD=45°,CD=6,ADC=75°,所以CAD=60°.因为,所以AD=2.在BCD中,BCD=30°,CD=6,BDC=15°,所以CBD=135°.因为,所以BD=3.又因为在ABD中,BDA=BDC+ADC=90°,所以ABD是直角三角形.所以AB=.所以电线长度至少为l=1.2×AB=(km).故施工单位至少应该准备长度为km的电线.来源:www.shulihua.net拓展延伸14.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cos A=,sin B=cos C.来源:www.shulihua.net(1)求tan C的值;(2)若a=,求ABC的面积.解:(1)因为0<A<,cos A=,得sin A=,又cos C=sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=cos C+sin C.所以tan C=.(2)由tan C=,得cos C=,sin C=.于是sin B=cos C=.由a=及正弦定理,得c=.设ABC的面积为S,则S=acsin B=.来源:数理化网
