【名校精品】数学高考复习第8讲 函数与方程 (2).doc
名校精品资料数学第8讲函数与方程基础巩固1.下列函数图象与x轴均有公共点,其中能用二分法求零点的是()答案:C解析:能用二分法求零点的函数必须在给定区间a,b上连续不断,并且有f(a)·f(b)<0,A,B选项中不存在f(x)<0,D选项中零点两侧函数值同号,故选C.2.函数f(x)=lg x-的零点所在的区间是()A.(0,1B.(1,10C.(10,100D.(100,+)答案:B解析:由于f(1)·f(10)=(-1)×<0,根据二分法得函数f(x)=lg x-在区间(1,10内存在零点.来源:www.shulihua.net3.(2014届湖南长沙检测)已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为()A.,0B.-2,0C.D.0答案:D解析:当x1时,由f(x)=2x-1=0,解得x=0;当x>1时,由f(x)=1+log2x=0,解得x=,又因为x>1,所以此时方程无解.综上,可知函数f(x)的零点只有0.来源:www.shulihua.net4.函数f(x)=x3-2x2-x+2的零点个数为()A.0B.1C.2D.3答案:D解析:f(x)=x2(x-2)-(x-2)=(x-2)(x2-1),函数f(x)有三个零点1,-1,2.5.根据表格中的数据,可以断定函数f(x)=ex-x-2的一个零点所在的区间是()x+2来源:www.shulihua.net123来源:www.shulihua.net45x-10123ex0.3712.727.3920.09A.(-1,0)B.(1,2)C.(0,1)D.(2,3)答案:B解析:f(1)=2.72-3<0,f(2)=7.39-4>0,f(1)f(2)<0.故由零点存在性定理知函数f(x)的一个零点所在的区间是(1,2).6.设函数f(x)=x3+bx+c(b>0,-1x1),且f·f<0,则方程f(x)=0在区间-1,1内()A.可能有3个实数根B.可能有2个实数根C.有唯一的实数根D.没有实数根答案:C解析:f(x)=x3+bx+c(b>0),f'(x)=3x2+b>0.故函数f(x)在区间-1,1上为增函数.又f·f<0,方程f(x)=0在区间-1,1上有实数根且只有一个.7.方程|x2-2x|=a2+1(a>0)的解的个数是()A.1B.2C.3D.4答案:B解析:a>0,a2+1>1.而函数y=|x2-2x|的图象如图,y=|x2-2x|的图象与y=a2+1的图象总有两个交点.方程|x2-2x|=a2+1(a>0)有两解.8.定义在R上的奇函数f(x)满足:当x>0时,f(x)=2 014x+log2 014x,则在R上,函数f(x)零点的个数为. 答案:3解析:函数f(x)为R上的奇函数,因此f(0)=0,当x>0时,函数f(x)=2 014x+log2 014x在区间内存在一个零点,又f(x)为增函数,因此其在(0,+)内有且仅有一个零点.根据对称性可知函数f(x)在(-,0)内有且仅有一个零点,从而函数f(x)在R上的零点的个数为3.9.已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x-1的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是. 答案:x1<x2<x3解析:令x+2x=0,即2x=-x,设y=2x,y=-x;令x+ln x=0,即ln x=-x,设y=ln x,y=-x.在同一平面直角坐标系内画出函数y=2x,y=ln x,y=-x的图象,如图,易知x1<0<x2<1.令x-1=0,则()2-1=0,解得,即x3=>1,所以x1<x2<x3.10.已知方程2x-1+2x2-a=0有两根,则a的取值范围是. 答案:解析:原方程可化为2x-1=-2x2+a,在同一平面直角坐标系内作出函数y=2x-1和y=-2x2+a的图象,如右图,要使方程有两根,必须两个函数的图象有两个交点.由于函数y=2x-1的图象与y轴的交点是,所以,当a=时,抛物线的顶点与指数函数在y轴的交点重合;当a>时,它们必有两个交点.故所求a的取值范围是.11.判断函数f(x)=4x+x2-x3在区间-1,1上零点的个数,并说明理由.解:因为f(-1)=-4+1+=-<0,f(1)=4+1->0,所以f(x)在区间-1,1上有零点.又f'(x)=4+2x-2x2=-2,当-1x1时,0f'(x),所以f(x)在区间-1,1上单调递增.所以f(x)在区间-1,1上有且只有一个零点.12.已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,求m的取值范围,并求出该零点.解:函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,即方程(2x)2+m·2x+1=0仅有一个实根.设2x=t(t>0),则t2+mt+1=0.当=0,即m2-4=0,m=-2时,t=1;m=2时,t=-1(不合题意,舍去),2x=1,x=0符合题意.当>0,即m>2或m<-2时,t2+mt+1=0有两正根或两负根,即函数f(x)有两个零点或没有零点.这种情况不符合题意.综上可知,m=-2时,函数f(x)有唯一零点,该零点为x=0.13.m为何值时,函数f(x)=x2+2mx+3m+4:(1)有且仅有一个零点;(2)有两个零点且均比-1大.解:(1)函数f(x)=x2+2mx+3m+4有且仅有一个零点方程f(x)=0有两个相等实根=0,即4m2-4(3m+4)=0,即m2-3m-4=0,解之可得m=4或m=-1.(2)方法一:设函数f(x)的两个零点分别为x1,x2,则x1+x2=-2m,x1·x2=3m+4.由题意,知来源:www.shulihua.net因此-5<m<-1.故m的取值范围为(-5,-1).方法二:由题意,知即解之可得-5<m<-1.故m的取值范围为(-5,-1).拓展延伸14.若函数f(x)=x3-3x+2,(1)求函数f(x)的零点;(2)求分别满足f(x)<0,f(x)=0,f(x)>0的x的取值范围;(3)画出函数f(x)的大致图象.解:f(x)=x3-3x+2=x(x-1)(x+1)-2(x-1)=(x-1)(x2+x-2)=(x-1)2(x+2).(1)令f(x)=0,得函数f(x)的零点为x=1或x=-2.(2)令f(x)<0,得x<-2;令f(x)>0,得-2<x<1或x>1,所以满足f(x)<0的x的取值范围是(-,-2);满足f(x)=0的x的取值范围是1,-2;满足f(x)>0的x的取值范围是(-2,1)(1,+).(3)函数f(x)的大致图象如图所示.
