【名校精品】数学高考复习第5讲　数列的综合应用 (2).doc

名校精品资料数学第5讲数列的综合应用基础巩固1.现有200根相同的钢管,把它们堆成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能少,那么剩余钢管的根数为()A.9B.10C.19D.29答案:B解析:200,而满足200的最大的n=19,又当n=19时,=190,200-190=10.2.把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表,设aij(i,jN*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数,如a42=8,若aij=2 015,则i与j的和为()来源:www.shulihua.netA.109B.110C.111D.112答案:B解析:由数表知,第一行1个奇数,第3行3个奇数,第5行5个奇数,第61行61个奇数,前61行用去1+3+5+61=961个奇数.而2 015是第1 008个奇数,故应是第63行第47个数,即i+j=63+47=110.3.已知等差数列an的前n项和为Sn,且S2=10,S5=55,则过点P(n,an)和Q(n+2,an+2)(nN*)的直线的斜率是()A.4B.3C.2D.1答案:A解析:S2=10,S5=55,a1+a2=10,=55,即a5-a2=3d=12,解得d=4.因此过点P(n,an)和Q(n+2,an+2)(nN*)的直线的斜率k=d=4,应选A.4.某林厂年初有森林木材存量S m3,木材以每年25%的增长率生长,而每年末要砍伐固定的木材量x m3,为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%,则x的值是()A.B.C.D.答案:C解析:一次砍伐后木材的存量为S(1+25%)-x;二次砍伐后木材的存量为S(1+25%)-x(1+25%)-x.由题意知S-x-x=S(1+50%),解得x=.5.某纯净水厂在净化过程中,每增加一次过滤可减少水中杂质的20%,要使水中杂质减少到原来的5%以下,则至少需过滤的次数为(lg 20.301 0)()A.5B.10C.14D.15答案:C来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net解析:设水中原杂质量为1,则各次过滤杂质量成等比数列,n为过滤次数,于是a1=1-20%,公比q=1-20%,因此an=(1-20%)n;由题意可知(1-20%)n<5%,即0.8n<0.05.两边取对数得nlg 0.8<lg 0.05,lg 0.8<0,n>,即n>13.41.又n为过滤次数,故取n=14.6.某运载火箭在点火第一秒通过的路程为2 km,以后每秒通过的路程都增加2 km,在到达离地面240 km的高度时,火箭与飞船分离,则这一过程需要的时间大约是()A.10秒B.13秒C.15秒D.20秒来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net答案:C解析:设每一秒通过的路程依次为a1,a2,a3,an,则数列an是首项为a1=2,公差为d=2的等差数列,由求和公式得na1+=240,即2n+n(n-1)=240,解得n=15.故选C.7.已知数列an满足3an+1+an=4,且a1=9,其前n项之和为Sn,则满足不等式|Sn-n-6|<的最小整数n是()A.5B.6C.7D.8答案:C来源:www.shulihua.net解析:由递推公式变形得3(an+1-1)=-(an-1),所以an-1为等比数列,且公比为-,首项为8.所以an-1=8·.所以|Sn-n-6|=|a1-1+a2-1+an-1-6|=6×,即3n-1>250,所以满足条件的最小整数n是7.8.从盛满a升酒精的容器里倒出b升,然后再用水加满,再倒出b升,再用水加满,这样倒了n次,则容器中有纯酒精升. 答案:a解析:第一次容器中有纯酒精a-b,即a升,第二次有纯酒精ab,即a升,故第n次有纯酒精a升.9.(2013·安徽模拟)在数列an中,若=p(n2,nN*,p为常数),则称an为“等方差数列”.下列是对“等方差数列”的判断:若an是等方差数列,则是等差数列;已知数列an是等方差数列,则数列是等方差数列;(-1)n是等方差数列;若an是等方差数列,则akn(kN*,k为常数)也是等方差数列.其中正确命题的序号为. 答案:解析:对于,由等方差数列的定义可知,是公差为p的等差数列,故正确.对于,取an=,则数列an是等方差数列,但数列不是等方差数列,故错.对于,因为(-1)n2-(-1)n-12=0(n2,nN*)为常数,所以(-1)n是等方差数列,故正确.对于,若=p(n2,nN*),则=()+()+()=kp为常数,故正确.10.(2013·山东滨州一模)某产品在不做广告宣传且每千克获利a元的前提下,可卖出b千克.若做广告宣传,广告费为n(nN*)千元时比广告费为(n-1)千元时多卖出千克.来源:www.shulihua.net(1)当广告费分别为1千元和2千元时,用b表示销售量s;(2)试写出销售量s与n的函数关系式;(3)当a=50,b=200时,要使厂家获利最大,销售量s和广告费n分别应为多少?解:(1)当广告费为1千元时,销售量s=b+.当广告费为2千元时,销售量s=b+.(2)设sn(nN)表示广告费为n千元时的销售量,则s0=b.由题意得,s1-s0=,s2-s1=,sn-sn-1=.以上n个等式相加得,sn-s0=+.即s=sn=b+=b.(3)当a=50,b=200时,设获利为Tn,则有Tn=sa-1 000n=10 000×-1 000n=1 000×,设bn=20-n,则bn+1-bn=20-n-1-20+n=-1,当n2时,bn+1-bn>0;当n3时,bn+1-bn<0.所以当n=3时,bn取得最大值,即Tn取得最大值,此时s=375,即该厂家获利最大时,销售量和广告费分别为375千克和3千元.11.设函数f(x)=+sin x的所有正的极小值点从小到大排成的数列为xn.(1)求数列xn的通项公式;(2)设xn的前n项和为Sn,求sin Sn.解:(1)f'(x)=+cos x.令f'(x)=0,则cos x=-,解得x=2k±(kZ).由xn是函数f(x)的第n个正极小值点知xn=2n-(nN*).(2)由(1)可知,Sn=2(1+2+n)-=n(n+1)-,于是sin Sn=sin.因为n(n+1)表示两个连续正整数的乘积,n(n+1)一定为偶数,所以sin Sn=-sin.当n=3m-2(mN*)时,sin Sn=-sin=-;当n=3m-1(mN*)时,sin Sn=-sin;当n=3m(mN*)时,sin Sn=-sin 2m=0.综上所述,sin Sn=拓展延伸12.已知各项均为正数的两个数列an和bn满足:an+1=,nN*.(1)设bn+1=1+,nN*,求证:数列是等差数列;(2)设bn+1=,nN*,且an是等比数列,求a1和b1的值.解：(1)证明:由题设知an+1=,于是,从而=1(nN*).故数列是以1为公差的等差数列.(2)解因为an>0,bn>0,所以<(an+bn)2,从而1<an+1=.(*)设等比数列an的公比为q,由an>0知q>0.下证q=1.若q>1,则a1=<a2,故当n>logq时,an+1=a1qn>,与(*)式矛盾;若0<q<1,则a1=>a2>1,故当n>logq时,an+1=a1qn<1,与(*)式矛盾.综上,q=1,故an=a1(nN*),所以1<a1.又bn+1=··bn(nN*),所以bn是公比为的等比数列.若a1,则>1,于是b1<b2<b3.又由a1=得bn=,所以b1,b2,b3中至少有两项相同,矛盾.因此a1=,从而bn=.故a1=b1=.