【名校精品】数学高考复习第9讲　直线与圆锥 曲线的位置关系.doc

名校精品资料数学第9讲直线与圆锥曲线的位置关系基础巩固1.AB为过椭圆=1中心的弦,F(c,0)为该椭圆的焦点,则FAB的最大面积为() A.b2B.abC.acD.bc答案:D解析:设A,B两点的坐标为(x1,y1),(-x1,-y1),则SFAB=|OF|2y1|=c|y1|bc.2.双曲线x2-y2=1的左焦点为F,点P为其左支下半支上任意一点(异于顶点),则直线PF的斜率的变化范围是()A.(-,0)B.(1,+)C.(-,0)(1,+)D.(-,-1)(1,+)答案:C解析:数形结合法,与渐近线斜率比较.可得答案为C.来源:www.shulihua.net3.已知双曲线x2-=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则的最小值为()A.-2B.-C.1D.0答案:A解析:设点P(x,y),其中x1.依题意得A1(-1,0),F2(2,0),由双曲线方程得y2=3(x2-1).·=(-1-x,-y)·(2-x,-y)=(x+1)(x-2)+y2=x2+y2-x-2=x2+3(x2-1)-x-2=4x2-x-5=4,其中x1,因此,当x=1时,·取得最小值-2.4.设F1,F2为椭圆+y2=1的左、右焦点,过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P,Q两点,当四边形PF1QF2的面积最大时,的值等于()A.0B.2C.4D.-2答案:D解析:易知当P,Q分别在椭圆短轴端点时,四边形PF1QF2的面积最大.此时,F1(-,0),F2(,0),P(0,1),则=(-,-1),=(,-1).故·=-2.5.已知椭圆=1,若在此椭圆上存在不同的两点A,B关于直线y=4x+m对称,则实数m的取值范围是()A.来源:www.shulihua.netB.C.D.答案:B解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x,y),由题意知kAB=-,x1+x2=2x,y1+y2=2y,3+4=12,3+4=12.两式相减得3()+4()=0,即y1+y2=3(x1+x2),即y=3x,与y=4x+m联立得x=-m,y=-3m,而M(x,y)在椭圆的内部,则<1,即-<m<.6.斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为()A.2B.C.D.答案:C解析:设直线l:y=x+t,椭圆交直线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,由消去y,得5x2+8tx+4(t2-1)=0.则有x1+x2=-t,x1x2=.故|AB|=|x1-x2|=·,当t=0时,|AB|max=.7.已知椭圆C:+y2=1的两焦点为F1,F2,点P(x0,y0)满足1,则|PF1|+|PF2|的取值范围为. 答案:2,2解析:当P在原点处时,|PF1|+|PF2|取得最小值2;当P在椭圆上时,|PF1|+|PF2|取得最大值2,故|PF1|+|PF2|的取值范围为2,2.8.当x>1时,直线y=ax-a恒在抛物线y=x2的下方,则a的取值范围是. 答案:(-,4)解析:由题意联立整理可得x2-ax+a=0,由=a2-4a=0,解得a=0或a=4,此时直线与抛物线相切,因为直线恒过定点(1,0),结合图形可知当a(-,4),x>1时直线y=ax-a恒在抛物线y=x2的下方.9.已知双曲线方程:x2-=1,则以A(2,1)为中点的弦所在直线l的方程是. 答案:6x-y-11=0解析:设l与双曲线交于P(x1,y1)和Q(x2,y2),则来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net-,得(x2+x1)(x2-x1)-(y2+y1)(y2-y1)=0,而x1+x2=4,y1+y2=2,则4(x2-x1)-(y2-y1)=0.故=6,即kl=6.点A(2,1)在双曲线的内部,直线l的方程为y-1=6(x-2),即6x-y-11=0.10.已知点A(0,2)和抛物线C:y2=6x,求过点A且与抛物线C相切的直线l的方程.解:设直线l的方程为y=kx+2,与抛物线C的方程联立,得方程组当k=0时,由方程组得6x=4,x=,可知此时直线l与抛物线相交于点.当k0时,由方程组消去x,得方程ky2-6y+12=0.(*)关于y的二次方程(*)的判别式=36-48k.由=0,得k=,可知此时直线l与抛物线C有一个公共点,即它们相切.直线l的方程为3x-4y+8=0.当直线l的斜率不存在时,直线l就是y轴,其方程为x=0.所以,直线l的方程为3x-4y+8=0,或x=0.11.已知椭圆=1(a>b>0)的一个焦点在直线l:x=1上,其离心率e=.设P,Q为椭圆上不同的两点,且弦PQ的中点T在直线l上,点R.(1)求椭圆的方程;(2)试证:对于所有满足条件的P,Q,恒有|RP|=|RQ|.解:(1)椭圆的一个焦点在直线l:x=1上,所以c=1.又因为离心率e=,即,所以a=2,从而b2=3.所以椭圆的方程为=1.(2)证明:设T(1,y0),P(x1,y1),Q(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1),·(x2-x1)+y0(y2-y1).又因为P,Q都在椭圆=1上,所以=1,=1,两式相减得(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0,因为点T是PQ的中点,所以x1+x2=2,y1+y2=2y0,于是(x1-x2)+y0(y1-y2)=0,所以(x1-x2)+y0(y1-y2)=0,即·=0,所以,即RT是线段PQ的垂直平分线,所以恒有|RP|=|RQ|.来源:www.shulihua.net12.已知椭圆C的中心在原点,一个焦点为F(0,),且长轴长与短轴长的比是1.(1)求椭圆C的方程;(2)若椭圆C上在第一象限的一点P的横坐标为1,过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA,PB分别交椭圆C于另外两点A,B,求证:直线AB的斜率为定值;(3)在(2)的条件下,求PAB面积的最大值.(1)解:设椭圆C的方程为=1(a>b>0).由题意得解得a2=4,b2=2.所以椭圆C的方程为=1.(2)证明:由题意知,两直线PA,PB的斜率必存在,设PB的斜率为k.又由(1)知,P(1,),则直线PB的方程为y-=k(x-1).由得(2+k2)x2+2k(-k)x+(-k)2-4=0.设A(xA,yA),B(xB,yB),则xB=1·xB=,同理可得xA=,则xA-xB=,yA-yB=-k(xA-1)-k(xB-1)=.所以kAB=为定值.(3)解:由(2)设直线AB的方程为y=x+m.由得4x2+2mx+m2-4=0.由=(2m)2-16(m2-4)>0,得m2<8.此时xA+xB=-,xA·xB=.点P到直线AB的距离d=,|AB|=.SPAB=d·|AB|=··=.当且仅当m2=8-m2,即m2=4时,(SPAB)max=.拓展延伸13.(2013·湖北黄冈质检)已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为,椭圆上任意一点到右焦点F的距离的最大值为+1.(1)求椭圆的方程;来源:www.shulihua.net(2)已知点C(m,0)是线段OF上一个动点(O为坐标原点),是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A,B点,使得|AC|=|BC|?并说明理由.解:(1)b=1.椭圆的方程为+y2=1.(2)由(1)得F(1,0),0m1.假设存在满足题意的直线l,设l的方程为y=k(x-1),代入+y2=1中,得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,故y1+y2=k(x1+x2-2)=.设AB的中点为M,则M.|AC|=|BC|,CMAB,即·=0,也即(1-2m)k2=m.当0m<时,k=±,即存在满足题意的直线l;当m1时,k不存在,即不存在满足题意的直线l.