精修版数学人教A版选修4-5优化练习：第四讲 二　用数学归纳法证明不等式举例 Word版含解析.doc

精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理课时作业A组基础巩固1用数学归纳法证明1<n(nN，且n>1)时，第一步即证下述哪个不等式成立()A1<2B1<2C1<2 D1<2解析：nN，且n>1，第一步n2，左边1，右边2，即1<2，应选C.答案：C2用数学归纳法证明不等式1>成立时，起始值n0至少应取()A7 B8C9 D10解析：1，n16，n7，故n08.答案：B3用数学归纳法证明 “Sn>1(nN)”时，S1等于()A. BC. D解析：因为S1的首项为，末项为，所以S1，故选D.答案：D4设f(x)是定义在正整数集上的函数，有f(k)满足：当“f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”那么下列命题总成立的是()A若f(3)9成立，则当k1时，均有f(k)k2成立B若f(5)25成立，则当k<5时，均有f(k)k2成立C若f(7)<49成立，则当k8时，均有f(k)<k2成立D若f(4)25成立，则当k4时，均有f(k)k2成立解析：由题意设f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”因此，对于A，k1,2时不一定成立对于B，C显然错误对于D，因为f(4)25>42，因此对于任意的k4，均有f(k)k2成立答案：D5某个命题与正整数n有关，如果当nk(kN)时命题成立，那么可推得当nk1时，命题也成立现已知当n5时该命题不成立，那么可推得()A当n6时该命题不成立B当n6时该命题成立C当n4时该命题不成立D当n4时该命题成立解析：与“如果当nk(kN)时命题成立，那么可推得当nk1时命题也成立”等价的命题为“如果当nk1时命题不成立，则当nk(kN)时，命题也不成立”故知当n5时，该命题不成立，可推得当n4时该命题不成立，故选C.答案：C6观察下列式子：1<，1<，1<，可归纳出一般性结论：_.解析：由题意得1<(nN)答案：1<(nN)7用数学归纳法证明cos cos 3cos(2n1)(kN，ak，nN)，在验证n1时，左边计算所得的项是_答案：cos 8用数学归纳法证明：2n1n2n2(nN)时，第一步应验证_答案：n1时，221212，即449证明不等式：1<2(nN)证明：(1)当n1时，左边1，右边2，不等式成立(2)假设当nk(k1)时，命题成立，即1<2(kN)当nk1时，左边1<2，现在只需证明<2，即证：2<2k1，两边平方，整理得0<1，显然成立<2成立即1<2成立当nk1时，不等式成立由(1)(2)知，对于任何正整数n原不等式都成立10设Sn(nN)，设计算S1，S2，S3，并猜想Sn的表达式，然后用数学归纳法给出证明解析：S1，S2，S3，猜想Sn(nN)下面用数学归纳法证明：(1)当n1时，左边S1，右边，等式成立(2)假设nk(k1，kN)时等式成立，即，则当nk1时，这就是说，当nk1时，等式成立由(1)(2)可知，等式Sn对nN都成立B组能力提升1观察下列不等式：1>，1>1,1>，1>2,1>，由此猜测第n(nN)个不等式为()A1>B1>C1>D1>解析：1,3,7,15,31，的通项公式为an2n1，不等式左边应是1.，1，2，的通项公式为bn，不等式右边应是.答案：C2用数学归纳法证明不等式“>(n>2，nN)”时的过程中，由nk到nk1时，不等式的左边()A增加了一项B增加了两项，C增加了两项，又减少了一项D增加了一项，又减少了一项解析：当nk时，左边.当nk1时，左边.故由nk到nk1时，不等式的左边增加了两项，又减少了一项答案：C3用数学归纳法证明某不等式，其中证nk1时不等式成立的关键一步是：>()>，括号中应填的式子是_解析：由>k2，联系不等式的形式可知，应填k2.答案：k24设a，b均为正实数，nN，已知M(ab)n，Nannan1b，则M，N的大小关系为_(提示：利用贝努利不等式，令x)解析：令x，M(ab)n，Nannan1b，(1x)n，1nx.a>0，b>0，x>0.由贝努利不等式得(1x)n>1nx.>，M>N答案：M>N5对于一切正整数n，先猜出使tn>n2成立的最小的正整数t，然后用数学归纳法证明，并再证明不等式：n(n1)·>lg(1·2·3··n)证明：猜想当t3时，对一切正整数n使3n>n2成立下面用数学归纳法进行证明当n1时，313>112，命题成立假设nk(k1，kN)时，3k>k2成立，则有3kk21.对nk1,3k13·3k3k2·3k>k22(k21)>3k21.(3k21)(k1)22k22k2k(k1)0，3k1>(k1)2，对nk1，命题成立由上知，当t3时，对一切nN，命题都成立再用数学归纳法证明：n(n1)·>lg(1·2·3··n)当n1时，1×(11)×>0lg 1，命题成立假设nk(k1，kN)时，k·(k1)·>lg(1·2·3··k)成立当nk1时，(k1)·(k2)·k(k1)·2(k1)·>lg(1·2·3··k)lg 3k1>lg(1·2·3··k)lg(k1)2lg1·2·3··k·(k1)，命题成立由上可知，对一切正整数n，命题成立6已知等比数列an的首项a12，公比q3，Sn是它的前n项和求证：.证明：由已知，得Sn3n1，等价于，即3n2n1.(*)法一：用数学归纳法证明上面不等式成立当n1时，左边3，右边3，所以(*)成立假设当nk时，(*)成立，即3k2k1，那么当nk1时，3k13×3k3(2k1)6k32k32(k1)1，所以当nk1时，(*)成立综合，得3n2n1成立所以.法二：当n1时，左边3，右边3，所以(*)成立当n2时，3n(12)nCC×2C×22C×2n12n>12n，所以(*)成立所以.最新精品资料