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    第5章 系统运动的稳定性分析.ppt

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    第5章 系统运动的稳定性分析.ppt

    第5章 控制系统的稳定性分析,5.1 李雅普诺夫稳定性定义 5.2 李雅普诺夫稳定性理论 5.3 线性系统的李雅普诺夫稳定性分析 5.4 非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析 * 5.5 李雅普诺夫第二法在系统设计中的应用,稳定性是指系统在平衡状态下受到扰动后,系统自由运动的性质。因此,系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而言的。它描述初始条件下系统方程是否具有收敛性,而不考虑输入作用。,1. 线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数,与系统初始条件及外作用无关; 2. 非线性系统的稳定性既取决于系统的结构和参数,也与系统初始条件及外作用有关;,稳定性是系统的重要特性,是系统正常工作的必要条件。,线性定常系统通常只有一个平衡点,可将平衡点的稳定性视为整个系统的稳定性。其它系统平衡点不止一个,不同平衡点有着不同的稳定性,通常只讨论某一平衡状态的稳定性。,稳定性判别方法,经典控制理论中:,线性定常系统的稳定性:,代数判据(劳斯判据、赫尔维茨判据); 奈奎斯特判据 ;对数稳定判据等。,非线性定常系统的稳定性:,描述函数法:要求系统的线性部分具有良好的滤 除谐波的性能; 相平面法:仅适合于一阶、二阶非线性系统。,现代控制理论中:,一般系统(包括单变量、线性、定常系统,以及多变量、非线性、时变系统)的稳定性:李雅普诺夫稳定性理论。,李雅普诺夫稳定性理论:,李雅普诺夫稳定性理论在建立了一系列关于稳定性概念的基础上,提出了判断系统稳定性的两种方法。 1.间接法:利用线性系统微分方程的解来判系统的稳定性,又称李雅普诺夫第一法; 2.直接法:首先利用经验和技巧来构造李雅普诺夫函数,然后利用李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性,又称李雅普诺夫第二法。,李雅普诺夫稳定性理论是确定系统稳定性的一般理论,它采用状态空间描述,在分析一些特定的非线性系统的稳定性时,有效地解决了其它方法所不能解决的问题。该理论比经典控制理论中的稳定性判据适应范围更广。,5.1 李雅普诺夫稳定性定义,BIBO稳定性的概念,李雅普诺夫稳定性的物理意义是系统响应是否有界。,Bounded Input Bounded Output (BIBO) Stable,定义:对于一个初始条件为零的系统,如果在有界的输入u(t)的作用下,所产生的输出y(t)也是有界的,则称此系统是外部稳定的,也即是有界输入-有界输出稳定的。并简称为BIBO稳定。,如果输入 有界,是指 ,如果输入 有界,是指 ,4.6 有界输入-有界输出稳定,4.6.1 有界输入-有界输出稳定,Bounded Input Bounded Output (BIBO) Stable,定理4-5 由方程 描述的线性定常系统。,为初始松弛系统。其输出向量的解为,(11),4.6.2 BIBO稳定与平衡状态稳定性之间的关系,对于线性定常系统,(12),平衡状态 的渐近稳定性由A 的特征值决定。而BIBO的稳定性是由传递函数的极点决定的。,的所有极点都是A 的特征值,但 A 的特征值并不一定都是 的极点。可能存在零极点对消。所以, 处的渐近稳定就包含了BIBO稳定,而BIBO稳定却可能不是 处的渐近稳定。,那么在什么条件下,BIBO稳定才有平衡状态 渐近稳定呢?结论是:如果(12)式所描述的线性定常系统是BIBO稳定,且系统是既能控又能观测的,则系统在 处是渐近稳定的。,1. 平衡状态的定义 设系统状态方程为: 若对所有t ,状态 x 满足 ,则称该状态x为平衡状态,记为xe。故有下式成立: 由平衡状态在状态空间中所确定的点,称为平衡点。,2.平衡状态的求法 由定义,平衡状态将包含在 这样一个代数方程组中。 对于线性定常系统 ,其平衡状态为 xe 应满足代数方程 。,只有坐标原点处是线性系统的平衡状态点。,5.1.1 平衡状态,李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。,对于非线性系统,方程 的解可能有多个,视系统方程而定。,如:,该系统存在三个平衡状态:,范数的定义:n 维状态空间中,向量 x 的长度称为向量 x 的范数,用 表示,则:,5.5.2 范数的概念,向量的距离:长度 称为向量x与xe的距离,写为:,若能使系统从任意初态x0出发的解 在t t0的过 程中,都位于以xe为球心、任意规定的半径的闭球域 S()内,即:,定义:对于系统 ,设系统初始状态位于以平 衡状态 xe 为球心、为半径的闭球域 S()内,即,5.1.3 李雅普诺夫稳定性定义,1李雅普诺夫意义下的稳定性,则称系统的平衡状态 xe 在 李雅普诺夫意义下是稳定的。,几何意义,按李雅普诺夫意义下的稳定性定义,当系统作不衰减的振荡运动,将在平面描绘出一条封闭曲线,但只要不超出S(),则认为是稳定的,这与经典控制理论中线性定常系统的稳定性定义有差异。,Lyapunov意义下稳定,2渐进稳定性(经典理论稳定性),定义:如果系统的平衡状态xe不仅有李雅普诺夫意义下的稳定性,且对于任意小量0,总有,这时,从S()出发的轨迹不仅不会超出S(),且当t时收敛于xe,可见经典控制理论中的稳定性定义与渐进稳定性对应。,则称平衡状态xe是李雅普诺夫意义下渐进稳定的。,当t0与 t、 无关时,则称xe=0为一致渐进稳定。,几何意义:,定义:当初始状态扩展到整个状态空间,且平衡状态xe均具有渐进稳定性,称这种平衡状态xe是大范围渐进稳定的。此时,S()。当t时,由状态空间中任意一点出发的轨迹都收敛于xe。,3. 大范围渐进稳定性,对于严格的线性系统,如果它是渐进稳定的,必定是大范围渐进稳定的。这是因为线性系统的稳定性与初始条件的大小无关。而对于非线性系统来说,其稳定性往往与初始条件大小密切相关,系统渐进稳定不一定是大范围渐进稳定。,当稳定性与 的选择无关时,称一致全局渐近稳定。,大范围稳定的系统,局部稳定的系统,几何意义:,定义:若对于某个实数0和任一实数0,不管这两个实数多么小,在S()内总存在一个状态x0,使得由这一状态出发的轨迹超出S(),则称平衡状态xe是不稳定的。,4.不稳定性,几何意义:,对于不稳定平衡状态的轨迹,虽然超出了S(),但并不意味着轨迹趋于无穷远处。例如以下物理系统比喻不稳定,轨迹趋于S()以外的平衡点。 当然,对于线性系统, 从不稳定平衡状态出发的轨 迹,理论上趋于无穷远。,由稳定性定义知,球域S() 限制着初始状态x0的取值,球域S()规定了系统自由运动响应 的边界。 简单地说:1.如果 有界,则称 xe 稳定; 2.如果 不仅有界,而且当t时收敛于原点,则称 xe 渐进稳定; 3.如果 无界,则称 xe 不稳定。,5.2 李雅普诺夫稳定性理论,定理5.1线性定常系统 (1)平衡状态xe是渐进稳定的充分必要条件是矩阵A 的所有特征值均具有负实部; (2)平衡状态xe是不稳定的充分必要条件是矩阵A 的有些特征值具有正实部; (3)当系统用传递函数描述时,系统BIBO稳定的充分必要条件为G(s)的极点具有负实部。,5.2.1 李雅普诺夫第一法(间接法),1.线性定常系统稳定性判据,例5.2.1设系统的状态空间表达式为:,试分析系统平衡状态xe=0的稳定性与系统的BIBO(输出)稳定性。,解:系统的特征方程为:,A阵的特征值为+1,-1。故系统平衡状态 xe 是不稳定的。,系统传递函数:,传递函数极点位于S左半平面,故系统是BIBO稳定的。,BIBO稳定,渐近稳定,结论: 1.线性定常系统是内部稳定的,则其必是BIBO稳定 的; 2.线性定常系统是BIBO稳定的,则不能保证系统一定是渐进稳定的; 3.如果线性定常系统为能控和能观测,则其内部稳定性与外部稳定性是等价。,2.线性时变系统稳定性判据,矩阵A的范数定义为:,A为标量,表示A中每个元素取平方和后再开方。,3非线性系统的稳定性判定,对于可以线性化的非线性系统,可以在一定条件下用它的 线性化模型,用定理5.1的方法来研究。,其中:,对于非线性系统 ,对状态变量 x 有连续偏导数,设xe为其平衡点。在平衡点处将 泰勒级数展开,忽略二次及二次以上的高阶导数项R(x),得系统线性化模型: 。,(1) A的所有特征值均具有负实部,则平衡状态xe是渐进稳定的; (2)A的特征值至少有一个为正实部,则平衡状态xe是不稳定的。 (3)A的特征值至少有一个实部为0,则不能根据A来判平衡状态xe的稳定性,系统的稳定性与被忽略的高次项R(x)有关。若要研究原系统的稳定性,必须分析原非线性方程。,定理5.3对于线性化后的系统矩阵,例5.2.2 已知非线性系统的,解:系统有2个平衡状态:xe1=0,0和xe2=1,1,在xe1=0,0处线性化,,A1阵的特征值为+1,-1。故系统在xe1处是不稳定的。,在xe2=1,1处线性化,,A2阵的特征值为+j,-j,其实部为0,不能根据A来判断其稳定性。,试分析系统平衡状态的稳定性。,5.2.3 李雅普诺夫第二法及其主要定理,李雅普诺夫第二法是通过构造李雅普诺夫函数V(x)来直接判断运动稳定性的一种定性的方法。 根据经典力学中的振动现象,若系统能量随时间推移而衰减,系统迟早会达到平衡状态,但要找到实际系统的能量函数表达式并非易事。,李雅普诺夫提出,虚构一个能量函数一般与 及t 有关,记为V(x,t)或V(x)。 V(x)是一标量函数,考虑到能量总大于0,故为正定函数。能量衰减特性用 或 表示。李雅普诺夫第二法利用V 和 的符号特征,直接对平衡状态稳定性作出判断,无需求解系统状态方程的解,故称直接法。,对于线性系统,通常用二次型函数 作为李雅普诺夫函数。,5.2.3.1 预备知识 1二次函数的定义及其表达式 定义:设 为n个变量,定义二次型标量函数为:,其中, ,则称P为实对称阵。,对一般非线性系统仍未找到构造李雅普诺夫函数V(x)的通用方法。尽管如此,目前直接法仍然是研究系统(包括时变、非线性)稳定性的有力工具。,例如:,显然,二次型V(x)完全由矩阵P确定。因此二次型和它的矩阵是相互唯一决定的。, 二次型的标准型,只含有平方项的二次型称为二次型的标准型,如:,2.标量函数V(x)的符号和性质,设: ,且在x=0处,V(x)0。对x0的任何向量。,V(x)0,称V(x)为正定的。例如: V(x)0,称V(x)为负定的。例如: V(x)0,称V(x)为正半定的。例如: V(x)0,称V(x)为负半定的。例如:,设实对称矩阵P :,正定:二次型函数V(x)为正定的充要条件是,P 阵的所有各阶主子行列式均大于零(正定),即:,即:,3.二次型标量函数定号性判别准则(Sylvester准则),负定:二次型函数V(x)为负定的充要条件是,P 阵的所有各阶主子行列式满足:,即:,k为偶数,k为奇数,正半定:二次型函数V(x)为正半定的充要条件是,P 阵的所有各阶主子行列式满足:,负半定:二次型函数V(x)为负半定的充要条件是,P 阵的所有各阶主子行列式满足:,5.2.3.2 李雅普诺夫第二法的判稳主要定理,1.V(x,t)是正定的; 2. 是负定的;,系统在原点处的平衡状态 是渐进稳定的。,则:系统在原点处的平衡状态是大范围渐进稳定的。, 系统渐进稳定的判别定理一,说明:1.该定理仅给出充分条件,即能找到满足定理条件的V(x),则系统是渐进稳定的,若找不到,并不意味系统不稳定。2.该定理本身并未给出建立V(x)的方法,一般V(x)不惟一。 V(x)通常不是简单的二次型的形式。3.该定理是一个最基本的稳定性判别定理,适用于线性、非线性、时变系统。,是负定的。说明V(x)沿任意轨迹是连续减小的,因此V(x)是一个李雅普诺夫函数。,例5.2.3已知非线性系统的状态方程为:,试分析其平衡状态的稳定性。,解:坐标原点xe=0(即x1=0,x2=0)是系统惟一的平衡状态。选取正定标量函数为:,则沿任意轨迹,V(x)对时间的导数为:,则:系统在原点处的平衡状态是大范围渐进稳定的。, 系统渐进稳定的判别定理二,定理5.5 设系统状态方程为: ,其状态平衡点xe=0,满足 。如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数V(x,t),且满足以下条件:,1.V(x,t) 是正定的; 2. 是负半定的;,则:系统在原点处的平衡状态是大范围渐进稳定的。,若还有,有,3. 当x0,不恒等于0,,则:系统在平衡点xe=0处是渐进稳定的。,定理的运动分析:以二维空间为例,例5.2.4已知非线性系统的状态方程为: 试分析其平衡状态的稳定性。,解:坐标原点xe=0(即x1=0,x2=0)是系统惟一的平衡状态。,选取正定标量函数为:,当, 进一步分析 的定号性:,如果假设 ,必然要求 ,进一步要求 。但从状态方程 可知,必满足 , 表明 只可能在原点(x1=0,x2=0)处恒等于零。,为半负定!,所以,系统在原点处的平衡状态是大范围渐进稳定的。,当,有,若在该例中:,选取正定标量函数为:,为负定!,则:,由以上分析看出,选取不同的V(x),可能使问题分析采用不同的判别定理。,所以,系统在原点处的平衡状态是大范围渐进稳定的。,且当,有,系统李氏稳定的判别定理,则系统在原点处的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的,但不是渐进稳定的。这时系统可保持在一个稳定的等幅振荡状态上。,定理5.6 设系统状态方程为: ,其状态平衡点xe=0,满足 。如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数V(x,t),且满足以下条件:,因为 0,则系统可能存在闭合曲线(极限环),在上面恒有 ,则系统可能收敛到极限环,而不收敛到平衡点。因此 是一致稳定的。,例5.2.5已知非线性系统的状态方程为: 试分析其平衡状态的稳定性。,解:坐标原点xe=0(即x1=0,x2=0)是系统惟一的平衡状态。,选取正定标量函数为:,则:,由上式可见, ,则系统在原点处的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的,但不是渐进稳定的。,则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。,系统不稳定的判别定理一,1.V(x,t)是正定的; 2. 是正定的;,定理5.7 设系统状态方程为: ,其状态平衡点xe=0,满足 。如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数V(x,t),且满足以下条件:,显然, ,表示系统的能量在不断增大,故系统的运动状态必将发散至无穷大,系统是不稳定的。,则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。,系统不稳定的判别定理二,1.V(x,t)是正定的; 2. 是正半定的;,定理5.8 设系统状态方程为: ,其状态平衡点xe=0,满足 。如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数V(x,t),且满足以下条件:,3. 在x0时,不恒等于0 。,例5.2.6已知非线性系统的状态方程为: 试分析其平衡状态的稳定性。,解:坐标原点xe=0(即x1=0,x2=0)是系统惟一的平衡状态。,选取正定标量函数为:,则:,所以,系统是不稳定的。,且当x1为任意值,x2 =0时,,(为正定),(为正半定),而:,所以,x2不会恒等于0,,也不会恒等于0。,定理的形式简单而有规律,在定理的应用中,要注意几点: (1)构造一个合理的李雅普诺夫函数,是李氏第二法的关键,李氏函数具有几个突出性质: 1)李雅普诺夫函数是一个标量函数。 2)李雅普诺夫函数是一个正定函数,至少在原点的邻域是如此。 3)对于一个给定的系统,李雅普诺夫函数不是唯一的。 (2)如果在包含状态空间原点在内的邻域S内,可以找到一个李雅普诺夫函数,那么,就可以用它来判断原点的稳定性或渐近稳定性。然而这并不一定意味着,从S邻域外的一个状态出发的轨迹都趋于无穷大,这是因为李雅普诺夫第二法确定的仅仅是稳定性的充分条件。,5.3 线性系统中的李亚普诺夫稳定性分析,5.3.1 线性定常连续系统渐进稳定的判别,1渐进稳定的判别方法,则:,定理5-9 设线性定常连续系统为: ,则平衡状态xe=0为大范围渐进稳定的充要条件是:对任意给定的一个正定实对称矩阵Q,必存在一个惟一正定的实对称矩阵P,且满足李雅普诺夫方程 ,且 是系统的李雅普诺夫函数。,A是非奇异的,证明见P255 。,若 沿任意一轨线不恒等于0,则Q可取为正半定的,结论不变 。,定理说明: (1). 如果任取的一个正定实对称矩阵Q,则满足矩阵 的实对称矩阵P是惟一的,若P正定,则系统在平衡状态xe=0为大范围渐进稳定的。P的正定性是一个充分必要条件。 (2). 为计算简便,在选取正定实对称矩阵 Q 时选单位阵I,于是方程简化为:,2判别步骤,确定系统的平衡状态xe, 取Q=I,并设实对称阵P, 解矩阵方程 ,求出P。 利用赛尔维斯特判据,判断P的正定性。正定,系统渐进稳定,且 。,例5.3.1设线性定常系统为: , 试判别该系统的稳定性(其平衡状态为xe=0)。,解:为了便于对比,先用李氏第一法判断,,系统是渐近稳定的,先用李氏第二法判断,,设李雅普诺夫函数为:,则有:,展开有:,系统是渐近稳定的,证明略:,5.3.2 线性时变连续系统渐进稳定的判别,定理5-10 设线性时变连续系统为: ,则平衡状态xe=0为大范围渐进稳定的充要条件是:对任意给定的连续对称正定矩阵Q(t),存在一个连续的对称正定矩阵P(t),使得, 且 是系统的李雅普诺夫函数 。,(3)判别矩阵P(t)是否满足连续、对称正定性,若满足,则线性时变系统是渐进稳定的,且,为计算方便,可选:Q (t)=Q=I,则,判别步骤:,确定系统的平衡状态xe。 任取正定对称阵Q(t),带入里卡蒂(Riccati)矩阵微分方程, 其解为: 式中, 是系统的状态转移矩阵,P(t0)是里卡蒂方程的初始条件。,证明略:,判别步骤:,5.3.3 线性定常离散系统渐进稳定的判别,定理5-11 设线性定常离散系统为: ,则平衡状态xe=0为大范围渐进稳定的充要条件是:对任意给定的正定对称矩阵Q,存在一个正定对称矩阵P,满足如下矩阵方程: 且 是系统的李雅普诺夫函数 。,G是常系数非奇异阵,确定系统的平衡状态xe, 选正定矩阵Q,一般取Q=I, 解矩阵方程 ,求出P阵, 判断P的正定性。若正定,则系统渐进稳定,且 是系统的李雅普诺夫函数。,例5.3.2设离散系统的状态方程为: , 试确定该系统在平衡点处渐进稳定的条件 。,解:选Q=I,带入矩阵方程,要使P为正定的实对称矩阵,则要求:,即:,解得:,即,当系统的特征根位于单位园内时,系统的平衡点是渐进稳定的。,与经典控制论中的采样系统稳定的充要条件相同!,证明略:,5.3.4 线性时变离散系统渐进稳定的判别,定理5-12 设线性时变离散系统为: 则在平衡点xe=0处为大范围渐进稳定的充要条件是:对任意给定的正定对称矩阵Q(k),存在一个实对称正定矩阵P(k+1),满足如下矩阵方程: 且标量函数: 是系统的李雅普诺夫函数。,(3)判断P(k+1)的正定性,若正定,则系统是渐进稳定的,且李雅普诺夫函数为:,式中,,当Q (i)=I 时,有:,判别步骤:,确定系统的平衡状态xe, 任选正定对称矩阵Q(k),带入矩阵方程: 解出矩阵P(k+1) 。该方程为矩阵差分方程,其解的形式为:,为转移矩阵;P(0)是初始条件。,5.4 非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析,5.4.1 克拉索夫斯基法,对于非线性系统,到目前为止,尚没有构造Lyapunov函数的一般性方法。往往都是根据经验,用试凑法。针对不同类型的非线性系统,以下是几种比较有效的构造Lyapunov函数的特殊方法。,针对一类非线性系统,克拉索夫斯基提出了从状态变量的导数来构造Lyapunov函数,并判断系统渐进稳定的方法。,定理5-13 设非线性系统的状态方程为,其中x 和 f (x) 均为n 维向量。 为非线性多元函数,对各xi 都具有连续的偏导数。,构造Lyapunov函数如:,则:,其中:,称为雅可比矩阵,其中:W 为 正定对称常数矩阵,通常取 ,,其中:,如果 是负定的,则 是负定的。而 是正定的,故 是一致渐近稳定的。如果 , ,则 是大范围一致渐近稳定的。,关于定理的几点说明:,该定理仅是充分条件,若S(x)不是负定的,则不能得出任何结论,此法无效。 S(x) 为负定的必要条件是S(x) 主对角线上的所有元素均不为0,即要求状态方程中第i 个方程要含有 xi 这个状态变量。所以当观察f(x)的右端函数不满足上述条件时,则不能采用克拉索夫斯基法。,克拉索夫斯基法的适用范围如下:,非线性特性能用解析表达式表示的单值函数。 非线性函数f(x) 对xi (i=1,2,n)是可导的。 ,克拉索夫斯基法也适用于线性定常系统:,对:,有:,若:A是非奇异的,则当S(x)为负定时,系统在 xe=0是渐进稳定的。李雅普诺夫函数为:,例5.4.1非线性系统状态方程为:,试分析 的稳定性。,解:,雅可比矩阵:,选择 W=I 则:,检验 的各阶主子式:,显然, 是负定的,故 是一致渐近稳定的。,故 是大范围一致渐近稳定的。,例5-10/11(见教材P263/4),自行分析。,2. 变量梯度法,(这部分内容需要用到工程数学场论中的梯度、旋度等知识,而大部分院校自动化专业本科生没有学过场论,可以跳过这一段。),本章要求: 1熟练掌握李雅普诺夫意义下的稳定、渐进稳 定、大范围渐进稳定、不稳定概念及定义; 2能熟练运用李雅普诺夫第一法(间接法)判 线性定常系统的稳定性; 3掌握李雅普诺夫第二法五个主要定理; 4能熟练运用李雅普诺夫第二法判线性定常系 统的稳定性。,

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