第二章 单自由度系统的自由振动.ppt

1,固有振动的表现形式为简谐振动，其固有频率的计算方法有静变形法、能量法、瑞利法以及等效刚度、等效质量法 有阻尼的系统根据阻尼的大小分为过阻尼、临界阻尼及欠阻尼三种状态,第二章 单自由度系统的自由振动,以弹簧质量系统为力学模型，讨论单自由度 无阻尼系统的固有振动和自由振动，,2,动力学,单自由度系统的自由振动,一、自由振动的概念：,以弹簧质量系统为力学模型,3,动力学,运动过程中，总指向物体平衡位置的力称为恢复力。 物体受到初干扰后，仅在系统的恢复力作用下在其平衡位置附近的振动称为无阻尼自由振动。,质量弹簧系统：,令x为位移，以质量块的静平衡位置 为坐标原点，当系统受干扰时，有：,4,动力学,在静平衡时有：,振动微分方程为：,方程的通解解为：,5,二、单自由度系统无阻尼自由振动微分方程及其解,动力学,对于任何一个单自由度系统，以x 为广义坐标（从平衡位置开始量取 ），则自由振动的运动微分方程必将是：,a, c是与系统的物理参数有关的常数。令,则自由振动的微分方程的标准形式：,方程的通解解为：,6,动力学,或：,C1，C2由初始条件决定,这里A和与C1和C2的关系为：,7,动力学,设 t = 0 时， 则可求得：,8,动力学,三、自由振动的特点： A物块离开平衡位置的最大位移，称为振幅。 n t + 相位，决定振体在某瞬时 t 的位置 初相位，决定振体运动的起始位置。 T 周期，每振动一次所经历的时间。 f 频率，每秒钟振动的次数， f = 1 / T 。 固有频率，振体在2秒内振动的次数。 反映振动系统的动力学特性，只与系统本身的固有参数有关。,9,动力学,无阻尼自由振动的特点是：,(2) 振幅A和初相位 取决于运动的初始条件(初位移和初速度)；,(1) 振动规律为简谐振动；,(3)周期T 和固有频率 仅决定于系统本身的固有参数(m,k,I )。,四、其它 1. 如果系统在振动方向上受到某个常力的作用，该常力只影响静平衡点O的位置，而不影响系统的振动规律，如振动频率、振幅和相位等。,10,固有频率及固有周期,只与振动系统的弹簧常量k和物块的质量 m 有关， 而与运动的初始条件无关，所以称为固有频率。,固有周期,固有圆频率，为了方便也称 为固有频率，是系统的固有 特性，与系统是否振动无关,11,固有频率及固有周期,对于不易得到刚度或质量的系统， 若能测出静变形，可用上式计算固有频率。,12,13,重物匀速下降时处于静,平衡位置，若将坐标原点取在绳被卡住瞬时重物所 在位置，则t=0时有:,其振动规律为：,解：,14,其振动规律为：,解：,根据：,15,解：,绳中的最大张力等于静张力 与因振动引起的动张力之和,可见动张力几乎是静张力的一半，由于,因而为了降低动张力，应该降低系统的刚度,16,例2.2 图示的直升机桨叶经实验测出其质量为m，质心C距铰中心O距离为l。现给予桨叶初始扰动，使其微幅摆动，用秒表测得多次摆动循环所用的时间，除以循环次数获得近似的固有周期，试求桨叶绕垂直铰O的转动惯量。,17,解：取图示坐标系，将直升机桨叶视为一物理摆，根据绕固定铰的动量矩定理得到其摆动微分方程,18,例 2.3 一个质量为m的物体从h高处自由落下，与一根抗弯刚度为EJ、长L的简支梁作完全非弹性碰撞，不计梁的质量，求梁的自由振动的频率和最大挠度。,M,x,19,由材料力学可知简支梁在 重物mg作用下的静变形为：,M,x,解：,故自由振动频率为：,以梁受重时平衡位置为坐标原点，以撞击时为0时候,则自由振动振幅为：,梁的最大挠度为：,20,1. 由系统的振动微分方程的标准形式,2. 能量法：,动力学,§2 求系统固有频率的方法,：集中质量在全部重力 作用下的静变形,由Tmax=Umax , 求出,3. 瑞利法：,4. 等效刚度法:,21,动力学,无阻尼自由振动系统为保守系统，机械能守恒。 当振体运动到距静平衡位置最远时，速度为零，即系统动能等于零，势能达到最大值（取系统的静平衡位置为零势能点）。 当振体运动到静平衡位置时，系统的势能为零，动能达到最大值。,如：,2. 能量法：,22,动力学,能量法是从机械能守恒定律出发，对于计算较复杂的振动系统的固有频率来得更为简便的一种方法。,例1 图示系统。设轮子无侧向摆动，且轮子与绳子间无滑动，不计绳子和弹簧的质量，轮子是均质的，半径为R，质量为M，重物质量 m ，试列出系统微幅振动微分方程，求出其固有频率。,23,动力学,解 ： 用机械能守恒定律 以x为广义坐标（取静平衡位置为原点）,以平衡位置为计算势能的零位置，并注意轮心位移x时，弹簧伸长2x,因平衡时,24,动力学,由 T+U= 有：,对时间 t 求导，再消去公因子 ，得,25,动力学,例2 鼓轮：质量M，对轮心回转半径，在水平面上只滚不滑，大轮半径R，小轮半径 r ，弹簧刚度 ，重物质量为m, 不计轮D和弹簧质量，且绳索不可伸长。求系统微振动的固有频率。,解：取静平衡位置O为坐标原点，取C偏离平衡位置x为广义坐标。系统的最大动能为：,26,动力学,系统的最大势能为：,27,动力学,设 则有,根据Tmax=Umax , 解得,28,例 半径为r、质量为m的圆柱体在半径为R的内圆柱面上绕最低点作纯滚动，试求其微振动的固有频率。,29,解,30,动力学,利用能量法求解固有频率时，只考虑了惯性元件的动能，而忽略不计弹性元件的质量所具有的动能，因此算出的固有频率是实际值的上限。,2. 瑞利法：,弹性元件的质量实际是分布质量，可以先利用动能计算将分布质量等效为质中质量，加到原来的惯性元件的集中质量上，仍作为单自由度系统来处理，从而得到更精确的固有频率的近似值，这种方法称为瑞利法。,31,动力学,2. 瑞利法：,L,k,s,ds,例.求考虑弹簧质量时系统的固有频率,32,动力学,L,k,s,ds,弹簧单位质量为 ,系统的动能为,系统的最大动能为：,其中：,33,动力学,形状函数：,设平衡时弹簧长L，振动中质量m的位移为x(t),弹簧上距 固定端s处的位移即与t有关又与s有关，即应写为y(s,t), 显然，当s=L时有： Y(l,t)=x(t) 假设弹簧在振动时的形状（即弹簧的变形形式）是仅与s 有关而与t无关的函数f(s)，则弹簧各点在振动中的位移 可表示为 Y(s,t)=x(t)f(s) 0s1 f(s)就为形状函数。 它的定义是质量m有单位位移时 弹簧各点相应的位移， 弹簧各点的速度为：,L,k,s,ds,34,动力学,例：计算考虑弹簧质量时弹簧质量系统的固有频率,35,动力学,例：计算考虑弹簧质量时弹簧质量系统的固有频率,解：,F(0)=0, f(l)=1,则其等效质量为：,36,动力学,2. 等效质量与等效刚度法：,称为简化系统的等效刚度及等效质量,另一种定义:使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力,叫做系统在这个坐标上和等效刚度;使系统在选定的坐标上产生单位加速度而需要在此坐标方向上施加的力,叫做系统在这个坐标上的等效质量,37,动力学,例. 弹簧并联系统和弹簧串联系统的等效刚度,并联,串联,38,动力学,例. 如图所示不计质量的杠杆系统，求坐标x的等效质量和等效刚度,39,动力学,§3 单自由度系统的有阻尼自由振动,一、阻尼的概念： 实际系统的机械能不可能守恒，因为总存在各种阻力。 阻尼：振动过程中，系统所受的阻力。 摩擦阻尼，电磁阻尼，介质阻尼及结构阻尼,40,动力学,§3 单自由度系统的有阻尼自由振动,粘性阻尼：在很多情况下，振体速度不大时，由于介质粘性引起的阻尼认为阻力与速度的一次方成正比，这种阻尼称为粘性阻尼。,投影式：,c 粘性阻尼系数，简称阻尼系数。, 粘性阻尼力, 相对速度,41,动力学,二、有阻尼自由振动微分方程及其解： 质量弹簧系统存在粘性阻尼：,有阻尼自由振动微分方程的标准形式。,n为衰减系数，单位为1/s，wn为无阻尼的固有频率,42,动力学,进一步令：,为了求解，令：,称为相对阻尼系数,它的两个根为：,43,动力学,其通解分三种情况讨论： 1、小阻尼情形,有阻尼的自由振动频率,阻尼固有频率,s1,s2为共轭复数，可写为,通解为,44,动力学,有阻尼自由振动的圆频率,也可写成,45,动力学,衰减振动的特点： (1) 振动周期变大， 频率减小。,阻尼比,有阻尼自由振动：,当 时， 可以认为,46,小（欠）阻尼情况（ ）,47,动力学,(2) 振幅按几何级数衰减,对数减缩率,相邻两次振幅之比,因为：,48,动力学,2、临界阻尼情形 临界阻尼系数,通解为：,是二重根,49,（2）临界尼情况（ ）,可见，物体的运动随时间的增长而无限地趋向平衡位置，不再具备振动的特性。,50,动力学,代入初始条件,3、过阻尼（大阻尼）情形,有两个不等的实根，s1与s2是两个不等的实根,51,（1）过阻尼情况（ ）,52,动力学,由上可见，阻尼的存在对自由振动的影响表现在两方面，一是使振动频率发生变化，另一是使振幅衰减。,记Tn为相应的无阻尼的振动同期，有阻尼时的振动周期为：,可见阻尼使自由振动的周期增大，频率降低。当阻尼小时， 影响很小，如相对阻尼系数为5%时，为1.00125，为20%时， 影响为1.02，因此通常可忽略。,频率的影响：,53,动力学,振幅的影响：,阻尼比越大，减幅系数越大，表明衰减的越快，如为 5%时，为1.37, 每一周期为1/1.37=0.73，每一周期内振 幅减小27%，可见对振幅影响很大。,54,动力学,例3 质量弹簧系统，W=150N，st=1cm , A1=0.8cm, A21=0.16cm。 求阻尼系数c 。,解：,由于 很小，,55,动力学,例4 如图所示，静载荷P去除后质量块越过平衡位置的最大位移为10%，求相对阻尼系数。,P,