2017年中考数学压轴题专题汇编专题04因动点产生的特殊四边形问题.pdf
【类型综述】 特殊四边形的几何动点问题，很多困难源于问题中的可动点，常见的动点四边形有平行四边形、矩形、 菱形等问题，其中尤其是平行四边形的问题出现次数最多。实际上，求解特殊四边形的动点问题，关键是 利用图解法抓住它运动中的某一瞬间，寻找合理的代数关系式，确定运动变化过程中的数量关系、图形位 置关系，分类画出符合条件的图形进行讨论，就能找到解决问题的途径，有效避免思维混乱。 【方法揭秘】 我们先思考三个问题： 1已知 A、B、 C 三点，以A、B、C、D 为顶点的平行四边形有几个，怎么画？ 2在坐标平面内，如何理解平行四边形ABCD 的对边 AB 与 DC 平行且相等？ 3在坐标平面内，如何理解平行四边形ABCD 的对角线互相平分？ 图 1 图 2 图 3 如图 1，过 ABC 的每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生三个点D 如图 2，已知 A(0, 3)，B(2, 0)，C(3, 1)，如果四边形ABCD 是平行四边形，怎样求点D 的坐标呢？ 点 B 先向右平移2 个单位， 再向上平移3 个单位与点A 重合， 因为 BA 与 CD 平行且相等， 所以点 C(3, 1) 先向右平移2 个单位，再向上平移3 个单位得到点D(5, 4) 如图 3，如果平行四边形ABCD 的对角线交于点G，那么过点G 画任意一条直线 （一般与坐标轴垂直） ， 点 A、C 到这条直线的距离相等，点B、 D 到这条直线的距离相等 关系式 xAxC xBxD和 yA yCyByD有时候用起来很方便 我们再来说说压轴题常常要用到的数形结合 如图 4，点 A 是抛物线y x22x3 在 x 轴上方的一个动点，ABx 轴于点 B，线段 AB 交直线 yx 1 于点 C，那么 点 A 的坐标可以表示为(x, x2 2x3)， 点 C 的坐标可以表示为(x, x1)， 线段 AB 的长可以用点A 的纵坐标表示为 AByA x 2 2x3， 线段 AC 的长可以用A、C 两点的纵坐标图 4 表示为 ACyAyC(x22x3)(x1) x2x2 通俗地说，数形结合就是：点在图象上，可以用图象的解析式表示点的坐标，用点的坐标表示点到坐 标轴的距离 【典例分析】 例 1 如图 1，直线 y 3x 3 与 x 轴、y 轴分别交于点A、B，抛物线 y a(x2) 2k 经过 A、B 两点， 并与 x 轴交于另一点C，其顶点为P （1）求 a，k 的值； （2）抛物线的对称轴上有一点Q，使 ABQ是以 AB为底边的等腰三角形，求点Q 的坐标； （3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以 A、C、M、N 为顶点的四边形为正方形，求此正方 形的边长】 图 1 例 2 如图 1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)以 A 为顶点 的抛物线yax 2 bxc 过点 C动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 向点 B 运动，同时动点Q 从点 C 出发， 沿线段 CD 向点 D 运动点P、 Q 的运动速度均为每秒1 个单位，运动时间为t 秒过点P 作 PEAB 交 AC 于点 E （1）直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式； （2）过点 E 作 EFAD 于 F，交抛物线于点G，当 t 为何值时， ACG 的面积最大？最大值为多少？ （3）在动点 P、Q 运动的过程中，当t 为何值时， 在矩形 ABCD 内（包括边界）存在点H，使以 C、Q、 E、H 为顶点的四边形为菱形？请直接写出t 的值 图 1 例 3 如图 1，抛物线经过A(1, 0)、B(5, 0)、 C 10 (0,) 3 三点设点E(x, y)是抛物线上一动点，且在x 轴下方， 四边形 OEBF 是以 OB 为对角线的平行四边形 （1）求抛物线的解析式； （2）当点 E(x, y)运动时，试求平行四边形OEBF的面积 S与 x 之间的函数关系式，并求出面积S的最大 值； （3）是否存在这样的点E，使平行四边形OEBF为正方形？若存在，求点E、F的坐标；若不存在，请 说明理由 例 4 如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线yax22ax3a（a0）与 x 轴交于 A、B 两点（点A 在 点 B 的左侧），经过点 A 的直线 l：ykxb 与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且 CD 4AC （1）直接写出点A 的坐标，并求直线l 的函数表达式（其中k、b 用含 a 的式子表示） ； （2）点 E 是直线 l 上方的抛物线上的动点，若ACE 的面积的最大值为 5 4 ，求 a 的值； （3）设 P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点A、D、P、Q 为顶点的四边形能否成 为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由 图 1 备用图 例 5 如图 1，已知抛物线C：y x2bxc 经过 A(3,0)和 B(0, 3)两点将这条抛物线的顶点记为M，它 的对称轴与x 轴的交点记为N （1）求抛物线C 的表达式； （2）求点 M 的坐标； （3）将抛物线C 平移到抛物线C ，抛物线 C 的顶点记为M，它的对称轴与x 轴的交点记为N 如果 以点 M、N、M、N为顶点的四边形是面积为16 的平行四边形，那么应将抛物线C 怎样平移？为什么？ 图 1 例 6 如图 1，已知抛物线y x2bxc 经过 A(0, 1)、B(4, 3)两点 （1）求抛物线的解析式； （2）求 tanABO 的值； （3）过点 B 作 BCx 轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y 轴的直线交线段AB 于点 N，交抛物 线于点 M，若四边形MNCB 为平行四边形，求点M 的坐标 图 1 例 7 将抛物线 c1： 2 33yx沿 x 轴翻折，得到抛物线c2，如图 1 所示 （1）请直接写出抛物线c2的表达式； （2）现将抛物线c1向左平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与 x 轴的交点从左到 右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与 x 轴的交点从 左到右依次为D、E 当 B、D 是线段 AE 的三等分点时，求m 的值； 在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由 图 1 【变式训练】 1.（2017 四川省达州市）探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意 两点 P1（x1，y1） ，P2（x2，y2） ，可通过构造直角三角形利用图1 得到结论： 22 122121 PPxxyy他 还利用图2 证明了线段P1P2的中点 P（x，y）P 的坐标公式： 12 2 xx x， 12 2 yy y （1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程； 运用：（2）已知点M（2， 1） ，N（ 3，5） ，则线段MN 长度为； 直接写出以点A（ 2，2） ， B（ 2，0） ，C（3， 1） ，D 为顶点的平行四边形顶点D 的坐 标：； 拓展：（3）如图3，点 P（2，n）在函数 4 3 yx （x0）的图象OL 与 x 轴正半轴夹角的平分线上，请在 OL、x 轴上分别找出点E、F，使 PEF 的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值 2. （2017 湖北省襄阳市） 如图，矩形 OABC 的两边在坐标轴上， 点 A 的坐标为（10， 0） ， 抛物线 2 4yaxbx 过点 B，C 两点，且与x 轴的一个交点为D（ 2，0） ，点 P 是线段 CB 上的动点，设CP=t（0t10） （1）请直接写出B、C 两点的坐标及抛物线的解析式； （2）过点 P 作 PEBC，交抛物线于点E，连接 BE，当 t 为何值时， PBE=OCD？ （3） 点 Q 是 x 轴上的动点， 过点 P 作 PMBQ， 交 CQ 于点 M， 作 PNCQ， 交 BQ 于点 N， 当四边形PMQN 为正方形时，请求出t 的值 3. （2017 山东省枣庄市）如图，抛物线 21 2 yxbxc与 x 轴交于点A 和点 B，与 y 轴交于点C，点 B 坐标为（ 6， 0） ，点 C 坐标为（ 0，6） ，点 D 是抛物线的顶点，过点D 作 x 轴的垂线，垂足为E，连接 BD （1）求抛物线的解析式及点D 的坐标； （2）点 F 是抛物线上的动点，当FBA=BDE 时，求点 F 的坐标； （3）若点 M 是抛物线上的动点，过点M 作 MNx 轴与抛物线交于点N，点 P 在 x 轴上，点 Q 在坐标平面 内，以线段MN 为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q 的坐标 4. (2017湖北恩施第 24 题 ) 如图12，已知抛物线 2 yaxc=+过点( ) 2,2-，()4,5，过定点()0,2F的直线 :2lykx=+与抛物线交于 A，B两点，点B在点A的右侧，过点B作 x轴的垂线，垂足为C. (1)求抛物线的解析式； (2)当点B在抛物线上运动时，判断线段BF与BC的数量关系 ( 、 、 =)，并证明你的判断； (3)P为 y轴上一点，以,B C F P 为顶点的四边形是菱形，设点 () 0,Pm，求自然数 m的值； (4)若 1k = ，在直线 l 下方的抛物线上是否存在点 Q ，使得QBF的面积最大，若存在，求出点 Q 的坐标及 QBF的最大面积，若不存在，请说明理由.
