平面几何中四个重要定理的应用.pdf

A BP R C Q 平面几何中四个重要定理的应用（一） 梅涅劳斯 (Menelaus) 定理（梅氏线） ABC的三边 BC 、CA 、 AB或其延长线上有点P 、Q、R，则 P、Q、R共线的充要条件是1 RB AR QA CQ PC BP 。 塞瓦 (Ceva) 定理（塞瓦点） ABC的三边 BC 、CA 、AB上有点 P、Q、R，则 AP 、 BQ 、CR共 点的充要条件是1 RB AR QA CQ PC BP 。 托勒密 (Ptolemy) 定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是 该四边形内接于一圆。 西姆松 (Simson) 定理（西姆松线） 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是 该点落在三角形的外接圆上。 例题： 1 设 AD是 ABC的边 BC上的中线， 直线 CF交 AD于 F。求证： FB AF2 ED AE 。 【分析】 CEF截 ABD 1 FA BF CB DC ED AE （梅氏定理） 【评注】也可以添加辅助线证明：过A、B、D之一作 CF的平行 线。 2 过 ABC的重心 G的直线分别交AB 、AC于 E、F，交 CB于 D。 求证：1 FA CF EA BE 。 【分析】连结并延长AG交 BC于 M ，则 M为 BC的中点。 DEG截 ABM 1 DB MD GM AG EA BE （梅氏定理） DGF截 ACM 1 DC MD GM AG FA CF （梅氏定理） FA CF EA BE = MDAG )DCDB(GM = MDGM2 MD2GM =1 【 评注】梅氏定理 A BC F D E A BC D G F E l P A C B E F D A BCP Q R A B C D A BCDM G F E 3 D、E、F 分别在 ABC的 BC 、 CA 、AB边上， EA CE FB AF DC BD ，AD、BE 、CF交成 LMN 。 求 SLMN。 【分析】 【评注】梅氏定理 4 以 ABC各边为底边向外作相似的等腰BCE 、CAF 、 ABG 。求证： AE 、 BF、CG相交于一点。 【分析】 【评注】塞瓦定理 5 已知 ABC中， B=2 C。求证： AC 2=AB2+AB· BC 。 【分析】过A作 BC的平行线交ABC的外接圆于D，连结 BD 。则 CD=DA=AB ，AC=BD 。 由托勒密定理，AC ·BD=AD ·BC+CD ·AB 。 【评注】托勒密定理 6 已知正七边形A1A2A3A4A5A6A7。 求证： 413121 AA 1 AA 1 AA 1 。 （第 21 届全苏数学竞赛） 【分析】 【评注】托勒密定理 7 ABC的 BC 边上的高AD 的延 长 线 交 外接圆于 P， 作 PE AB于 E，延长 ED交 AC延长线于F。 求证： BC ·EF=BF ·CE+BE ·CF。 【分析】 【评注】西姆松定理（西姆松线） 8 正六边形ABCDEF 的对角线AC 、CE分别被内分点M 、N分成的比为AM ：AC=CN ：CE=k ， A B C D E F M N L C B A A B C D P E F BC A D A B C G F E A B C G F E M N L A 1 A 7 A 6 A 5 A 4 A3 A 2 A1 A 7 A 6 A 5 A4 A3 A2 且 B、M 、 N共线。求k。 （ 23-IMO-5 ） 【分析】 【评注】面积法 9 O为ABC内 一 点， 分别以 da、db、 dc表示 O 到BC、 CA 、 AB的距离 ， 以 Ra、Rb、 Rc表 示 O到A、B、C的距离。 求证： （1）a·Rab·db+c·dc; (2) a ·Rac·db+b·dc; (3) Ra+Rb+Rc 2(da+db+dc) 。 【分析】 【评注】面积法 10ABC中，H、 G、 O分 别 为 垂 心、 重心、外心。 求证：H、G、O 三点 共线，且HG=2GO。 （欧拉线） 【分析】 【 评注】同一法 11ABC 中， AB=AC ， AD BC 于 D，BM 、BN三等分 ABC ，与 AD相交于 M 、N，延长 CM 交 AB于 E。 求证： MB/NE。 【分析】 【评注】对称变换 12G是 ABC的重心，以 AG为弦作圆切BG于 G， 延长 CG交圆于 D。 求证： AG 2=GC ·GD 。 D E F A B C N M O C AB H G B C D M N A E O D E F A B C M N O C B A D F E O C B A D F E K L O B A C D H G 8 6 7 4 5 3 2 1 B C D M N A E 【分析】 【评注】平移变换 13C是直径AB=2的 O上一点， P在 ABC 内 ， 若 PA+PB+PC 的最小 值是，求此时 ABC的面积 S。 【分析】 【评注】旋转变换 费马点：已 知 O 是 ABC 内一点， AOB= BOC= COA=120 °； P是 ABC内任一点，求证：PA+PB+PC OA+OB+OC。 （O为 费 马点） 【分析】将C )60,B(R 0 C'，O )60,B(R 0 O'， P )60,B(R 0 P' ，连结 OO'、PP' 。 则 B OO'、 B PP' 都是正三角形。 OO'=OB ，PP' =PB 。显然 BO'C' BOC ， BP'C' BPC 。 由于 BO'C'= BOC=120 °=180°- BO'O， A、 O 、O'、 C' 四点共线。 AP+PP'+P'C' AC'=AO+OO'+O'C'，即 PA+PB+PC OA+OB+OC。 14 菱形 ABCD的内切圆O与各边分别交于E、F、G、H，在弧 EF和弧 GH上分别作 O 的切线交AB 、BC 、CD 、DA分别于 M 、N、P、Q 。 求证： MQ/NP。 【分析】由AB CD知：要证MQ NP ， 只需证 AMQ= CPN ， 结合 A=C知，只需证 CB A G D P BA C B D O A C M N P Q D B O A C E L FG H Q P N M P BA C B' P' CB A G G' D A C O P P' O A B C O P AMQ CPN CN CP AQ AM ，AM ·CN=AQ ·CP 。 连结 AC 、BD ，其交点为内切圆心O。设 MN与 O切于 K，连结 OE 、OM 、OK 、ON 、OF 。 记 ABO= ， MOK= ， KON= ，则 EOM= ， FON= ， EOF=2 +2=180°-2 。 BON=90 °- NOF-COF=90 °- - = CNO= NBO+ NOB= +=AOE+ MOE= AOM 又 OCN= MAO ， OCN MAO ，于是 CN AO CO AM ， AM ·CN=AO ·CO 同理， AQ ·CP=AO ·CO 。 【评注】 15 O1和 O2与 ABC的三边所在直线都相切，E、F、G 、 H 为切点， EG 、FH 的延长线 交于 P。求证： PABC 。 【分析】 【评 注】 16 如 图 ， 在 四 边 形 ABCD 中 ， 对 角线 AC平分 BAD 。在 CD上取一点E，BE与 AC相交于 F，延长 DF交 BC 于 G。求证： GAC= EAC 。 证明：连结BD交 AC于 H。对 BCD用塞瓦定理，可得1 EC DE HD BH GB CG 因为 AH是 BAD的角平分线，由角平分线定理， 可得 AD AB HD BH ，故1 EC DE AD AB GB CG 。 过 C 作 AB的平行线交AG的延长线于I ，过 C作 AD的 平行线交AE的延长线于J。 则 CJ AD EC DE , AB CI GB CG ， 所以1 CJ AD AD AB AB CI ，从而 CI=CJ。 又因为 CI/AB ， CJ/AD， 故 ACI=- BAC= - DAC= A B D C E F G E O 1 G C O 2 A F H P B 4 3 21 E O 1 G C O 2 A F H P BD D B A C H E J F G I D B O C A F G H E M ND B O C A F G H E M N E ' H' ACJ。 因此， ACI ACJ ，从而 IAC=JAC，即 GAC= EAC 。 17. 已知 AB=AD ，BC=DC ，AC与 BD交 于 O，过 O的任意两条直线EF和 GH与四 边形 ABCD 的四边交于E、F、G 、H。连结 GF 、EH ，分别交 BD于 M 、N。求证：OM=ON。 （5 届 CMO ） 证明 ：作 EOH )AC(S E'OH' ， 则只需证E' 、M 、 H'共线，即E'H' 、BO 、 GF三线共点。 记 BOG= ， GOE'=。连结 E'F 交 BO于 K。只需证 'KE FK F'H 'BH GB G'E =1（Ceva逆 定理）。 'KE FK F'H 'BH GB G'E = 'OKE OFK F'OH 'OBH OGB G'OE S S S S S S = 'OE OF sinOF sinOB sinOB sin'OE =1 注：筝形 ：一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形。 对应于 99 联赛 2： E'OB= FOB ，且 E'H' 、GF 、BO三线共点。 求证： GOB= H'OB。 事实上， 上述条件是充要条件，且 M在 OB延长线上时结论仍然 成立。 证明方法为：同一法。 蝴蝶定理 ：P是 O的弦 AB的中点，过P点引 O的两弦 CD 、 EF，连结 DE交 AB于 M ，连结 CF交 AB于 N。求证： MP=NP 。 【 分 析 】设 GH为过 P 的直径， F )GH(S F'F ，显然 ' O。又 PGH ，PF'=PF。PF )GH(S PF' ，PA )GH(S PB ， FPN= F'PM，PF=PF'。 又 FF' GH ， AN GH ， FF' AB 。 F'PM+MDF'=FPN+ EDF' BO F G E' H' M O B A P D F C E NM H G F' O B A P D F C E NM =EFF'+ EDF'=180°， P、M 、D、 F' 四点共圆。PF'M=PDE= PFN 。 PFN PF'M，PN=PM 。 【评注】一般结论为：已知半径为R的 O内一弦 AB上的一点P ，过 P 作两条相交 弦 CD、 EF，连CF、 ED 交AB 于 M 、 N，已知OP=r， P 到AB 中点的距离为a，则 22 rR a2 PN 1 PM 1 。