平面向量数量积的物理背景及其含义教案.pdf
教 案 平面向量数量积的物理背景及其含义 课题：§2.4.1 平面向量数量积的物理背景及含义 教学目标 (一)知识目标 1、了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义； 2、体会平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的性质，并能运用性质进行相关 的运算和判断； 3、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括的能力。 (二)能力目标 通过对平面向量数量积性质的探究, 培养学生发现问题、分析问题、 解决问题的能 力, 使学生的思维能力得到训练. 继续培养学生的探究能力和创新的精神。 (三)情感目标 通过本节课的学习 , 激发学生学习数学的兴趣和善于发现、勇于探索的精神, 体会 学习的快乐 . 体会各学科之间是密不可分的. 培养学生思考问题认真严谨的学习态。 教学重点：平面向量的数量积的定义、几何意义及其性质。 教学难点：平面向量数量积的概念。 教学方法：启发探究式, 讲练结合法。 教学准备：多媒体、彩色粉笔。 课型：新授课 . 教学过程 (一)复习引入 教师引言：前面我们学习了向量的相线性运算，向量的加法、减法和数乘运算。我 们知道这些运算有个共同的特点，就是他们运算的结果仍然是一个向量。既然平面向 量能进行加减运算，那自然会想到两个向量能否进行乘法运算？如果能，结果应该是 什么呢？我们很清楚，向量概念的引入与物理学的研究密切相关，我们来看物理学中 这样的一个例子： 物理学家很早就知道 , 如果一个物体在力F 作用下产生位移 S，那么 F 所做的功为 : F F S S (图 1) (图 2 ) (图 1)中力所做的功 W=SF，(图 2)中力所做的功 cosSFW ，在物理中功是一个 标量，是由 F 和 S 这两个向量来确定的， 如果我们把功看成是由F 和 S这两个向量的 一种运算结果，就可以引出新课的内容“平面向量数量积的物理背景及其含义”. (二)合作探究 结合物理学中功大小的定义cosSFW和前面我们说的把功看成是和两个向 量的运算结果，两者是等价的. 如果把和这两个向量推广到一般的向量，就引出数量 积的定义 1、数量积的定义： 已知两个非零向量和， 把数量cosba叫做与数量积（或内积），记作ba（注意： 两个向量的运算符号是用 “” 表示的， 且不能省略）， 用数学符号表示即cosbaba, （）1800. 规定：零向量与任意向量的数量积都为零，即为任意向量aa00 2、接下来，请同学们思考一个问题： 根据定义我们知道数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？ 我们前面已经提到两个向量的夹角在1800 ，根据余弦函数的知识我们可以知 道: 当90,0时， 0cos ，0ba； 当180,90时，0cos，0ba. 当0,90baba; 3、投影的定义 cosbaba是由cosSFW的引出来的，而cosSFW是所做的功， cos 1 FF是在方向上的分力， 那么在数量积中cosa叫做什么呢？这是我们今天 要学的第二个新概念“投影”： a cos （bcos ）叫做向量在方向上 (在方向上）的投影 . 4、根据投影的定义，引导学生说出数量积的结构，也就是数量积的几何意义： 数量积与的长度等于aaba在方向上的投影cosb的乘积 5、功的数学本质是什么？功的数学本质是力与位移的数量积。 6、探究数量积的性质 我们讨论了数量积的正负，那么我们这里就具体的讨论一些特殊的夹角: 0,90baba; bababa同向，与，0; bababa-180反向，与，. 我们这里都是由两个向量的夹角来讨论数量积的,那如果我们已知两个向量的数 量积及模长 ,怎样得出它们的夹角呢 ? 根据定义 ba ba babacoscos由此我们就可以得出的值.当0ba 时,900cos 总结0baba. 特别地， 2 2 ,aaaaaaaaa常记为这里或. 请判断的大小关系与baba 解：因为1cos,cosbaba， 所以bababacos 这些就是数量积的性质。在课堂上以上性质以探究形式出现，让同学们积极思 考，踊跃回答并总结其各自的应用。 （三）例题讲解，巩固知识 例 1 已知4, 5 ba，ba与的夹角=120度，求ba 解：根据数量积的定义 : cosbaba =120cos45 =5 2 1 4 =-10. 练习：在 ABC 中 BC=8,CA=7, 0 60C求CABC。(-28) 例 2 已知,8, 2,8baba求与的夹角。 （四） 课堂练习 、若 0，则对任一非零向量，有·0 .,30,2,36bbaaba o 求的夹角与变式：已知 o oo ba ba baba 120 180,0 2 1 82 8 cos cos解： 正确，并说明理由、判断下列各命题是否1 、若 0，··，则 2、已知 ABC 中，AB=, AC =，当· 0 或· 0 时，试判断 ABC 的形 状。 （五）课堂小结 本节课你有什么收获？让学生各抒己见从不同方面加以总结。 ( 知识收获，学习方法，数学思想等) （六） 布置作业： 1、课本 P121习题 2.4A 组 1、2、6。 2、拓展与提高： 已知与都是非零向量，且+3 与 7 -5 垂直， -4 与 7-2 垂直，求与的夹角。（本题 供学有余力的同学选做）
