应变花计算公式.pdf
精心整理 精心整理 1. 概述 （1）平面应变状态：即受力构件表面一点处的应变情况。 （2）测试原理： 一般最大应变往往发生在受力构件的表面。通常用应变仪测出受力构件表面一点处三 个方向的线应变值，然后确定该点处的最大线应变和最小应变及其方程。 2. 公式推导： （1）选定坐标系为xoy，如图示 （2）设 0 点处，为已知。规定伸长为正，切应变以 xoy 直角增大为 正。 （3）求任意方向，方向（规定逆时针方向为正） 的线应变和切应变（即 直角的改变量）。 （4）叠加法：求方向的线应变和切应变 由于而引起 ds 的长度改变, 方向（即方向）的线应变 求的切应变即方向的直角改坐标轴偏转的角度 以代替式（ c）中的，求得坐标轴偏转角度： 3. 结论 精心整理 精心整理 （1）已知可求得任意方向的 （2）已知, 求得 （3）主应变和主应变方向 比较上述公式，可见 故: 4. 应变圆 5. 应变的实际测量 用解析法或图解法求一点处的主应变时，首先必须已知，然而用应变仪直接 测量时，可以测试，但不易测量。所以，一般是先测出任选三个方向的 线应变。 然后利用一般公式，将代入 得出： 联解三式，求出, 于是再求出主应变的方向与数值 精心整理 精心整理 由式求出，当时与二、四相限的角度相对应。 6. 直角应变花（ 45°应变花）测量 为了简化计算，三个应变选定三个特殊方向 测得：，代入一般公式 求得： 故 讨论： 若与二、四相限的角度相对应。见P257 、7.21 题 6. 等角应变花测量 一般公式： 测定值：代入式（ a）得： 主应变方向 : 精心整理 精心整理 故: 于是由主应变公式： ,穿过二 , 四相限 . 见 P258，7.22 题 Example1.用直角应变花测得一点的三个方向的线应变 Find ：主应变及其方向 Solution ： 故过二、四相限。 Example2.若已测得等角应变花三个方向的线 ?试求主应变及其方向 Solution ： 即: 应力测量 ?(measurementofstress) 精心整理 精心整理 测量物体由于外因或内在缺陷而变形时，在它内部任一单位截面积上内外两方的相互作用力。应力是不能 直接测量的，只能是先测出应变，然后按应力与应变的关系式计算出应力。若主应力方向已知，只要沿着主应力 方向测出主应变，就可算出主应力。各种受力情况下的应变值的测量方法见表1。 轴向拉伸 (或压缩 )时， 沿轴向力方向粘贴应变片(表 l 之 14)， 测出应变 ， 按单向虎克定律算出测点的拉(压) 应力 =E 。式中 为应变， E 为弹性模量。 弯曲时在受弯件的上下表面上粘贴应变片(见表 1 之 56)，测出应变e，可计算弯曲应力。 扭转时沿与圆轴母线成± 45 。?角的方向贴片 (表 1 之 79)，测出主应变 em，再代入虎克定律公式算出主应 力 45 o ?，即得最大剪应力 rmax?： 式中 为泊松比。 拉(压)、弯曲、 扭转， 其中两种或三种力的联合作用下，不同测量要求的应变值测量方法分别见表1 的 10 14。 主应力方向未知时的应力测量如图1 所示。在该测点沿与某坐标轴X 夹角分别为 1?、 2?和 3?的 3 个方向， 各粘贴一枚应变片，分别测出3 个方向的应变 1 2?和 3?根据下式 可解出 x?，y?和 z?再代入下式求出主应变1?、2?和主方向与x 轴夹角 a： 最后，再根据广义虎克定律公式 求出主应力 1?、2?和 Tmax?。 实际上为了简化计算，3 枚应变片与z 轴的夹角a1?、a2?和 a3?总是选取特殊角，如 0 o?、45o?、60o?、90o? 和 120o?并将 3 枚应变片的敏感栅制在同一基底上，形成应变花。常用的应变花有直角应变花 (00 一 45。一 90。) 和等角应变花(O 。 ?一 60 。?一 120o?)。不同形式的应变花的计算公式见表 2。 用应变片测量的应变值一般是很小的，因而电阻值的变化同样是很小的。为此，有必要把应变计连接到一 定的测量系统中，以精确测定应变片电阻值的变化。用应变片测量应变的测量系统框图见图2。 电阻应变测量法是实验应力分析中应用最广的一种方法。电阻应变测量方法测出的是构件上某一点处的应变，还需通过换算才能得 到应力。根据不同的应力状态确定应变片贴片方位，有不同的换算公式。 8.7.1? 单向应力状态 在杆件受到拉伸( 或压缩 ) 情况下，如图8-31 所示。此时只有一个主应力 s1，它的方向是平行于外加载荷F的方向，所以这个主应 力s1 的方向是已知的，该方向的应变为el 。而垂直于主应力s1 方向上的应力虽然为零，但该方向的应变e20，而是e2=-el 。 由此可知 : 在单向应力状态下，只要知道应力 s1 的方向，虽然s1 的大小是未知的，可在沿主应力s1 的方向上贴一个应变片，通过 测得el ，就可利用s1=Ee1 公式求得s1。 8.7.2? 主应力方向巳知平面应力状态 平面应力是指构件内的一个点在两个互相垂直的方向上受到拉伸( 或压缩 ) 作用而产生的应力状态，如图8-31 所示。 图中单元体受已知方向的平面应力s1 和s2 作用，在 X和 Y方向的应变分别为 s1 作用： X方向的应变el 为s1/E Y方向的应变e2 为- s1/E 精心整理 精心整理 s2 作用： Y方向的应变e2 为e2/E X方向的应变el 为- e2/E 由此可得 X方向的应变和Y方向的应变分别为 ?（8-72 ） 上式变换形式后可得 ?（8-73 ） 由此可知：在平面应力状态下，若已知主应力s1 或s2 的方向 (s1 与s2 相互垂直 ) ，则只要沿s1 和s2 方向各贴一片应变片，测得 l 和2 后代入式（ 8-73 ），即可求得s1 和s2 值。 8.7.3? 主应力方向未知平面应力状态 当平面应力的主应力 s1 和2 的大小及方向都未知时，需对一个测点贴三个不同方向的应变片，测出三个方向的应变，才能确定 主应力s1 和s2 及主方向角q三个未知量。 图 8-33 表示边长为 x和y、对角线长为l 的矩形单元体。设在平面应力状态下，与主应力方向成 q角的任一方向的应变为 ，即 图中对角线长度l的相对变化量。 由于主应力 sx、sy的作用，该单元体在 X、Y方向的伸长量为 x、y，如图 8-33(a) 、(b) 所示，该方向的应变为 ex=x/x、ey= y/y；在切应力 xy作用下，使原直角XOY减小gxy，如图 8-33(c)所示，即切应变gxy=x/y。这三个变形引起单元体对角线 长度l的变化分别为 xcosq、ysinq、ygxycosq，其应变分别为excos2q、eysin2q、gxysinqcosq。当ex、ey、gxy同时发生时， 则对角线的总应变为上述三者之和，可表示为 ?（8-74 ） 利用半角公式变换后，上式可写成 ?（8-75 ） 由式 (8-75) 可知e与ex、ey、gxy之间的关系。因 ex、ey、gxy未知，实际测量时可任选与 X轴成q1、q2、q3 三个角的方向各 贴一个应变片，测得e1、e2、e3 连同三个角度代入式(8-75) 中可得 ?（8-76 ） 由式 (8-76) 联立方程就可解出ex、ey、gxy。再由ex、ey、gxy可求出主应变e1、e2 和主方向与X轴的夹角q，即 精心整理 精心整理 ?（8-77 ） 将上式中主应变 e1 和e2 代入式 (8-73) 中，即可求得主应力。 在实际测量中，为简化计算，三个应变片与X轴的夹角q1、q2、q3 总是选取特殊角，如 0°、45°和 90°或 0°、60°和 120°角，并将三个应变片的丝栅制在同一基底上，形成所谓应变花。图8-34 所示是丝式应变花。 设应变花与X轴夹角为 q1=0°，q2=45°、q3=90°，将此q1、q2、q3 值分别代人式 (8-76) 得 ?（8-78 ） 由式 (8-78) 可得 ?（8-79 ） 将式 (8-79) 代入式 (8-77) 可得主应变e1、e2 和主应变方向角q的计算式为 ?（8-80 ） ?（8-81 ） 将式 (8-80) 代入式 (8-81) 得应力计算公式为 ?（8-82 ） 对q1=0°、q2=60°、q3=120°的应变花，主应变 e1、e2 和主应变方向角 及主应力 s1 和s2 计算公式为 ?（8-83 ） ?（8-84 ） ?（8-85 ） 精心整理 仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。 Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse. Nurf ürdenpers?nlichenfürStudien,Forschung,zukommerziellenZweckenverwendetwerden. Pourl'étudeetlarechercheuniquementàdesfinspersonnelles;pasàdesfinscommerciales. ? , , .? 以下无正文 精心整理 仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。 Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse. Nurf ürdenpers?nlichenfürStudien,Forschung,zukommerziellenZweckenverwendetwerden. Pourl'étudeetlarechercheuniquementàdesfinspersonnelles;pasàdesfinscommerciales. ? , , .? 以下无正文
