人教A版高中数学必修五模块测试题.docx.pdf
高中数学学习材料 鼎尚图文 *整理制作 必修五模块测试 一填空题 1.在ABC中，角,A B C所对的边分, ,a b c. 若cossinaAbB，则 2 sincoscosAAB。 2. ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为a、b、c.若 a、b、c 成等比数列，且c=2a,则 cosB= 。 3. an是等差数列，则使的最小的 n 值是。 4.设 、 是方程 x 2-2x+k2=0 的两根，且 , + , 成等比数列，则k= 。 5.已知 ma 1 a2(a2)，n 2 x21 2 （）(x0)，则 m 与 n 的大小关系为. 6.若钝角三角形三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为m,则 m 的范围是 7.若以 2,3， x 为三边组成一个锐角三角形，则x 的范围为. 8.数列 an 中， an0 且anan+1 是公比为q(q0)的等比数列，满足anan+1+an+1an+2an+2an+3(nN *)，则公比 q 的取值范 围是。 9. 三 角 形 两 条 边 长 分 别 为3 cm,5 cm ， 其 夹 角 的 余 弦 值 是 方 程5x 2 -7x-6=0的 根 ， 则 此 三 角 形 的 面 积 是 _. 10.数列 an的通项公式为an=2n-49，Sn达到最小时， n 等于 _。 11.一段长为 L m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，则菜园的最大面积是。 12. 在 ABC 中 ,若 sinB、cos 2 A 、sinC 成等比数列 ,则此三角形的形状为。 13将给定的25 个数排成如图所示的数表，若每行 5 个数按从左至右的顺序构成等差数列，每列的5 个数按从上到 下的顺序也构成等差数列，且表正中间一个数a33=1, 则表中所有数之和为。 14.半圆 O 的直径为2， A 为直径延长线上的一点，OA 2，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC. 则四边形 OACB 的面积最大值是。 二、解答题 15.已知 n a是等差数列，其中 14 25,16aa（1）求 n a的通项 ; （2）数列 n a从哪一项开始小于0; （3）求 13519 aaaa值。 1011 0,0SS0 n a 16.在 ABC 中， BCa， ACb，a，b 是方程0232 2 xx的两个根，且1cos2BA。 求： (1)角 C 的度数；(2)AB 的长度。 17.已知不等式 2 230xx的解集为A，不等式 2 60xx的解集为B。 （1）求 AB ； （2）若不等式 2 0xaxb的解集为AB ，求不等式 2 0axxb的解集。 18.一缉私艇发现在北偏东45方向 ,距离 12 nmile 的海面上有一走私船正以10 nmile/h 的速度沿东偏南15方向逃窜 .缉 私艇的速度为14 nmile/h, 若要在最短的时间内追上该走私船,缉私艇应沿北偏东 45的方向去追 ,.求追击所需的 时间和角的正弦值 . 19某公司今年年初用25 万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21 万元。该公司第n 年需要付出设备的维 修和工人工资等费用 n a的信息如下图。 （1）求 n a； （2） 引进这种设备后，第几年后该公司开始获利； （3）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？ 费用( 万元) 年 an 4 2 n 21 A B C 北 东 20设 an 是正数 组成的数列，其前n 项和为 Sn，并且对于所有的 n N+，都有 2 )2(8 nn aS。 （1）写出数列 an 的前 3 项； （2）求数列 an的通项公式 (写出推证过程)； （3）设 1 4 nn n aa b， n T是数列 bn的前 n 项和，求使得 20 m Tn对所有 nN+都成立的最小正整数m的值。 21在ABC中，角. .AB C所对的边分别为a,b,c.已知sinsinsin,ACpB pR且 21 4 acb. （）当 5 ,1 4 pb时，求,a c的值； ()若角B为锐角，求p 的取值范围； 22设无穷等差数列的前 n 项和为 （1）若首项，公差 1d ，求满足的正整数； n a n S 1 3 2 a 2 2 () k k SSk （2）求所有的无穷等差数列，使得对于一切正整数 k 都有成立 2 2 () k k SS n a 答案 1. 1. 2. 4 3 。提示 :a、b、c 成等比数列 ,b2=ac.又 c=2a,b2=2a2. cosB= ac bca 2 222 = 2 222 4 24 a aaa = 4 3 . 4. ± 2。提示 ： + =2， =k 2,又( +)2= ， 4=k 2.k=± 2. 5.mn提示：m a2 1 a22224(当且仅当 a3 时取等号 ) 而 x22 2(x0)， n 2 x21 2 （）(1 2) 24.mn 6. m2.提示 :设 ABC,则 B= 3 ,A+C= 3 2 ,0C 6 ,于是 m= c a = C A sin sin = C CC C C sin sin 2 1 cos 2 3 sin ) 3 2 sin( = 2 3 cotC+ 2 1 ,3cotC,m2. 7.5x13。提示： 由余弦定理可知：cosA 49 x 2 12 0，cosB 4x 29 4x 0， cosC 9x 24 6x 0，由此联立得：5x13。 8. 0q 2 51 .提示 ：令 n=1，不等式变为a1a2+a2a3a3a4， a1a2+a1a2qa1a2q2， a1a20,1+qq2.解得 0q 2 51 . 9. 6 cm 2.提示： 由 5x2-7x-6=0, 得 x 1=- 5 3 , x2=2(舍去 ), cos =- 5 3 ,sin = 5 4 .S= 2 1 × 3× 5×5 4 =6 (cm 2). 10.24.提示： an=2n-49,an是等差数列，且首项为-47，公差为2. 由 0,49-1)-2(na 0,49-2na 1-n n 解得 n=25. 从第 25 项开始为正，前24 项都为负数，故前24 项之和最小 . 11. L 2 8 。提示： 由题意设长、宽各为x、ym，则 x 2yL 又 Sxy，Lx2y2 2xyxy L 2 8 。 12.等腰三角形。提示:易知 cos 2 =sinB ·sinC, 1+cosA=2sinBs inC, 即1-cos( B+C)=2sinBsinC,即1-cosBcosC+sinBsinC=2sinBsinC. 1-cosBcosC=sinB sinC，cos(B-C)=1.0B,0C,-B-C. B-C=0,B=C ， ABC 为等腰三角形. 13. 25. 提示 :第一行的和为5a13, 第二行的和为 5a 23，第五行的和为5a53, 故表中所有数之和为 5(a13+a23+a33+a43+a53)=5×5a 33=25. 14. 25 4 3。提示 : 设AOB ，在 AOB 中，由余弦定理得 AB 212222× 1× 2cos 54cos ，于是，四边形 OACB 的面积为 S SAOB SABC 1 2OA · OBsin 3 4 AB 2 1 2× 2× 1× sin 3 4 (54cos)sin 3cos 5 4 32sin( 3) 5 4 3 0 ， 当 3 2， 5 6 ，即 AOB 5 6 时，四边形OACB 面积最大为2 5 4 3. 15.解： （1）4133aadd2 83nan （2） 1 28309 3 nn数列 n a从第 10 项开始小于0 （3） 13519 aaaa是首项为25，公差为6的等差数列，共有10 项 其和 109 1025( 6)20 2 S 16. 解： （1） 2 1 coscoscosBABACC120° （2）由题设： 2 3 2 ab ab 120cos2cos2 22222 abbaCBCACBCACAB 10232 2 2 22 abbaabba10AB。 17.解： （1）由 2 230xx得13x，所以 A=（-1， 3） 由 2 60xx得32x，所以 B=（-3，2） ， A B=（-1，2） （2）由不等式 2 0xaxb的解集为（ -1， 2） ， 所以 10 420 ab ab ，解得 1 2 a b 2 20xx，解得解集为R. 18.解: 设 A,C 分别表示缉私艇,走私船的位置,设经过x小时后在B 处追上 , 则有14 ,10 ,120 .ABx BCxACB 222 (14 )12(10 )240cos120xxx2 ,2 8 ,2 0xA BB C sin12020sin1205 3 sin. 2814 BC AB 所以所需时间2 小时 , . 14 35 sin 19.解： （ 1）由题意知，每年的费用是以2 为首项， 2 为公差的等差数列，求得： 1 2(1)2 n aann （2）设纯收入与年数n 的关系为f(n), 则： 2(1) ( )2122252025 2 n n f nnnnn 由 f(n)0 得 n2-20n+250 解得105 3n105 3 又因为 nN,所以 n=2,3,4, 18.即从第 2 年该公司开始获利 （3）年平均收入为 n )n(f =20- 25 (n)202510 n 当且仅当 n=5 时，年平均收益最大.所以这种设备使用5 年，该公司的年平均获利最大。 20.解:(1) n=1 时 2 11 8(2)aa 1 2a n=2 时 2 122 8()(2)aaa 2 6a n=3 时 2 1233 8()(2)aaaa 3 10a (2) 2 8(2) nn Sa 2 11 8(2) (1) nn San 两式相减得 : 22 1 8(2)(2) nnn aaa 即 22 11 440 nnnn aaaa 也即 11 ()(4)0 nnnn aaaa 0 n a 1 4 nn aa即 n a是首项为 2,公差为 4 的等差数列 2(1) 442 n ann (3) 1 441111 () (42)(42)(21)(21)2 (21)(21) n nn b aannnnnn 12 111111 (1)()() 2335(21)(21) nn Tbbb nn 11111 (1) 2212422nn 20 n m T对所有nN都成立 1 202 m 即10m故 m 的最小值是10 。 22、 （1）当时，由 2 )(2 k k SS 得， 2224 ) 2 1 ( 2 1 kkkk ，即 0)1 4 1 ( 3 kk ，又 0k ，所以 4k nn nn nSn 2 2 1 2 ) 1( 2 3 1, 2 3 1 da （2）设数列 n a 的公差为 d，则在 2 )( 2 k k SS 中分别取 2, 1k 得 即，由（ 1）得 0 1 a 或 1 1 a 当 0 1 a 时，代入（ 2）得： 0d 或 6d ； 当 0, 0 1 da 时， 0,0 nn Sa ，从而 2 )( 2 k k SS 成立； 当 6, 0 1 da 时，则 )1(6 nan ，由 18 3 S ， 216,324)( 9 2 3 SS 知， 2 39 )(SS ，故所得数列不符合题意； 当 1 1 a 时， 0d 或 2d ，当 1 1 a ， 0d 时， nSa nn ,1 ，从而 2 )(2 k k SS 成立；当 1 1 a ， 2d 时，则 2 , 12nSna nn ，从而 2 )(2 k k SS 成立，综上 共有 3 个满足条件的无穷等差数列； 0 n a 或 1 n a 或 12nan 另解：由 2 )( 2 k k SS 得 对于一切正整数 k都 成立，则有解之得： 1 0 0 d a 或 1 0 1 d a 或 1 2 1 d a 所以所有满足条件的数列为： 0 n a 或 1 n a 或 12nan 2 24 2 11 )( )( SS SS 2 11 2 11 ) 2 12 2( 2 34 4dada aa 1 2 2 1 22 11 11 0 42 1 0 2 11 0 42 dd dad aaddda 2222 11 11 (1) (1) 22 kakdkakd 1 22222 111 11111 ()()()0 42242 dd kdadkaaddda
