人教版九年级上册专题八二次函数和一元二次方程(培优训练).pdf
专题八 二次函数与一元二次方程 一、 知识解读 1. 方程的解是二次函数与轴 交点的横坐标。设两交点的坐标分别为，则有： ，。 2. 方程的解是二次函数与直线 交点的横坐标。 3. 方程的解是二次函数与直 线交点的横坐标。 4. 抛物线与轴交点个数与方程 的根的关系： 抛物线与轴两个交点方程有两个不相等的实数根 抛物线与轴一个交点方程有两个相等的实数根 抛物线与轴无交点方程无实数根 5 （1） 不等式的解集即抛物线位 于轴上方对应的点的横坐标的取值范围； 不等式的解集即抛物线位于轴 上方对应的点的横坐标的取值范围；不等式的解集即抛 物线位于轴下方对应的点的横坐标的取值范围； （2）不 等式的解集即抛物线 位于直线上方对应的点的横坐标的取值范围； 不等式的解集即抛物线位 于直线下方对应的点的横坐标的取值范围； 【典例示范】 例 1：设二次函数，当时，；时， 且其图像在轴上锁截得的线段长为，求这个二次函数的解析式。 【提示】先把当时，；时代入解析式，求出，并用含 的代数式表示，然后利用方程根与系数的关系得出方程，即可求出，进而确 定函数的解析式。 【跟踪训练】在直角坐标系中，抛物线与轴交于 A,B 两点， 若 A,B 两点到原点的距离分别为OA,OB, 且满足,求 的值。 【解答】 例 2： 如图，已知二次函数的图象与x轴分别交于A(1,0)，B(3,0) 两点，与y轴交于点C。 (1)求此二次函数解析式； (2)点D为抛物线的顶点，试判断BCD的形状，并说明理由； (3)将直线BC向上平移t(t0) 个单位，平移后的直线与抛物线交于M，N两点(点 M在y轴的右侧 )，当AMN为直角三角形时，求t的值 【提示】 （1）用待定系数法可求出二次函数解析式 （2）先求出 C,D 的坐标，利用两点间的距离公式以及勾股定理的逆定理来证明 为直角三角形。 （3）设直线 BC 向上平移 t 个单位长度得到的直线解析式为。然 后解直线和抛物线的解析式组成的方程组，用含有 t 的代数式表示 M、N 两点坐 标，然后分;三种情况，利用勾股定 理得出方程即可求出t 的值。 【跟踪训练】 已知抛物线与x轴交于两 A. B(点A 在x轴的正半轴上 ,点B在x轴的负半轴上 ).与y轴交于点 C. (1)求m的取值范围； (2)如果|OA|:|OB|=3:1 ，在该抛物线对称轴右边图象上求一点P的坐标，使得 PCO= BCO. 例 3： 在平面直角坐标系中 ,抛物线:(a,b,c是常数 ,a0) 的部分图 象如图所示 ,直线x=1 是它的对称轴。若一元二次方程的一个根 的取值范围是 2-14;二次函数 y=(x-x1)(x-x2)+m的图象 与 x 轴交点的坐标为 (2,0)和(3,0).其中正确的结论是 _( 填正确结论的序号 ) 培优训练 1如图 ,在平面直角坐标系中 ,抛物线与 x 轴交于 A. B 两点(点 A 在点 B的左侧 ),与 y 轴交于点 C,直线 x=m(m0),直线 x=n(n0)(m2),直线AF交抛物线于另一点G,过点G作x轴的 垂线,垂足为H.设抛物线与x轴的正半轴交于点E,连接FH、AE,求证：FH AE； 3. 在平面直角坐标系xOy中,抛物线与y轴交于 点A，其对称轴与x轴交于点 B. 点C,D在x轴上(点C在点D的左侧 )，且与点 B的距离都为 2，若该抛物线与线段CD有两个公共点，结合函数的图象，求m 的取值范围。 4m,n均为正整数 ,若关于x的方程的两个实数根都大 于 1，且小于 2，求m，n的值。 5. 已知二次函数,求证所有的值，使得此二次函数图像与 轴的两个交点不可能都落在轴的正半轴上。 6. 已知二次函数(其中是正整数 )的图象经过点A(-1,4)与点 B(2,1) ，并且与x轴有两个不同的交点，则b+c的最大值为 . 7如果关于x的方程只有一个实数根，求抛物 线与轴的交点个数。 8. 如图,已知 直 线分别交x轴、y轴于点 A. B,P是抛 物 线 上的一个动点 ,其横坐标为a,过点P且平行于y轴的直线交直 线于点Q，则当PQ=BQ时，求 a 的值 9.如图，抛物线经过点,点,与 y 轴交于 点 B,连接 AB. （1）求抛物线的解析式 （2）将ABO 绕点 O 旋转，点 B的对应点为 F. 当点 F 落在直线 AE 上时，求点 F 的坐标和ABF 的面积。 当点 F 到直线 AE 的距离为时， 过点 F 作直线 AE 的平行线与抛物线相交， 请直接写出交点的坐标。 10、已知：在平面直角坐标系xOy中,过点P(0,2)任作一条与抛物线 (a0) 交于两点的直线 ,设交点分别为 A. B. 若AOB=90 ° . (1)判断 A. B两点纵坐标的乘积是否为一个确定的值，并说明理由； (2)确定抛物线(a0) 的解析式； (3)当AOB的面积为时，求直线AB的解析式。
