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全等三角形综合练习（四） （补充资料一） 1 已知：如图，ABC 中， C=2B， 1=2。求证： AB=AC+CD 。 2 已知：AD平分BAC，ACABBD。求证：2BC。 3 如图，已知ABAC，ADAE，BACDAE。求证：BDCE。 4 如图，在ABC中，90C，DE，分别为ACAB，上的点，且ADBD，AEBC， DEDC。求证：DEAB。 B 1 2 DC A A E D BC E A D BC A BC D 5 如图 1 所示， A，E，F，C 在一条直线上，AECF，过 E，F 分别作 DE AC，BF AC，若 ABCD， 可以得到BD 平分 EF，为什么？若将DEC 的边 EC 沿 AC 方向移动，变为图2 时，其余条件不变， 上述结论是否成立？请说明理由。 6 如图， ABC 中， D 是 BC 的中点，过D 点的直线GF 交 AC 于 F，交 AC 的平行线BG 于 G 点， DE DF ，交 AB 于点 E，连结 EG、 EF。 （1）求证： BGCF。 （2）请你判断BE+CF 与 EF 的大小关系，并说明理由。 7 已知： AOB=90°， OM 是 AOB 的平分线，将三角板的直角顶P 在射线OM 上滑动，两直角边分 别与 OA、OB 交于 C、D。PC 和 PD 有怎样的数量关系，证明你的结论。 C A B F E G D C A B G E F D C D B A F EG 图 1 图 2 A B M O P C D 8 如图： BEAC， CFAB，BM=AC， CN=AB。求证：（1）AM=AN； （ 2）AMAN。 9 在 ABC 中， ACBC， C90°，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB 的中点 P 处，将三角板绕 P 点旋转，三角板的两直角边分别交AC、CB 于 D、E 两点，如图1、图 2 所示。 问 PD 与 PE有何大小关系？在旋转过程中，还会存在与图1、图 2不同的情形吗？若存在，请在图3 中画出，并选择图2 或图 3为例加以证明，若不存在请选择图2 加以证明。 10在一次研究性学习活动中，某小组将两张互相重合的正方形纸片ABCD 和 EFGH 的中心 O 用图钉固定 A B CE D P A B B A CC P P D E 图 1图 2图 3 A M N E F B C 1 2 3 4 住，保持正方形ABCD 不动，顺时针旋转正方形EFGH ，如图所示： 小组成员经观察、测量，发现在旋转过程中，有许多有趣的结论。下面是旋转角度小于90°时他们得 到的一些猜想：ME MA。MON 保持 45 不变。 请你对这二个猜想作出判断（正确的在序号后的括号内打上“”，错误的打上“×” ） ：说明理由。 （） ；（） 11如图， AF 是 ABC 的角平分线， BDAF 交 AF 的延 长线于 D，DEAC?交 AB于 E。 求证： AE=BE。 12如图， ABC 中， AB=AC， BAC=120°， AD AC 交 BC?于点 D。?求证： ?BC=3AD。 13如图， ABC 的边 BC 的中垂线DF 交 BAC 的外角平分线AD 于 D， F 为垂足，DEAB 于 E，且 ABAC。求证： BEAC=AE。 A B C D E F G H MN O A B C F D E A B C D A B F C D 14如图， BD 平分 MBN，A、C 分别为 BM，BN 上的点，且BCBA，E 为 BD 上的一点， AE=CE，求证： BAE+BCE=180°。 15如右图E 是正方形 ABCD 的对角线BD 上一点， EFBC，EGCD，垂足分别是F、G 求证： AE=FG 16如图所示，四边形ABCD 由一个 ACB=30°的 RtABC 与等腰Rt ACD 拼成， E?为斜边 AC 的中点，求 BDE 的大小 17四边形ABCD 中， ADBC， E是线段 DC 的中点， AE是BAD 的平分线。 求证： BE 是ABC 的平分线。 A DC B E G F A BC D E B C N D E M A A BC D E 1 2 18如图，已知直线MN 与 MN 同侧两点A、B。求作：点P，使点 P 在 MN 上，且 APM BPN。 19在ABC 中， AB = AC， E 是 AB 上任意一点，延长 AC 到 F，使 BE = CF，连接 EF 交 BC 于 M。 求证： EM = FM。 20在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案也 就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在 几何里叫做平面镶嵌）这显然与正多边形的内角大小有关当围绕一点拼在一起的几个多边形的内 角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形 （1）请根据下列图形，填写表中空格： 正多边形边数3 4 5 6 n 正多边形每个内角的度数 （2）如果只限于用一种正多边形镶嵌，那么哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？ （ 3）从正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形、正十二边形中任选两种正多 边形镶嵌，请全部写出这两种正多边形。并从其中任选一种探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平 面图形？说明你的理由。 全等三角形综合练习（五） A B M N A B C F E M （补充资料二） 1 已知：如图，四边形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于E，且180BD，求证： AEADBE。 2 如图，已知AD是ABC的中线，DEAB于E，DFC于F，且BECF。 求证： （1）AD是BAC的平分线；（2）ABAC。 3 如图，等腰直角三角形ABC中，90CB，AD为腰CB上的中线，CEAD交AB于E。求 证： CDAEDB。 4 在RtABC 中，90A ，CE是角平分线，与高 AD交于F ，作FGBC交AB于G。求证： AEBG。 5 如 图 ， 已 知ABC是 等 边 三 角 形 ，120BDC， 说 明 ADBDCD的理由。 A B C D E 1 2 A BCD E F 1 2 A B C D E 1 2 A B C D E F G B A C D 6 如图，在ABC中，AD是中线，BE交AD于F，且AEEF，说明ACBF的理由。 7 如图，在ABC中，100ABC，AMAN， CNCP，求MNP的度数。 8 如图， 在ABC中，ABBC，M、N为BC边上的两点， 并且BAMCAN，MNAN。 求MAC的度数。 9 如图，已知90BAC，ADBC，12，EFBC，FMAC，说明FMFD的理 由。 B A C E D F A BM P C N A B C MN A B C DF M E 1 2 10已知：BCDE，BE，CD，F是CD的中点，求证：12。 11已知：12，CDDE，EFAB，求证：EFAC。 12已知：AC平分BAD，CEAB，180BD。求证： AEADBE。 13如图，四边形ABCD中，ABDC，BE、CE分别平分 BC、BCD，且点E在AD上，求证：BCABDC。 14已知：ABED，EABBDE，AFCD，EFBC，求 证：FC。 A B CD E F 12 A B C D E F 12 AB C D E D A B C E A B C DE F 15如图， 已知ADBC，PAB的平分线与CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D。 求证： ADBCAB。 16如图所示，已知AEAB，AFAC，AEAC。求证：（1）CEBF； （2）ECBF。 17在ABCRt中，CACB，BD为AC上的中线， 作ADFCDB， 如图，连结CF交BD于E。 求证：CFBD。 （提示：作AB边的中线CO。 ） 18等 腰 三 角 形 的 周 长 为10 ， 腰 长 为x， 则x的 取 值 范 围 是。 19如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 均为正方形，连接BG 与 DE 相交于点H 证明： ABG ADE 。 AB C P D E A BC E F M A B C F D E 20如图，直角梯形纸片ABCD中，ADBC，90A，30C。折叠纸片使BC经过点D，点 C落在点E处，BF是折痕，且8BFCF。 （1）求BDF的度数。（2）求AB的长。 21（ 2011 年山东省日照市）如图， 已知点D为等腰直角ABC内一点，15CADCBD，E为 AD延长线上的一点， 且CECA。（1） 求证：DE平分BDC。（2） 若点M在DE上， 且DCDM， 求证：MEBD。 22在ABC中，ABAC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合） 。以AD为一边在AD的右侧 作ADE，使 ADAE，DAEBAC，连结CE。 （1）如图 1，当点D在线段BC上时，如果90BAC，则BCE度。 （2）设BAC，BCE。 如图 2，当点D在线段BC上移动时，则、之间有怎样的数量关系？请说明理由。 当点D在直线BC上时，则、之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论。 C F G E D B A H A BC F D E A B C D EM 23（ 1）如图 1， ABC 的边 AB、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形 ACFG，连结 EG，试判断 ABC 与 AEG 面积之间的关系，并说明理由。 （2）园林小路，曲径通幽，如图2 所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知中 间的所有正方形的面积之和是a 平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这条小路一共占地多 少平方米？ A B A B C E DC E 图 1 图 2 备用图 1 备用图 2 AA BC BC A G F C B D E 图 1 图 2 全等三角形综合练习（六） （补充资料三） 1 如图，在四边形ABCD中，ABBC，BF平分ABC，AFDC，连结AC、CF。求证：CA 是DCF的平分线。 2 两个全等的含30、60角的三角板ADE和ABC如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连 结BD，取BD的中点M，连结ME、MC。试判断EMC的形状，并说明理由。 3 如图，ABC中，90ACB，1ACBC，将ABC绕点C逆时针旋转角（090） 得到 111 A B C，连结 1 BB。设 1 CB交AB于D， 11 A B分别交AB、AC于点E、F。 （1）在图中不再添加其他任何线段的情况下，请你找出一对全等三角形，并加以证明（ABC和 111 A B C全等除外）； （2）当 1 BBD是全等三角形时，求； （提示：要分三种情况讨论。你知道为什么要讨论吗？） A B C D F A B C D M E A B C E F D 1 A 1 B 4 （2006 年广州中考 24 题） 在ABC中，ABBC， 将ABC绕点A沿顺时针方向旋转得 111 A B C， 使点 1 C落在直线BC上（点 1 C不与点C重合） 。 （1）如图 1，当60C时，写出边 1 AB与边CB的位置关系，并加以证明； （2）当60C时，写出边 1 AB与边CB的位置关系（不要求证明）； （3）当60C时，请你在图2 中用尺规作图法作出 111 A B C（保留作图痕迹，不写作法），再猜想你 在（ 1） 、 （2）中得到的结论是否还成立？并说明理由。 5 （1）如图（ 1） ，点O是线段AD上的一点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形 OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC。求AEB的大小。 （2）如图（ 2） ，O A B固定不动， 保持OCD的形状和大小不变，将OCD绕点O旋转（OAB和 OCD不能重合），求AEB的大小。 6 如图，在ABC中，ABBC将ABC绕点B顺时针旋转得 111 A B C， 1 A B交AC于点E， 11 AC 分别交AC、BC于D、F两点。观察并猜想，在旋转过程中，线段 1 EA与FC有怎样的数量关系？ 并证明你的结论。 A B C 1 C 1 B 图 1 图 2 A B C A A B B C O O C D E D E 图（ 1）图（ 2） A B C 1 A 1 C D F E 7 如图，已知ABC中，10ABACcm，8BCcm，点D为AB的中点。 （1）如果点 P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点 Q在线段CA上由C点向 A点运动。 若点Q的运动速度与点 P的运动速度相等，经过 1 秒钟后， BPD 与CQP是否全等，请说明 理由； 若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点P的运动速度为多少时，能够使BPD与 CQP全等？ （ 2）若点Q以中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿 ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC的哪条边上相遇？ 8 如图 1，若ABC和ADE为等边三角形，M、N分别是EB、CD的中点，易证：CDBE， AMN是等边三角形。 （1）当把ADE绕A点旋转到图2 的位置时，CDBE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立 请说明理由； （2）当ADE绕A点旋转到图3,位置时，AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明， 并求 出当2ABAD时，ADE与ABC及AMN的面积之比；若不是，请说明理由。 A BC D Q P A B C D N ME D A B C N M E A B M E N C D 图 1 图 2 图 3 全等三角形综合练习（七） （补充资料四） 1 （2009 年安顺）如图，在ABC 中，D 是 BC 边上的一点， E 是 AD 的中点，过A 点作 BC 的平行线交 CE 的延长线于点F，且 AF=BD，连结 BF。 （1）求证： BD=CD； （2）如果 AB=AC，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论。 2 （2009 年泸州）如图，已知ABC 为等边三角形，点D、E 分别在 BC、AC 边上，且AE=CD， AD 与 BE 相交于点F （1）求证：ABE CAD； （2）求 BFD 的度数 3 （2009 年重庆市江津区）如图，在ABE 中， ABAE,ADAC,BAD EAC, BC、DE 交于点 O。 求证： （1） ABC AED ； （2）OBOE。 A F DC E B A BC E F D A B CD O E N O BA C M 4 （2009 年衢州）如图，四边形ABCD 是矩形， PBC 和 QCD 都是等边三角形，且点P 在矩形上方， 点 Q 在矩形内 求证： （ 1） PBA=PCQ=30°； （2）PA=PQ 5 （09 湖北宜昌）已知：如图，AF 平分 BAC，BCAF， 垂足为 E，点 D 与点 A 关于点 E 对称， PB 分别与线段CF， AF 相交于 P，M （1）求证： AB=CD； （2）若 BAC=2MPC，请你判断F 与 MCD 的数量关系，并说明理由 6 如图 1，在 RtACB 中， AC=BC,点 O 是斜边 AB的中点，将一个直角的顶点放在点O 处，两直角边 分别交 AC、BC 于 M、 N。 （1）求证： CM+CN=AC。 A C B D P Q A B C DE P F M N O B C A M m F E C B A P m F E C B A P F E C B A P （2）如图 2， 若点 M、N 分别在 AC、CB 的延长线上，其它条件不变,问（1）中的结论还是否成立？说明 理由。 7 如图 1，在 ABC 中， AB=AC,ACAB,，过点 C 做 AB 的平行线m，取直线BC 上一点 P，连接 AP， 过 P 做 AP 的垂线，交直线m于点 E，再过点P 做 BC 的垂线，交直线AC 于点 F。 （1）如图 1，点 F 在线段 CA 的延长线上时，求证：CFCE=AC。 （2） 如图 2，点 F 在线段 CA 的上时，AC、CE、CF 三条线段的数量关系为 （ 3）如图3，点 F 在线段 AC 的延长线上时，AC、CE、CF 三条线段有怎样的数量关系？ 说明理由。 8 如图，在 EAF 的平分线上取点B做 BCAF 于点 C，在直线AC 上取一动点P,顺时针做 PBQ=2 ABC,另一边交AE 于点 Q。 图 1 图 2 （图 1） （图 2） （图 3） H M F B C A D E （1）当点 P 在点 A 右侧时，求证：AQ+AP=2AC。 （2）当点 P 在点 A 左侧时， AQ、AP、AC 三条线段的数量关系为。 9 如图 1,在四边形ABCD 中， ADBC,ABBC,AD=CD,C=60°， DHBC 于点 H,点 E 是 BC 上一点， 连接 AE,将 ABE 沿 AE 翻折，点B 落在点 F 处，射线EF 交 CD 所在直线于点M。 （1）若点 M 在 CD 边上时求证： FM -DM=CH。 （2）如图 2 若点 M 在 CD 边的延长线上时，FM 、DM、CH 三条线段有怎样的数量关系？ 说明理由。 （图 1） A PC B E F Q A PC B E F Q A B C HE F M D P （图3） N A C B M 10已知：如图所示，直线MANBMAB，与NBA的平分线交于点C，过点C作一条直线l与两 条直线MANB、分别相交于点DE、 （1）如图 1 所示，当DE、都在AB的同侧时，求证：BE+AD=AB； （2）如图 2 所示，当DE、都在AB的两侧时， BE、AD、AB 三条线段的数量关系为。 11已知AB=AC, BAC=90°，将一 ,45°角的顶点与点A 重合 ,两边分别为射线AP 和射线AQ,过点 C 作 AC 的垂线交 AQ 于 N;过点 B 作 AB的垂线交AP 于 M,连接 MN （1）如图 1 当射线 AP和射线 AQ 在 BAC 内部时，求证BM+CN=MN （2）如图 2 当射线 AP和射线 AQ 在 AB 两侧时（ 1）的结论还是否成立，说明理由。 （3）如图 3 当射线 AP和射线 AQ 在 BAC 外部时（ 1）的结论还是否成立，说明理由。 P Q （图1） N A C B M P Q （图2） N A C B M A B E C D M N 12已知 AB=AC， BAC=90°，过点C 作 AC 的垂线交射线AR 于点 E，将 ACE 以 AR 为轴向上翻折， 翻折后点C 落在点 G 处，再过点B 作 AB 的垂线，交射线AG 于点 D。 （1）如图 1，当射线AR 与射线 AG 都在 BAC 的内部时，求证：AD=BD+CE； （2）如图 2，当射线AR在 BAC 的内部，射线AG 在的 BAC 外部时，（1）的结论还是否成立，说明理 由； （3）如图 3 当射线 AR与射线 AG 都在 BAC 的外部时（ 1）的结论还是否成立，说明理由。 2011年中考题欣赏 17 （2011贵州安顺， 17，4分）已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形， A（10，0） ，C（0， 4） ，点 D是OA的中点，点 P在BC上运动，当 ODP是腰长为 5的等腰三角形时，则P点的坐 标为 R 图1 D G E B C A R 图2 D G E B AC R 图3 D G E B A C 【答案】 P（3，4）或（ 2，4）或（ 8， 4） 10 （ 2011年乌鲁木齐市）如图，等边三角形ABC 的边长为3，点 P 为 BC 边上一点，且BP=1，点 D 为 AC 边上一点，若APD =60°，则 CD 的长为（） A 1 2 B 2 3 C 3 4 D1 24 （ 2011年重庆市）如图，梯形ABCD 中， ADBC， DCB45，CD=2，BCCD。过点 C 作 CE AB 于 E，交对角线BD 于 F，点 G 为 BC 中点，连结EG、AF。 求证： CF=AB+AF。 23 （2011 年重庆市） 为实施 “农村留守儿童关爱计划”，某校结全校各班留守儿童的人数情况进行了统计， 发现各班留守儿童人数只有1 名、 2 名、 3 名、 4 名、 5 名、 6名共六种情况，并制成如下两幅不完整的统 计图： （1）求该校平均每班有多少名留守儿童？并将该条形统计图补充完整； （2）某爱心人士决定从只有2 名留守儿童的这些班级中，任选两名进行生活资助，请用列表法或画树状 A B C D P Ox y 第 17 题图 A B C P D 60 第 10 题图 B A D E F G C 第 24 题图 图的方法，求出所选两名留守儿童来自同一个班级的概率。 20 （2011 年山东省聊城市）(8 分)将两块大小相同的含30o角的直角三角板(BAC B1A1C30o)按图 1 的方式放置，固定三角板A1B1C，然后将三角板 ABC 绕直角顶点C 顺时针方向旋转(旋转角小于90o) 至图 2 所示的位置， AB 与 A1C 交于点 E，AC 与 A1B1交于点 F，AB 与 A1B1交于点 O (1)求证： BCE B1CF ； (2)当旋转角等于30o时，AB 与 A1B1垂直吗？请说明理由 C B B1 A( A1) A1 A E F C B B1 图 1 图 2