八年级几何辅助线专题训练e1e5f7eec4d74f209d622e0c64fd4e4b.pdf

- 1 - D C B A E D F C B A ABC 常见的辅助线的作法 1. 等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题 2. 倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形 3. 角平分线在三种添辅助线：（ 1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，（ 2）可以在角平分线上的一点 作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度 的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。 4. 垂直平分线联结线段两端：在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。 5. 用“截长法”或“补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长， 6. 图形补全法：有一个角为60 度或 120 度的把该角添线后构成等边三角形. 7. 角度数为30 度、 60 度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30 度或 60 度，可以从角一边上一点向角的另一 边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相 等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。 8.面积方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形 面积的知识解答 一、等腰三角形“三线合一”法 1.如图，已知 ABC 中， A 90° ，AB AC ，BE 平分 ABC ， CEBD 于 E， 求证： CE= BD. 中考连接： （2014?扬州，第7 题， 3 分）如图，已知AOB=60° ，点 P 在边 OA 上， OP=12，点 M，N 在边 OB 上， PM=PN，若 MN=2，则 OM=（） A3B4C5D6 二、倍长中线（线段）造全等 例 1、 （ “希望杯”试题）已知，如图 ABC中， AB=5，AC=3 ， 则中线 AD的取值范围是_. 例 2、如图， ABC中， E 、 F分别在 AB 、AC上， DE DF，D是中点，试比较BE+CF与 EF的大小 . 例 3、如图， ABC中， BD=DC=AC，E是 DC的中点，求证：AD平分 BAE. E D C B A 中考连接： （09 崇文）以的两边AB、AC 为腰分别向外作等腰Rt 和等腰 Rt ACE， 90 ,BADCAE 连接 DE，M、N 分别是 BC、DE 的中点探究：AM 与 DE 的关系（1）如图当 ABC为直角三角形时， AM 与 - 2 - O E D CB A E D G F C B A DE 的位置关系是，线段 AM 与 DE 的数量关系是； （2）将图中的等腰RtABD绕点 A 沿逆时针方向旋转 (090)后，如图所示， （1）问中得到的两个结 论是否发生改变？并说明理由 三、借助角平分线造全等 1、如图，已知在 ABC中，B=60°，ABC的角平分线AD,CE相交于点O ， 求证：OE=OD 2、如图，已知点C 是 MAN的平分线上一点，CEAB 于 E，B、D 分别在 AM 、AN 上，且 AE=（AD+AB ）.问： 1 和 2 有何关系？ 中考连接： (2012 年北京 )如图， OP 是 MON 的平分线， 请你利用该图形画一对以OP 所 在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： （1）如图，在ABC 中， ACB 是直角， B=60°， AD、CE 分别是 BAC、 BCA 的平分线， AD、CE 相 交于点 F。请你判断并写出FE 与 FD 之间的数量关系； （2）如图，在ABC 中，如果 ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍 然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。 四, 垂直平分线联结线段两端 1. （ 2014?广西贺州， 第 17 题 3 分）如图， 等腰 ABC 中，AB=AC，DBC=15° ， AB 的垂直平分线MN 交 AC 于点 D，则 A 的度数是 2、如图， ABC中， AD 平分 BAC ，DG BC且平分BC ，DE AB于 E，DFAC于 F. （1）说明 BE=CF的理由；（2）如果 AB=a，AC=b，求 AE 、 BE的长 . O P A M N E B C D F A C E F B D 图 图图 - 3 - F E D CB A E D C B A D C B A P Q C B A 中考连接： （2014 年广东汕尾， 第 19 题 7 分） 如图，在 Rt ABC 中，B=90° ， 分别以点 A、C 为圆心，大于AC 长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连 接 MN，与 AC、BC 分别交于点D、 E，连接 AE （1）求 ADE； （直接写出结果） （2）当 AB=3，AC=5 时，求 ABE 的周长 补充：尺规作图 过直线外一点做已知直线的垂线 五、截长补短 1 、如图，ABC中， AB=2AC ，AD平分BAC，且 AD=BD ，求证： CD AC 2、如图， AD BC ，EA,EB分别平分 DAB,CBA ，CD过点 E，求证 ;ABAD+BC 。 3、如图，已知在 ABC 内， 0 60BAC， 0 40C，P，Q分别在 BC ，CA上，并且 AP ， BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 4、 如 图， 在四 边形ABCD中 ， BC BA,AD CD ， BD 平 分 ABC， 求证： 0 180CA 5. 如图，已知正方形ABCD 中， E 为 BC 边上任意一点，AF 平分 DAE 求证： AEBE DF 6.如图， ABC 中， ABC=60°，AD 、CE 分别平分 BAC ， ACB ，判断 AC 的长与 AE+CD 的大小关系并证明. 7.如图， Rt ABC 中， ACB=90°， CDAB 于 D，AF 平分 CAB 交 CD 于 E，交 CB 于 F，且 EG AB 交 CB 于 G，判断 CF 与 GB 的大小关系并证明。 六、综合1、正方形 ABCD中， E为 BC上的一点， F 为 CD上的一点， BE+DF=EF ，求 EAF C D B A - 4 - N M E F A C B A 2、如图，ABC为等边三角形， 点,MN分别在,BC AC上，且BMCN，AM 与BN交于Q点。求AQN的度数。 3、已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，120ABC， 60MBN，MBN绕B点旋转，它的两边分别交ADDC，（或它们的延长 线）于EF，当MBN绕B点旋转到AECF时（如图1） ，易证AECFEF 当 MBN 绕B点旋转到 AECF 时，在图 2 和图 3 这两种情况下， 上述结论是否成立？若成立，请给予证明； 若不成立，线段AECF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明 4、D为等腰Rt ABC斜边 AB的中点， DM DN,DM,DN分别交 BC,CA于点 E,F。 当MDN绕点 D转动时，求证DE=DF 。若 AB=2 ，求四边形DECF的面积。 5、在等边ABC的两边 AB 、AC 所在直线上分别有两点M、 N，D 为ABC外一点， 且 60MDN,120BDC,BD=DC. 探究：当M、N 分别在直线AB、AC 上移动时， BM 、 NC、 MN 之间的数量关系及AMN的周长 Q 与等边ABC的周长 L 的关系 （I）如图 1，当点 M、N 边 AB、 AC 上，且DM=DN时， BM 、 NC 、 MN之 间 的 数 量 关 系 是； 此时 L Q ； （II）如图 2，点 M、N 边 AB 、 AC 上，且当 DMDN 时，猜想 （I） 问的两个结论还成立吗？写 出你的猜想并加以证明；（III ） 如图 3，当 M、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，若AN=x，则 Q= （用x、L 表示） 中考连接：（ 2014?抚顺第 25 题（ 12 分） ） 已知： RtABC RtABC ， A CB= ACB=90 ° ， A BC = ABC=60 ° ， Rt A BC可绕点B 旋转，设旋转过程中直线CC和 AA 相交于点D （1）如图 1 所示，当点C在 AB 边上时，判断线 段 AD 和线段 AD 之间的数量关系，并证明你的 结论； （2）将 RtABC由图 1 的位置旋转到图2 的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明； 若不成立， 请说明理由； （3）将 RtABC由图 1 的位置按顺时针方向旋转角（0° 120°） ，当 A、C、A三点在一条直线上时， 请直接写出旋转角的度数 - 5 - D C B A E D F C B A 参考答案与提示 一、倍长中线（线段）造全等 例 1、 （ “希望杯”试题）已知，如图 ABC中， AB=5，AC=3 ，则中线AD的取值范围是 _. 解：延长AD至 E使 AE 2AD ，连 BE ，由三角形性质知 AB-BE 2ADAB+BE 故 AD的取值范围是1AD4 例 2、如图， ABC中， E 、 F分别在 AB 、AC上， DE DF，D是中点，试比较BE+CF与 EF的大小 . 解： ( 倍长中线 , 等腰三角形“三线合一”法) 延长 FD至 G使 FG 2EF ，连 BG ，EG, 显然 BG FC ， 在EFG中，注意到DE DF，由等腰三角形的三线合一知 EG EF 在BEG中，由三角形性质知 EGBG+BE 故： EFBE+FC 例 3、如图， ABC中， BD=DC=AC，E是 DC的中点，求证：AD平分 BAE. EDCB A 解：延长AE至 G使 AG 2AE ，连 BG ，DG, 显然 DG AC ， GDC= ACD 由于 DC=AC ，故ADC= DAC 在ADB与ADG 中， BDAC=DG ，AD AD ， ADB= ADC+ ACD= ADC+ GDC ADG 故ADB ADG ，故有 BAD= DAG ，即 AD平分 BAE 应用： Rt ABD 和等腰Rt ACE ，1、 （09 崇文二模）以的两边AB、AC 为腰分别向外作等腰 90 ,BADCAE 连接 DE，M、N 分别是 BC、DE 的中点探究：AM 与 DE 的位置关系及数量关系 ABC - 6 - （1）如图当 ABC为直角三角形时， AM 与 DE 的位置关系是， 线段 AM 与 DE 的数量关系是； （2）将图中的等腰Rt ABD 绕点 A 沿逆时针方向旋转 (090)后，如图所示， （1）问中得到的两个结 论是否发生改变？并说明理由 解： （1）AMED2，EDAM； 证明：延长AM 到 G，使 AMMG ，连 BG，则 ABGC 是平行四边形 BGAC，180BACABG 又 180BACDAE DAEABG 再证：ABGDAE AMDE2，EDABAG 延长 MN 交 DE 于 H 90DAHBAG 90DAHHDA EDAM （2）结论仍然成立 证明：如图，延长CA 至 F，使FAAC，FA 交 DE 于点 P，并连接BF BADA ， AFEA EADDAFBAF90 在FAB和EAD中 DABA EADBAF AEFA EADFAB（SAS ） DEBF，AENF 90AENAPEFFPD DEFB 又AFCA，MBCM FBAM / ，且FBAM 2 1 DEAM，DEAM 2 1 二、截长补短 1、如图， ABC中， AB=2AC ，AD平分BAC，且 AD=BD ，求证： CD AC 解： （截长法）在AB上取中点F，连 FD ADB是等腰三角形，F 是底 AB中点，由三线合一知 DFAB，故 AFD 90° ADF ADC （ SAS ） ACD AFD 90°即： CD AC G C H A B D M N E F C P A B D M N E - 7 - E D C B A D C B A P Q C B A 2、如图， AD BC ，EA,EB分别平分 DAB,CBA ，CD过点 E，求证 ;ABAD+BC 解： （截长法）在AB上取点 F，使 AFAD ，连 FE ADE AFE （ SAS ） ADE AFE ， ADE+ BCE 180° AFE+BFE 180° 故 ECB EFB FBE CBE （ AAS ） 故有 BFBC 从而 ;ABAD+BC 3、 如图，已知在 ABC内， 0 60BAC， 0 40C， P ， Q分别在 BC ， CA上，并且 AP， BQ分别是BAC，ABC 的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 解： （补短法 , 计算数值法）延长AB至 D，使 BD BP，连 DP 在等腰 BPD中，可得 BDP 40° 从而 BDP 40° ACP ADP ACP （ ASA ） 故 AD AC 又 QBC 40° QCB 故 BQQC BD BP 从而 BQ+AQ=AB+BP 4、如图，在四边形ABCD中， BC BA,AD CD ，BD平分ABC， 求证： 0 180CA 解： （补短法）延长BA至 F，使 BFBC，连 FD BDF BDC （ SAS ） 故 DFB DCB ，FDDC - 8 - P 2 1 D C B A 又 AD CD 故在等腰 BFD中 DFB DAF 故有 BAD+ BCD 180° 5、如图在 ABC中， AB AC ， 1 2，P为 AD上任意一点，求证;AB-AC PB-PC 解： （补短法）延长AC至 F，使 AFAB，连 PD ABP AFP （ SAS ） 故 BP PF 由三角形性质知 PB PCPF PC CFAFACAB AC 应用： 分析： 此题连接AC，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用已知条件和等边三角形的性质通过证明 三角形全等解决它们的问题。 解：有 AEADBC 连接 AC，过 E 作BCEF /并 AC 于 F 点 则可证AEF为等边三角形 即EFAE，60AFEAEF 120CFE 又 BCAD/ ， 60B 120BAD 又60DEC FECAED 在ADE与FCE中 CFEEAD，EFAE，FECAED FCEADE D E A C B D E A C B F - 9 - O E D CB A FCAD AEADBC 点评： 此题的解法比较新颖，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用全等三角形的性质解决。 三、 四、借助角平分线造全等 1、如图，已知在ABC中， B=60°， ABC的角平分线AD,CE相交于点O ，求证： OE=OD ，DC+AE =AC 证明(角平分线在三种添辅助线, 计算数值法 )B=60 度, 则 BAC+ BCA=120 度; AD,CE 均为角平分线, 则 OAC+ OCA=60 度=AOE= COD; AOC=120 度 . 在 AC 上截取线段AF=AE, 连接 OF. 又 AO=AO; OAE= OAF .则 OAE OAF(SAS), OE=OF;AE=AF; AOF= AOE=60 度. 则 COF=AOC- AOF=60 度=COD; 又 CO=CO; OCD=OCF. 故 OCDOCF(SAS), OD=OF;CD=CF. OE=OD DC+AE=CF+AF=AC. 2、如图， ABC中， AD平分 BAC ，DG BC且平分 BC ，DE AB于 E，DF AC于 F. （1）说明 BE=CF的理由；（2）如果 AB=a，AC=b，求 AE 、BE的长 . 解： ( 垂直平分线联结线段两端) 连接 BD ，DC DG垂直平分 BC，故 BD DC 由于 AD平分 BAC ， DEAB于 E，DF AC于 F，故有 ED DF 故 RT DBE RT DFC （HL） 故有 BE CF 。 AB+AC 2AE AE （ a+b）/2 BE=(a-b)/2 应用： 1、如图， OP 是 MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考 这个作全等三角形的方法，解答下列问题： （1）如图，在ABC 中， ACB 是直角， B=60°， AD、CE 分别是 BAC、 BCA 的平分线， AD、CE 相 交于点 F。请你判断并写出FE 与 FD 之间的数量关系； （2）如图，在ABC 中，如果 ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍 然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。 E D G F C B A (第 23题图 ) O P A M N E B C D F A C E F B D 图 图图 - 10 - F E D CB A 解： （1）FE 与 FD 之间的数量关系为 FDFE （2）答：（1）中的结论FDFE仍然成立。 证法一： 如图 1，在 AC 上截取AEAG，连结 FG 21 ，AF 为公共边， AGFAEF AFGAFE ， FGFE 60B，AD、CE 分别是BAC、BCA的平分线 6032 60AFGCFDAFE 60CFG 43 及 FC 为公共边 CFDCFG FDFG FDFE 证法二： 如图 2，过点 F 分别作ABFG于点 G，BCFH于点 H 60B ，AD、CE 分别是 BAC、BCA的平分线 可得6032，F 是ABC的内心 160GEF，FGFH 又1BHDF HDFGEF 可证 DHFEGF FDFE 五、旋转 例 1 正方形 ABCD中， E为 BC上的一点， F 为 CD上的一点， BE+DF=EF ，求 EAF的度数 . 证明：将三角形ADF 绕点 A 顺时针旋转90 度，至三角形ABG 则 GE=GB+BE=DF+BE=EF 又 AE=AE ，AF=AG ， 所以三角形AEF 全等于 AEG 所以 EAF= GAE= BAE+ GAB= BAE+ DAF 又 EAF+ BAE+ DAF=90 所以 EAF=45 度 例 2 D 为等腰Rt ABC斜边 AB的中点， DM DN,DM,DN 分别交 BC,CA于点 E,F。 (1) 当MDN绕点 D转动时，求证DE=DF 。 (2) 若 AB=2 ，求四边形DECF 的面积。 F B E A C D 图 1 2 1 4 3 G F B E A C D 图 2 2 1 4 3 H G - 11 - 解： ( 计算数值法 ) （1）连接 DC ， D为等腰Rt ABC斜边 AB的中点，故有CD AB ，CD DA CD平分 BCA 90°， ECD DCA 45° 由于 DM DN ，有 EDN 90° 由于 CDAB ，有 CD A90° 从而 CDE FDA 故有 CDE ADF （ASA ） 故有 DE=DF （2）SABC=2, S四 DECF= SACD=1 例 3 如图，ABC是边长为3 的等边三角形，BDC是等腰三角形， 且 0 120BDC，以 D为顶点做一个 0 60 角，使其两边分别交AB于点 M ，交 AC于点 N，连接 MN ，则AMN的周长为； 解： (图形补全法 , “截长法”或“补短法”, 计算数值法 ) AC 的延长线与BD 的延长线交于点F，在线段 CF 上 取点 E，使 CE BM ABC 为等边三角形，BCD 为等腰三角形，且BDC=120 ° ， MBD= MBC+ DBC=60 ° +30° =90° ， DCE=180 ° -ACD=180 ° -ABD=90 ° ， 又 BM=CE ，BD=CD ， CDE BDM ， CDE= BDM ，DE=DM ， NDE= NDC+ CDE= NDC+ BDM= BDC- MDN=120 °-60° =60° ， 在 DMN 和 DEN 中， DM=DE MDN= EDN=60 ° DN=DN DMN DEN ， MN=NE - 12 - 在 DMA 和 DEF 中， DM=DE MDA=60 ° - MDB=60 ° - CDE=EDF (CDE= BDM) DAM= DFE=30 ° DMN DEN (AAS) ， MA=FE AMN的周长为AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6 应用： 1、已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，120ABC，60MBN，MBN绕 B点旋转，它的两边分别交ADDC，（或它们的延长线）于EF， 当MBN绕B点旋转到AECF时（如图1） ，易证AECFEF 当MBN绕B点旋转到AECF时，在图 2 和图 3 这两种情况下， 上述结论是否成立？若成立，请给予证明； 若不成立，线段AECF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明 解： （1）ADAB，CDBC，BCAB，CFAE CBFABE（SAS ） ； CBFABE，BFBE 120ABC，60MBN 30CBFABE ， BEF为等边三角形 BFEFBE，BEAECF 2 1 EFBECFAE （2）图 2 成立，图3 不成立。 证明图 2，延长 DC 至点 K，使 AECK ，连接 BK 则BCKBAE BKBE，KBCABE 60FBE，120ABC 60ABEFBC 60KBCFBC 60FBEKBF （图 1） A B C D E F M N （图 2） A B C D E F M N （图 3） A B C D E F M N K A B C D E F M N 图 2 - 13 - EBFKBF EFKF EFCFKC 即 EFCFAE 图 3 不成立， AE、 CF、EF 的关系是EFCFAE 2、 （西城 09 年一模） 已知 :PA=2,PB=4, 以 AB为一边作正方形ABCD, 使 P、D两点落在直线AB的两侧 . (1) 如图 , 当 APB=45 °时 , 求 AB及 PD的长 ; (2) 当 APB变化 , 且其它条件不变时, 求 PD的最大值 , 及相应 APB的大小 . 分析： （1）作辅助线， 过点 A 作PBAE于点 E，在PAERt中，已知APE， AP 的 值，根据三角函数可将AE， PE 的值求出，由PB 的值，可求BE的值，在 ABERt中，根据勾股定理可将AB 的值求出；求PD 的值有两种解法，解法一： 可 将P A D绕 点A顺 时 针 旋 转90得 到ABP， 可 得ABPPAD， 求 PD 长即为求BP的长，在PAPRt中，可将PP的值求出，在BPPRt中，根据 勾股定理可将BP的值求出；解法二：过点P 作 AB 的平行线，与DA 的延长线交于F，交 PB 于 G，在AE GRt 中，可求出AG，EG 的长，进而可知PG 的值，在 PFGRt 中，可求出PF，在 PDFRt 中，根据勾股定理可将 PD 的值求出； （2）将PAD绕点 A 顺时针旋转90，得到ABP，PD 的最大值即为BP的最大值，故当P、P、B 三点共线 时，BP取得最大值，根据PBPPBP可求BP的最大值，此时135180PAPAPB 解： （1）如图，作PBAE于点 E PAERt中，45APB，2PA 1 2 2 2 PEAE 4PB 3PEPBBE 在ABERt中，90AEB 10 22 BEAEAB 解法一：如图，因为四边形ABCD为正方形，可将将 PAD绕点 A 顺时针旋转 90 得到 ABP ， ，可得 ABPPAD，BPPD，APPA 90PPA，45PAP，90PBP 2PP，2PA 5242 2222 PBPPBPPD； 解法二：如图，过点P 作 AB 的平行线，与DA 的延长线交于F，设 DA 的延长线交PB 于 G 在AEGRt中，可得 3 10 coscosABE AE EAG AE AG， 3 1 EG， 3 2 EGPEPG 在PFGRt中，可得 5 10 coscosABEPGFPGPGPF， 15 10 FG 在PDFRt中，可得 52 3 10 15 10 10 5 10 22 2 2 FGAGADPFPD （2）如图所示，将PAD绕点 A 顺时针旋转90, 得到ABP，PD 的最大值，即为BP的最大值 E P A D C B P P A C B D E G F P A C B D E - 14 - P P A C B D PP A C B D BPP中，PBPPBP，22PAPP，4PB且 P、D 两点落在直线AB 的两侧 当P、P、B 三点共线时，BP取得最大值（如图） 此时 6PBPPBP ，即 BP 的最 大值为 6 此时135180PAPAPB 3 、 在 等 边ABC的 两 边AB 、 AC所 在 直 线 上 分 别 有 两 点M 、 N ， D为ABC外 一 点 ， 且 60MDN,120BDC,BD=DC. 探究：当 M、N 分别在直线AB、AC 上移动时， BM 、NC、MN 之间的 数量关系及 AMN的周长 Q 与等边ABC的周长 L 的关系 图 1 图 2 图 3 （I）如图 1，当点 M、N 边 AB 、AC 上，且 DM=DN 时， BM 、NC、MN 之间的数量关系是； 此时 L Q ； （II ）如图 2，点 M、N 边 AB、AC 上，且当DMDN 时，猜想（ I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并 加以证明； （III ） 如图 3，当 M、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时， 若 AN=x，则 Q= （用x、L 表示） 分 析 ： （ 1 ） 如 果DNDM，DNMDMN， 因 为DCBD， 那 么30DCBDBC， 也 就 有 903060NCDMBD，直角三角形MBD、NCD 中，因为DCBD，DNDM，根据 HL 定理，两 三角形全等。那么NCBM，60DNCBMD，三角形NCD 中，30NDC，NCDN2，在三角形 DNM 中，DNDM，60MDN，因此三角形DMN 是个等边三角形，因此BMNCNCDNMN2， 三角形 AMN 的周长MNANAMQ ABACABNCMBANAM2，三角形ABC 的周长ABL3，因此3:2: LQ （2）如果DNDM， 我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换。延长 AC 至 E， 使BMCE， 连接 DE （1） 中我们已经得出，90NCDMBD，那么三角形MBD 和 ECD 中，有了一组直角，CEMB，DCBD， 因此两三角形全等，那么DEDM，CDEBDM，60MDNBDCEDN三角形MDN 和 EDN 中，有 DEDM ， 60MDNEDN ，有一条公共边，因此两三角形全等， NEMN ，至此我们把BM 转 换成了 CE，把 MN 转换成了NE，因为CECNNE，因此CNBMMNQ 与 L 的关系的求法同（1） ，得 - 15 - 图 1 N M A D C B 出的结果是一样的。 （3）我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换，思路同（2）过 D 作MDBCDH，三角形 BDM 和 CDH 中，由（ 1）中已经得出的90MBDCH，我们做的角CDHBDM，CDBD，因此两三角形全等 （ASA） 那么 CHBM ， DHDM ，三角形 MDN 和 NDH 中，已知的条件有 DHMD ，一条公共边ND，要 想证得两三角形全等就需要知道HDNMDN，因为MDBCDH，因此120BDCMDH，因为 60MDN，那么60120NDH 60，因此NDHMDN，这样就构成了两三角形全等的条件三角形MDN 和 DNH就全等了那么 BMACANNHNM，三角形AMN 的周长BMABANMNAMANQ ABANBMACAN22因为xAN，LAB 3 1 ，因此三角形AMN 的周长LxQ 3 2 2 解： （1）如图 1，BM、NC、 MN 之间的数量关系：MNNCBM；此时 3 2 L Q （2）猜想：结论仍然成立 证明：如图2，延长 AC 至 E，使BMCE，连接 DE CDBD，且120BDC 30DCBDBC 又ABC是等边三角形 90NCDMBD 在MBD与ECD中 DCBD ECDMBD CEBM ECDMBD（SAS ） DEDM，CDEBDM 60MDNBDCEDN 在MDN与EDN中 DNDN EDNMDN DEDM EDNMDN（SAS ） BMNCNEMN 故AMN的周长MNANAMQABACABNCANBMAM2 而等边 ABC的周长ABL3 3 2 3 2 AB AB L Q （3）如图 3，当 M、N 分别在 AB、CA 的延长线上时，若xAN，则LxQ 3 2 2（用 x、L 表示） 点评： 本题考查了三角形全等的判定及性质；题目中线段的转换都是根据全等三角形来实现的，当题中没有明显 的全等三角形时，我们要根据条件通过作辅助线来构建于已知和所求条件相关的全等三角形。 E 图 2 N M A D C B H 图 3 N M A D C B