北京市海淀区2019届高三上学期期末考试数学(理科)试题含答案.pdf

1 海淀区高三年级第一学期期末练习 数学（理科） 2019.1 本试卷共4 页， 150 分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题共8 小题，每小题5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1双曲线 22 1 22 xy 的左焦点坐标为 A ( 2,0)B (2,0)C ( 1,0)D( 4,0) 2.已知向量,a b满足=(t)，1)a2,0b， 且aa b，则,a b的夹角大小为 A 6 B 4 C 3 D 5 12 3.已知等差数列 na满足1=2 a，公差0d，且 125 ,a a a成等比数列，则=d A 0 B 1 2 C1D 2 2 4.直线+1ykx被圆 22 2xy截得的弦长为2，则k的值为 A 6 B 4 C 3 D 5.已正六边形的6 个顶点中的三个座位顶点的三角形中，等腰三角形的个数为 A6 B7 C8 D12 6.已知函数( )=ln a f xx x ，则“0a”是“函数( )f x 在区间(1,)上存在零点”的 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件 C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 7.已知函数( )sincosf xxx ，( )g x 是( )f x 的导函数，则下列结论中错误的是 A.函数( )f x 的值域与( )g x 的值域相同 B.若 0 x是函数( )f x 的极值点，则 0 x是函数( )g x 的零点 C.把函数( )f x 的图像向右平移 2 个单位，就可以得到函数( )g x 的图像 D.函数( )f x 和( )g x 在区间(, 4 ) 4 上都是增函数 8.已知集合( , ) 150,150,As tstsN tN.若BA，且对任意的( , )a bB，( , )x yB，均 有()()0ax by，则集合B 中元素个数的最大值为 A25 B49 C 75 D99 2 二、填空题共6 小题，每小题5 分，共 30 分 9.以抛物线 2 4yx的焦点 F为圆心，且与其准线相切的圆的方程为 . 10.执行如下图所示的程序框图，当输入的M 值为 15，n 值为 4 时，输出的S 值为. 11. 某 三 棱 锥 的 三 视 图 如 上 图 所 示 ， 则 这 个 三 棱 锥 中 最 长 的 棱 与 最 短 的 棱 的 长 度 分 别 为，. 12.设关于,x y的不等式组 , 4, 2, yx x ykx 表示的平面区域为，若点 A（ 1，-2）， B（3,0），C（2，-3）中有且 仅有两个点在内，则k的最大值为. 13.在ABC 中，3ba ，且cos2cosAB，则cosA. 14.正方体 1111 ABCDA B C D的棱长为1，动点 M 在线段 CC1上，动点 P 在平面 1111 A B C D上，且AP平面 1MBD . （）当点M与点 C重合时，线段AP的长度为； （）线段AP长度的最小值为 . 三、解答题共6 小题，共80 分 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 15（本小题满分13 分） 已知函数( )s()cos2 2 f xacoxx （）比较() 6 f 和() 2 f 的大小； （）求函数( )f x在区间, 2 2 的最小值 . 16（本小题满分13 分） 为迎接2022 年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核. 记X表示学生的考核成绩，并规定85X为考核优秀 .为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中 3 随机抽取了30 名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图： （）从参加培训的学生中随机选取1 人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率； （）从图中考核成绩满足70,79X的学生中任取3 人，设Y表示这 3 人重成绩满足8510X的人数， 求Y的分布列和数学期望； （）根据以往培训数据，规定当 85 (1)0.5 10 X P 时培训有效 .请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培 训活动是否有效，并说明理由. 17（本小题满分14 分） 在四棱锥PABCD中，平面ABCD平面PCD，底面ABCD为梯形， /ABCD，ADPC 且 0 1,2,120ABADDCDPPDC （）求证：ADPDC平面 ； （）求二面角B-PD-C 的余弦值； （）若M 是棱 PA 的中点，求证：对于棱BC 上任意一点F，MF 与 PC 都不平行 . 18（本小题满分14 分） 椭圆 2 2 1 2 x y的左焦点为F，过点( 2,0)M的直线l与椭圆交于不同两点A,B （）求椭圆的离心率； （）若点B 关于 x 轴的对称点为B ，求'AB 的取值范围 . 19. （本小题满分14 分） 已知函数 2 ( ) x ax f x e （）当1a时，求曲线( )yf x 在点 (1, (1)f处的切线方程； （）当0a时，求证： 2 ( )f x e 对任意(0,)x成立 . 20（本小题满分13 分） 设 n 为不小于3 的正整数，集合 12 (,.)0,1 ,1,2,., nni x xxxin，对于集合n中的任意元 素 12 (,.,) n x xx， 12 (,.,) n yyy 记 11112222 ()().() nnnn xyx yxyx yxyx y （）当3n时，若(1,1,0)，请写出满足3的所有元素 （）设 n ，且+n，求的最大值和最小值； （）设 S 是 n的子集，且满足：对于 S 中的任意两个不同元素，有1n成立，求集合 S中元素个数的最大值. 4 海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案 数学（理科）2019.01 一、选择题：本大题共8小题，每小题 5 分，共 40 分. 1.A 2.B3.D4.A5.C6.C7.C8.D 二、填空题 :本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9. 22 (1)4xy10. 2411.2 3 2，12.013. 3 2 14. 6 2 2 ， 三、解答题 : 本大题共 6 小题，共 80分. 15解：（）因为 1 (), 622 a f ()1 2 fa 所以 13 ()()(1)() 262222 aa ffa 因为0a，所以 3 0 22 a ，所以 ()() 26 ff （）因为( )sincos2f xaxx 2 sin(12sin)axx 2 2sinsin1xax 设sin ,tx , 2 2 x，所以 1,1t 所以 2 21ytat 其对称轴为 4 a t 当1 4 a t，即4a时，在1t时函数取得最小值1a 当1 4 a t，即04a时，在 4 a t时函数取得最小值 2 1 8 a 16.解：（）设该名学生考核成绩优秀为事件A 由茎叶图中的数据可以知道，30 名同学中，有7 名同学考核优秀 所以所求概率()P A约为 7 30 （）Y的所有可能取值为0,1,2,3 5 因为成绩70,80X的学生共有 8 人，其中满足|75| 10X的学生有 5 人 所以 3 3 3 8 1 (0) 56 C P Y C ， 21 35 3 8 15 (1) 56 C C P Y C 12 35 3 8 30 (2) 56 C C P Y C ， 3 5 3 8 10 (3) 56 C P Y C 随机变量 Y 的分布列为 Y0 123 P 1 56 15 56 30 56 10 56 115301015 ( )0123 565656568 E Y （）根据表格中的数据，满足 85 1 10 X 的成绩有 16 个 所以 85168 10.5 103015 X P 所以可以认为此次冰雪培训活动有效. 17解：（）在平面PCD中过点D作DHDC，交PC于H 因为平面ABCD平面 PCD DH平面 PCD 平面ABCD I平面 PCDCD 所以DH平面 ABCD 因为AD平面 ABCD 所以DHAD 又 ADPC ，且PCDHHI 所以AD平面 PCD （）因为AD平面 PCD ，所以 ADCD 又DHCD，DHAD 以D为原点，DADCDH，所在直线分别为, ,x y z轴，建立空间直角坐标系 6 所以( , , ),( , , ),( ,),( , , ),( , , )DAPCB0 0 02 0 00130 2 02 10， 因为AD平面 PCD ，所以取平面PCD 的法向量为( , , )DA2 0 0 uu u r 设平面PBD的法向量为( , , )nx y z r 因为( ,),( , , )DPDB0132 1 0 uu u ruu u r ，所以 n DP n DB 0 0 r uuu r r uuu r 所以 yz xy 30 20 令2z，则2 3,3yx，所以(, )n3 2 3 2 r 所以cos , | AD n AD n ADn 2 357 192 19 uuu r r uuu r r uuu u rr 由题知 BPDC 为锐角，所以 BPDC 的余弦值为 57 19 （） 法一： 假设棱 BC 上存在点 F，使得 MFPC，显然 F与点C不同 所以,P M F C四点共面于 所以FC，PM 所以BFC，APM 所以就是点, ,A B C确定的平面，所以P 这与 PABCD 为四棱锥矛盾，所以假设错误，即问题得证 法二： 假设棱 BC 上存在点 F，使得 MFPC 连接 AC ，取其中点N 在PAC 中，因为,M N分别为,PA CA的中点，所以MNPC 因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行，所以 MF与 MN 重合 所以点F在线段 AC 上，所以F是 AC ， BC 的交点 C ，即MF就是MC 而MC与 PC 相交，矛盾，所以假设错误，问题得证 法三：假设棱BC 上存在点F，使得MFPC， 设 BFBC，所以 33 (1, ,)( 2,1,0) 22 MFMBBF 7 因为MFPC，所以(0,3,3)MFPC 所以有 120 3 3 2 3 3 2 ，这个方程组无解 所以假设错误，即问题得证 18解：（） 因为,ab 22 21，所以,abc211 所以离心率 c e a 2 2 （） 法一 ： 设 1122 (,),(,)A x yB xy 显然直线 l 存在斜率，设直线l 的方程为(2)yk x 所以 () x y yk x 2 2 1 2 2 ，所以()kxk xk 2222 218820 2 8160k，所以k 21 2 所以 k xx k k x x k 2 12 2 2 12 2 8 21 82 21 因为 22 '(,)B xy 所以 22 1212 |'|()()ABxxyy 因为 2 22 121212 22 816 ()()4 (21) k xxxxx x k 121212 2 4 (2)(2)()4 21 k yyk xk xk xx k 所以 22 2222 81616 |'| (21)(21) kk AB kk 22 8 (21)k 8 2 2 2 21k 因为k 2 1 0 2 ，所以|'| (2,22AB 法二 ： 设 1122 (,),(,)A x yB xy 当直线 l 是x轴时，|'|22AB 当直线 l 不是x轴时，设直线l 的方程为2xt y 所以 x y xt y 2 2 1 2 2 ，所以()tyt y- 22 2420， 2 8160t，所以t 2 2 所以 t yy t y y t 12 2 12 2 4 2 2 2 因为 22 '(,)B xy 所以 22 1212 |'|()()ABxxyy 因为 2 2222222 1212121212 22 16 ()()()()4(1) (2) t xxtytytyytyyy yt t 所以|'|AB 22 2 222 168 (1) (2)2 tt t tt 422 22222 8222 22 22(1) (2)222 ttt tttt 因为t 2 2，所以|'| (2,22)AB 综上，|'|AB的取值范围是( 2,22. 19解：（）因为( ) x axx f x e 2 所以 () '( ) x xaxa fx e 2 2 当a1时，'( ) x xx fx e 2 1 所以'( )f e 1 1，而( )f e 2 1 9 曲线( )yf x在(1,(1)f处的切线方程为 21 ()(1) ee yx 化简得到 11 ee yx （） 法一 ： 因为 () '( ) x xaxa fx e 2 2 ，令 () '( ) x xaxa fx e 2 2 0 得, aaaa xx 22 12 2424 22 当a0时，x，'( )fx，( )f x在区间(0,)的变化情况如下表: 所以( )f x在 ,)0上的最小值为( ),()ff x20中较小的值， 而 2 (0)0 e f，所以只需要证明()f x e 2 2 因为()xaxa 2 22 20，所以() xx a f x axxx ee 22 2 222 2 2 设( ) x ax F x e 2 ，其中 x0，所以 ()() '( ) xx axxa Fx ee 2222 令'( )Fx0，得 a x3 2 2 ， 当a0时，x，'( )Fx，( )F x在区间(0,)的变化情况如下表: 所以( )F x在( ,)0上的最小值为() a a F e 1 2 22 2 ，而() a a F e e 1 2 222 2 注意到 aa x 2 2 24 0 2 ，所以()f xxF e 22 2 ，问题得证 x( ,)x10x1(,)x x 12 x2(,)x2 '( )fx +0 0 + ( )f xZ 极大值 极小值 Z x ( ,)x30x3(,)x3 '( )fx 0 ( )f x 极小值 Z 10 法二 ： 因为“对任意的x 0， 2 2 ee x axx ”等价于“对任意的x 0， 2 2 0 ee x axx ” 即“ x0， 2 +1 2ee() 0 e x x axx ”，故只需证“x0 ， 2 2ee()0 x axx” 设 2 ( )2ee() x g xaxx，所以'( )2ee(2 ) x g xax 设( )'( )h xgx，'( )2e2e x h x 令'( )Fx0，得x31 当a0时，x，'( )h x，( )h x在区间(0,)的变化情况如下表: 所以( )h x ( ,)0上的最小值为( )h 1，而(1)2ee(2)e0haa 所以 x0时，'( )2ee(2 )0 x gxax，所以( )g x在( ,)0上单调递增 所以( )(0)g xg 而(0)20g，所以( )0g x，问题得证 法三： “对任意的x0， 2 ( ) e f x”等价于“( )f x在( ,)0上的最小值大于 2 e ” 因为 () '( ) x xaxa fx e 2 2 ，令'( )fx0 得, aaaa xx 22 12 2424 22 当a0时，x，'( )fx，( )f x在在( ,)+0上的变化情况如下表: x( , )0 1 1 ( ,)1 '( )h x 0 ( )h x 极小值 Z x( ,)x10x1(,)xx 12 x2(,)x2 '( )fx +0 0 + ( )f xZ 极大值 极小值 Z 11 所以( )f x在 ,)0上的最小值为( ),()ff x20中较小的值， 而 2 (0)0 e f，所以只需要证明()f x e 2 2 因为()xaxa 2 22 20，所以() xxx axxxx x a f eee 222 2 2222 2 22 注意到 aa x 2 2 24 2 和a0，所以 aa x 2 2 24 2 2 设( ) x x F x e 2 ，其中x2 所以 ()() '( ) xx xx Fx ee 2 121 当x2时，'( )Fx0，所以( )F x单调递增，所以( )( )F xF e 2 4 2 而() e eee 22 4224 0 所以()()f xF x e 22 2 ，问题得证 法四： 因为a0，所以当x0时，( ) xx axxx fx ee 22 设( ) x x F x e 2 ，其中x0 所以 () '( ) x x x Fx e 2 所以x，'( )F x，( )F x的变化情况如下表: ( )F x在x2时取得最小值所以 ( )F e 2 2 4 ，而() e eee 22 4224 0 所以 x 0时， 2 ( ) e F x 所以( )( )f xF x e 2 20.解： ( ) 满足3的元素为(0, 0,1),(1, 0,1),(0,1,1),(1,1,1) （）记 12 (,) n x xx， 12 (,) n yyy， 注意到0,1 i x，所以(1)0 ii x x， 所以 11112222 ()()() nnnn xxx yxxx xxxx x x( , )0 2 2 ( ,)2 '( )Fx 0 + ( )F x 极小值 Z 12 12n xxx 12n yyy 因为n，所以 1212nn xxxyyyn 所以 1212 , nn x xxyyy中有n个量的值为1，n个量的值为0. 显然 11112222 0()()() nnnn xyx yxyx yxyx y 1122nn xyxyxyn， 当(1,1,1)，(0,0,0)时， ，满足n，n.所以的最大值为n 又 11112222 ()()() nnnn xyx yxyx yxyx y 1122 () nn nx yx yx y 注意到只有1 ii xy时，1 ii x y，否则0 ii x y 而 1212 , nn x xxy yy中n个量的值为1， n 个量的值为0 所以满足1 ii x y这样的元素i至多有 2 n 个， 当 n 为偶数时， 22 nn n. 当 22 (1,1,1,0,0,0) nn 个个 时，满足n，且 2 n . 所以的最小值为 2 n 当 n 为奇数时，且1 ii x y，这样的元素i至多有 1 2 n 个， 所以 11 22 nn n. 当 11 22 (1,1,1,0,0,0) nn 个个 ， 11 22 (1,1,1,0,0,0) nn 个个 时，满足n， 1 2 n . 所以的最小值为 1 2 n 综上：的最大值为n ，当 n 为偶数时，的最小值为 2 n ，当 n 为奇数时， 1 2 n . （） S中的元素个数最大值为 2 2 2 nn 设集合 S是满足条件的集合中元素个数最多的一个 记 1 S 1212 (,) |1, nn x xxxxxnS ， 21212 (,)|2, nn SxxxxxxnS 13 显然 1212 SSSSS， 集合 1 S中元素个数不超过1n个，下面我们证明集合 2 S中元素个数不超过 2 n C个 212 ,(,) n Sx xx，则 12 2 n xxxn 则 12n xxx， ，中至少存在两个元素0 ij xx 212 ,(,) n Syyy， 因为1n，所以, ij yy不能同时为0 所以对1ijn中的一组数, i j而言， 在集合 2 S中至多有一个元素 12 (,) n x xx满足 ij xx，同时为 0 所以集合 2 S中元素个数不超过 2 n C个 所以集合 S中的元素个数为至多为 22 11 n nCnn 记 1 T 1212 (,) |1, nnn x xxxxxn ，则 1 T中共1n个元素， 对于任意的 1 T， n， 1n. 对1ijn，记 ,12 (,), i jn x xx其中0 ij xx，1 t x，,ti tj 记 2, |1 i j Tijn ， 显然 2 ,S，均有1n. 记 12 STT， S中的元素个数为 2 1nn，且满足,S，均有1n. 综上所述，S中的元素个数最大值为 2 1nn.