北师版数学必修5数列.pdf

用心 爱心 专心 数列 教学目标： 将等比数列的通项公式和前n 项求和公式应用到应用题的有关计算中去；增强学生 的应用意识，提高学生的实际应用能力. 教学重点： 等比数列通项公式和前n 项和公式的应用 . 教学难点： 利用等比数列有关知识解决一些实际问题. 教学过程： 例 1某人年初向银行贷款10万元用于购房 . （）如果他向建设银行贷款，年利率为5% ，且这笔款分 10 次等额归还（不计复 利） ，每年一次，并从借后次年年初开始归还，问每年应付多少元？ （）如果他向工商银行贷款，年利率为4% ，要按复利计算（即本年的利息计入 次年的本金生息），仍分 10 次等额归还，每年一次，每年应还多少元？ 解： （）若向建设银行贷款，设每年还款x 元， 则 105×(110×5%)x(1 9×5%)x(1 8×5%)x(1 7×5%) x 即：105×1.5 10x45×0.05 元，解得 x105×1.5 12.25 12245(元) （）若向工商银行贷款，每年需还y 元，则： 105×(14%)10 y(1 4%)9 y(1 4%)8 y(1 4%)y 即 105×1.04101.04101 1.041 ·y 其中： 1.0410 110×0.04 45× 0.042 120×0.043 210× 0.044 1.4802. y105×1.4802×0.04 1.4802 12330(元) 答：向建设银行贷款，每年应付12245 元；若向工商银行贷款，每年应付12330 元. 例 2用分期付款的方式购买家电一件，价为1150 元，购买当天先付150 元， 以后每月这一天都交付50 元，并加付欠款利息，月利率为1% ，若交付 150 元后的 每一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10 个月该交付多少钱？全 部贷款付清后，买这件家用电器实际花费多少钱？ 解：购买时付出 150元后，余欠款 1000元，按题意应分 20 次付清，由于每次都必 须交 50 元，外加上所欠余款的利息，这样每次交付欠款的数额顺月次构成一数列 设每次交款数额依次为a1，a2， a20 则：a1501000×1% 60 元，a250(100050)×1% 59.5 元 用心 爱心 专心 a1050(10009×50)×1% 55.5 元 即第 10 个月应付款 55.5 元. 由于an 是以 60 为首项，以 0.5 为公差的等差数列，所以有： S2060（6019×0.5） 2 ×201105(元) 即全部付清后实际付款（ 1105150）1255（元） . 例 3某职工年初向银行贷款2 万元用于购房，银行为了推动住房制度改革，贷 款的优惠年利率为10% ，按复利计算（即将本年的本金与利润的总和计为次年的本 金） ，若这笔贷款要求10 次等额还清，每年一次，10 年还清，并且从贷款后次年 年初开始归还，问每年应还多少元？ 分析：逐年分析，寻找规律，建立恰当数学模型. 解：设贷款额为 a0 元，贷款年利率为，次年等额归还x 元，第 n 年还清，则 一年后的欠款数为： a1(1)a0x 二年后的欠款数为： a2(1)a1x(1 )2a0x （1）1 三年后的欠款数为： a3(1)a2x(1 )3a0x （1）2(1 ) 1 n 年后的欠款数为： an(1 )an1x(1)na0x(1 )n 1(1 )n2 (1 ) 1 由于 an0，贷款还清， (1)na0x· 1(1)n 1(1) ，x(1)na0 (1)n1 将 0.1 ，a020000，n10 代入，得 x 2000×0.1×1.110 1.110 1 2000×2.5937 1.5937 3255元. 例 4某人于 1997年 7月 1 日在银行按一年定期储蓄的方式存入a 元，1998 年 7 月 1 日，他将到期存款的本息取出后添上a 元再按一年定期储蓄存入银行，此后 他每年 7 月 1 日按照同样同样的方法在银行取款和存款，设银行定期储蓄的年利率 r 不变，问到 2002年 7 月 1 日他的本息共有多少？ 分析：逐年分析，寻找规律，建立数学模型. 解：由题意得： 1998年本息总数为 a(1r) ， 1999年本息总数为 a(1r)2 a(1r), 2002年本息总数为： a(1r)5 a(1r)4 a(1r)3 a(1r)2 a(1r) 即a(1r)1 (1 r)5 1(1 r) a r (1r)6 (1r) 用心 爱心 专心 评述：解决等比数列应用题的关键是认真审题抓特点，仔细观察找规律，一般地， 等比数列的特点是增加或减少的百分数相同，为了分析数列的规律， 一般需先写出 数列的一些项加以考查 . 例 5 某地区荒山 2200亩，从 1995 年开始每年春季在荒山植树造林，第一年植树 100亩，以后每一年比上一年多植树50亩. （1）若所植树全部都成活，则到哪一年可将荒山全部绿化? （2）若每亩所植树苗、木材量为2 立方米，每年树木木材量的自然增长率为20% ， 那么全部绿化后的那一年年底，该山木材总量为S，求 S的表达式 . （3）若 1.284.3 ，计算 S ( 精确到 1 立方米 ). 分析：由题意可知，各年植树亩数为：100，150，200，成等差数列 解：(1) 设植树 n 年可将荒山全部绿化，则：100nn（n1） 2 ×502200 解之得 n8 或 n11(舍去) (2)1995 年所植树， 春季木材量为 200 m3 ， 到 2002年底木材量则增为 200×1.28 m3. 1996年所植树到 2002年底木材量为 300×1.27 m3. 2002年所植树到年底木材量为900×1.2 m3，则：到 2002 年底木材总量为： S200×1.28 300×1.27 400×1.26 900×1.2 (m3) (3)S 900×1.2 800×1.22700×1.23 200×1.28 1.2S900×1.22 800×1.23 300×1.28 200×1.29 ，两式相减得： 0.2S200×1.29 100(1.22 1.23 1.28) 900×1.2 200×1.29 100× 1.22（1.27 1） 1.2 1 900×1.2 1812 S9060( m3) 用心 爱心 专心