拔高专题5分式的运算(含答案).pdf

- 1 - 【知识精读】 1. 分式的乘除法法则 a b c d ac bd ； a b c d a b d c ad bc 当分子、分母是多项式时，先进行因式 分解再约分。 2. 分式的加减法 （1）通分的根据是分式的基本性质，且 取各分式分母的最简公分母。 求最简公分母是通分的关键，它的法则 是： 取各分母系数的最小公倍数； 凡出现的字母（或含有字母的式子） 为底的幂的因式都要取； 相同字母（或含有字母的式子）的幂 的因式取指数最高的。 （2）同分母的分式加减法法则 a c b c ab c （3）异分母的分式加减法法则是先通 分，变为同分母的分式，然后再加减。 3. 分式乘方的法则 () a b a b n n n （n 为正整数） 4. 分式的运算是初中数学的重要内容之 一，在分式方程，求代数式的值，函数等方 面有重要应用。学习时应注意以下几个问题： （1）注意运算顺序及解题步骤，把好符 号关； （2）整式与分式的运算， 根据题目特点， 可将整式化为分母为“ 1”的分式； （3）运算中及时约分、化简； （4）注意运算律的正确使用； （5）结果应为最简分式或整式。 下面我们一起来学习分式的四则运算。 【分类解析】 例 1：计算 xx xx xx xx 2 2 2 2 2 6 6 2 的结果是 （） A. x x 1 3 B. x x 1 9 C. x x 2 2 1 9 D. x x 2 2 1 3 分析： 原式() () () () () () () () xx xx xx xx 21 32 32 21 ()() ()() ()() ()() ()() ()() xx xx xx xx xx xx x x 21 32 21 32 11 33 1 9 2 2 故选 C 说明：先将分子、分母分解因式，再约 分。 例2：已知abc1，求 a aba b bcb c acc111 的值。 分析： 若先通分，计算就复杂了，我们 可以用 abc替换待求式中的“ 1”，将三个分 式化成同分母，运算就简单了。 解：原式 a aba ab abcaba abc abcabcab1 - 2 - a aba ab aba abc aab aab aba 111 1 1 1 例 3：已知：250mn，求下式的值： ()()11 n m m mn n m m mn 分析： 本题先化简，然后代入求值。化 简时在每个括号内通分，除号改乘号，除式 的分子、分母颠倒过来，再约分、整理。最 后将条件等式变形，用一个字母的代数式来 表示另一个字母，带入化简后的式子求值。 这是解决条件求值问题的一般方法。 解：()()11 n m m mn n m m mn m mnnmnm m mn m mnnmnm m mn n m mn m mn n mn mn ()() () ()() () () () 250 5 2 mnmn 故原式 5 2 5 2 nn nn 7 2 3 2 7 3 nn 例4 ： 已 知a 、 b 、 c为 实 数 ， 且 ab ab bc bc ca ca 1 3 1 4 1 5 ，那么 abc abbcca 的值是多少？ 分析： 已知条件是一个复杂的三元二次 方程组，不容易求解，可取倒数，进行简化。 解：由已知条件得： 11 3 11 4 11 5 abbcca ， 所以2 111 12() abc 即 111 6 abc 又因为 abbcca abccba 111 6 所以 abc abbcca 1 6 例 5：化简：() x x x x x x 322 1 2 1 2 4 1 解一：原式 ()()()() ()() ()()xxxx xx xx x 32 1212 22 22 1 xxx x xxxx x xxxxxxxx x xxxxxx x xxx 432 4232 22 322 32 324 1 311 1 1131111 1 13331 1 244 ()()() ()()()()()() ()() 解二：原式 ()()()()()()()(xxx x xx x xx x xx x 11 2 22 1 11 2 2 1 2 ()()()()xxxxx xxxxxxx xxx 2 3222 32 1212 22232 244 说明：解法一是一般方法，但遇到的问 题是通分后分式加法的结果中分子是一个四 次多项式，而它的分解需要拆、添项，比较 麻烦；解法二则运用了乘法分配律，避免了 - 3 - 上述问题。因此，解题时注意审题，仔细观 察善于抓住题目的特征，选择适当的方法。 例 1、计算：1 244 22 22 nm mn mn mmnn 解： 原式1 2 2 2 mn mn mn mnmn () ()() 1 2 2 3 mn mn mnmn mn n mn 说明：分式运算时，若分子或分母是多 项式，应先因式分解。 例 2、已知： M xy xyy xy xy xy 22 2 22 2 ， 则 M_ 。 解： 2 2 22 xyy xy xy xy 22 222 22 2 2222 xyyxxyy xy x xy M xy Mx 2 说明：分式加减运算后，等式左右两边 的分母相同，则其分子也必然相同，即可求 出 M。 中考点拨： 例1：计算： ()() () 1111 22 abababab 解一：原式 ()() ()()()() abab abab abab abab 22 22 4 2 2 2 22 22 ab abab ab ab b a abab a ab () () ()() ()() 解二：原式 ()()() 111111 abababababab 11 2 22 abab abab ab ab a ab()() 说明：在分式的运算过程中，乘法公式 和因式分解的使用会简化解题过程。此题两 种方法的繁简程度一目了然。 例2：若abab 22 3，则 ()()1 2 1 2 3 33 b ab b ab 的值等于（） A. 1 2 B. 0C. 1 D. 2 3 解：原式 abb ab abb ab 333 33 22 - 4 - ab ab ab ab ab aabb ab aabb ab ab aabb aabb abab abab ab ab 33 33 22 22 22 22 3 3 2 4 1 2 ()() ()() 故选 A 【实战模拟】 1. 已知：abab25，则 a b b a 的值 等于（） A. 2 5 B. 14 5 C. 19 5 D. 24 5 2. 已知 xx 2 1610，求x x 3 3 1 的值。 3. 计算： 1 32 1 56 1 712 1 920 2222 xxxxxxxx 4. 若AB 99991 99991 99991 99991 1111 2222 2222 3333 ， 试比 较 A 与 B 的大小。 5. 已 知 ： abcabc08， 求 证 ： 111 0 abc 。 - 5 - 【试题答案】 1. 解： a b b a ab ab 22 abab ababab a b b a 25 214 14 5 14 5 222 ， () 故选 B 2. 解：xx 2 1610 xxxxxx 222 161116161， 1 111116163 3 6 3 242 3 422 3 x x x x xxx x x xxxx x ()()() 16216 162 16 16 1612 16 16 3 1616 42 2 2 2 () () ()() xxx x x x x x x x 16 3 161 16 3 1616 16259 4144 2 () x x x x 说明：此题反复运用了已知条件的变形， 最终达到化简求值的目的。 3. 解：原式 1 12 1 23 1 34 1 45()()()()()()()()xxxxxxxx 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 4 1 5 1 1 1 5 4 65 2 xxxxxxxx xx xx 说明：本题逆用了分式加减法则对分式 进行拆分，简化计算。 4. 解：设a9999 1111 ，则 A a a B a a 1 1 1 1 2 2 3 ， AB a a a a aaaaa aa 1 1 1 1 121 11 2 2 3 4342 23 () () aa aa () ()() 1 11 0 2 23 AB 5. 证明：abc0 ()abc 2 0，即 abcabbcac 222 2220 abbcacabc 1 2 222 () 又 1111 16 222 abc bcacab abc abc() abc8 abc、 、 均不为零 abc abc 222 0 111 0