数列例题含答案.pdf

1设等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 S4=4S2，a2n=2an+1 （1）求数列 an的通项公式； （2）设数列 bn的前 n 项和为 Tn且（ 为常数）令 cn=b2n（ n N *）求数列 cn的前 n 项和 Rn 【解答】 解： （1） 设等差数列 an的首项为 a1，公差为 d，由 a2n=2an+1，取 n=1， 得 a2=2a1+1， 即 a1d+1=0 再由 S4=4S2，得，即 d=2a1 联立 、 得 a1=1， d=2 所以 an=a1+（n1）d=1+2（n 1）=2n1； （2）把 an=2n1 代入 ，得，则 所以 b1=T1= 1， 当 n 2 时，= 所以， Rn=c1+c2+ +cn= 得：= 所以； 所以数列 cn 的前 n 项和 2等差数列 an中， a2=4，a4+a7=15 （）求数列 an的通项公式； （）设bn=2 +n，求 b1+b2+b3+ +b10的值 【解答】 解： （）设公差为d，则， 解得， 所以 an=3+（n 1）=n+2； （） bn=2 +n=2 n+n， 所以 b1+b2+b3+ +b10=（ 2+1）+（22+2） + +（2 10+10） =（2+2 2+ +210）+（1+2+ +10） =+=2101 3已知数列 log2（an1） （n N *）为等差数列，且 a1=3，a3=9 （）求数列 an的通项公式； （）证明+ +1 【解答】（I）解：设等差数列log2（an1）的公差为d 由 a1=3，a3=9 得 2（log22+d）=log22+log28，即 d=1 所以 log2（an1）=1+（n1）× 1=n，即 an=2n+1 （II ）证明：因为=， 所以+ +=+ +=11， 即得证 4已知 an是正数组成的数列，a1=1，且点（，an+1） （ n N *）在函数 y=x 2+1 的图象 上 （）求数列 an的通项公式； （）若列数 bn满足 b1=1，bn+1=bn+2an，求证： bn?bn+2bn+12 【解答】 解：解法一： （）由已知得an+1=an+1、即 an+1an=1，又 a1=1， 所以数列 an 是以 1 为首项，公差为 1 的等差数列 故 an=1+（n1）× 1=n （）由（）知：an=n 从而 bn+1bn=2n bn=（bnbn1）+（bn1 bn2）+ +（b2b1）+b1 =2 n1+2n2+ +2+1 = bn?bn+2bn+12=（2n1） （2n+21）（ 2n+11）2 =（2 2n+2 2n2n+2+1）（ 22n+22?2n+1+1） =2 n0 bn?bn+2bn+12 解法二： （）同解法一 （） b2=1 bn?bn+2bn+1 2=（b n+12 n） （b n+1+2 n+1） b n+1 2=2n+1?bn+12n?bn+12n?2n+1 =2 n（b n+12 n+1） =2 n（b n+2 n2n+1） =2 n（b n2 n） = =2 n（b12） =2 n0 bn?bn+2bn+12 5已知等差数列an 满足 a1+a2=10，a4a3=2 （1）求 an的通项公式； （2）设等比数列bn 满足 b2=a3，b3=a7，问： b6与数列 an的第几项相等？ 【解答】 解： （I）设等差数列an 的公差为 d a4 a3=2，所以 d=2 a1+a2=10，所以 2a1+d=10 a1=4， an=4+2（n1）=2n+2（ n=1，2， ） （II ）设等比数列 b n的公比为q， b2=a3=8，b3=a7=16， q=2，b1=4 =128，而 128=2n+2 n=63 b6与数列 an中的第 63 项相等 6设等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 a5+a13=34， S3=9 （1）求数列 an的通项公式及前 n 项和公式； （2）设数列 bn 的通项公式为 ，问：是否存在正整数t，使得 b1，b2，bm（m 3， m N）成等差数列？若存在，求出t 和 m 的值；若不存在，请说明理由 【解答】 解： （1）设等差数列an的公差为 d由已知得 即解得 故 an=2n 1，Sn=n 2 （2）由（ 1）知要使 b1，b2，bm成等差数列，必须2b2=b1+bm， 即， （8 分） 移项得：=， 整理得， 因为 m，t 为正整数，所以t 只能取 2，3，5 当 t=2 时， m=7；当 t=3 时， m=5；当 t=5 时， m=4 故存在正整数t，使得 b1，b2，bm成等差数列 7设 an是等差数列，bn=（） an已知 b 1+b2+b3=，b1b2b3=求等差数列的通项an 【解答】 解：设等差数列an的公差为 d，则 an=a1+（n1）d b1b3=?=b2 2 由 b1b2b3= ，得 b2 3= ， 解得 b2= 代入已知条件 整理得 解这个方程组得b1=2，b3= 或 b1=， b3=2 a1=1，d=2 或 a1=3，d=2 所以，当a1=1， d=2 时 an=a1+（ n1）d=2n 3 当 a1=3，d=2 时 an=a1+（ n1）d=52n 8已知等差数列an 的公差大于0，且 a3，a5是方程 x 214x+45=0 的两根，数列 b n的前 n 项的和为Sn，且 Sn=1 （1）求数列 an，bn的通项公式； （2）记 cn=anbn，求证 cn+1 cn 【解答】 解： （1） a3，a5是方程 x214x+45=0 的两根，且数列an的公差 d0， a3=5，a5=9，公差 an=a5+（n 5）d=2n1 又当 n=1 时，有 b1=S1=1 当 数列 bn 是等比数列， （2）由（）知， cn+1 cn 9已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn，S5=35，a5和 a7的等差中项为 13 （）求an及 Sn； （）令（n N ） ，求数列 b n的前 n 项和 Tn 【解答】 解： （）设等差数列 an的公差为 d， 因为 S5=5a3=35，a5+a7=26， 所以， （ 2 分） 解得 a1=3，d=2， （4 分） 所以 an=3+2（n1）=2n+1； Sn=3n+× 2=n 2+2n （ 6 分） （）由（）知an=2n+1， 所以 bn= = （8 分） =， （10 分） 所以 Tn= （ 12 分） 10已知等差数列an 是递增数列，且满足a4?a7=15， a3+a8=8 （）求数列 an的通项公式； （）令bn= （n 2） ，b1=，求数列 bn 的前 n 项和 Sn 【解答】 解： （1）根据题意： a3+a8=8=a4+a7，a4?a7=15，知： a4，a7是方程 x28x+15=0 的 两根，且a4a7 解得 a4=3，a7=5，设数列 an 的公差为 d 由 故等差数列 an的通项公式为： （2） = 又 = 11设 f（x）=x 3，等差数列 a n 中 a3=7，a1+a2+a3=12，记 Sn=，令 bn=anSn， 数列的前 n 项和为 Tn （）求 an 的通项公式和 Sn； （）求证：； （）是否存在正整数m，n，且 1mn，使得 T1， Tm，Tn成等比数列？若存在，求出 m，n 的值，若不存在，说明理由 【解答】 解： （）设数列an 的公差为 d，由 a3=a1+2d=7，a1+a2+a3=3a1+3d=12 解得 a1=1，d=3an=3n2 f（x）=x 3 S n=an+1=3n+1 （） bn=anSn=（3n 2） （3n+1） （）由（ 2）知，T1，Tm，Tn成等比数列 即 当 m=1 时， 7=， n=1，不合题意；当m=2 时，=，n=16，符合题意； 当 m=3 时，=，n 无正整数解；当m=4 时，=，n 无正整数解； 当 m=5 时，=，n 无正整数解；当m=6 时，=，n 无正整数解； 当 m 7 时， m26m1=（m3） 2100，则 ，而， 所以，此时不存在正整数m，n，且 1mn，使得 T1，Tm，Tn成等比数列 综上，存在正整数m=2，n=16，且 1mn，使得 T1，Tm，Tn成等比数列 12已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn=pn 22n+q（p，q R） ，n N + （）求的q 值； （）若a1与 a5的等差中项为18，bn满足 an=2log2bn，求数列 bn的前 n 和 Tn 【解答】 解： （）当 n=1 时， a1=S1=p2+q 当 n 2 时， an=SnSn1=pn 22n+qp（ n1）2+2（n1） q=2pn p2 an是等差数列， a1符合 n 2 时， an的形式， p2+q=2pp 2， q=0 （），由题意得a3=18 又 a3=6p p2， 6pp2=18，解得 p=4 an=8n6 由 an=2log2bn，得 bn=2 4n3 ，即 bn 是首项为 2，公比为16 的等比数列 数列 bn 的前 n 项和 13已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn，且满足： a2+a4=14，S7=70 （）求数列an的通项公式； （）设bn= ，数列 bn的最小项是第几项，并求出该项的值 【解答】 解： （I）设公差为d，则有 （ 2分） 解得以 an=3n2 （ 4 分） （II ） （6 分） 所以=1 （10 分） 当且仅当，即 n=4 时取等号， 故数列 bn 的最小项是第 4 项，该项的值为23 （12 分） 14己知各项均为正数的数列an满足 an+1 2a n+1an2an 2=0（n N*） ，且 a 3+2 是 a2，a4的 等差中项 （1）求数列 an的通项公式 an； （2）若 bn=an an，Sn=b1+b2+ +bn，求 Sn+n?2 n+150 成立的正整数 n 的最小值 【解答】 解： （） an+12an+1an2an2=0，（ an+1+an） （an+12an）=0， 数列 an的各项均为正数， an+1+an0， an+12an=0， 即 an+1=2an，所以数列 an 是以 2 为公比的等比数列 a3+2 是 a2，a4的等差中项， a2+a4=2a3+4， 2a1+8a1=8a1+4， a1=2， 数列 an的通项公式 an=2 n （）由（）及bn= 得， bn= n?2 n， Sn=b1+b2+bn， Sn=22?223?2 3 4?24 n?2n 2Sn=2 22?233?24 4?25（ n1）?2nn?2n+1 得， Sn=2+2 2+23+24+25+2nn?2n+1 =， 要使 Sn+n?2n+150 成立，只需2n+1250 成立，即 2n+1 52， 使 Sn+n?2n+150 成立的正整数n 的最小值为5 15设数列 an的前 n 项和为 Sn，且 a1=1，an+1=2Sn+1，数列 bn满足 a1=b1，点 P （bn，bn+1） 在直线 xy+2=0 上， n N* （）求数列 an，bn的通项公式； （）设，求数列 cn的前 n 项和 Tn 【解答】 解： （）由 an+1=2Sn+1 可得 an=2Sn1+1（n 2） ， 两式相减得an+1an=2an， an+1=3an（n 2） 又 a2=2S1+1=3， 所以 a2=3a1 故a n是首项为1，公比为3 的等比数列 所以 an=3n 1 由点 P（bn，bn+1）在直线xy+2=0 上，所以bn+1bn=2 则数列 bn 是首项为 1，公差为2 的等差数列 则 bn=1+（n1）?2=2n1 （）因为，所以 则， 两式相减得： 所以=