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数列专练 (一)· 作业 (十九 ) 1(2016 ·湖北四地七市联考)已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，且满足 an23Sn(nN * ) (1)求数列 an的通项公式； (2)设 bnlog2an，求数列 anbn的前 n 项和 Tn. 解析(1)当 n2 时，由 an23Sn ， 得 an123Sn1 ， 即得 4anan1， 而当 n1 时， a123a1，故 a11 2. 因而数列 an 是首项为 1 2，公比为 1 4的等比数列，其通项公式为 an 1 2·( 1 4) n1(1 2) 2n1(nN* ) (2)由(1)得 bnlog2an12n(nN * ) 数列 anbn 的前 n 项和 Tna1b1a2b2anbn (a1an)(b1bn) 1 21（ 1 4） n 1 1 4 （ 112n）n 2 2 3n 22 3×( 1 4) n，(nN*) 2(2016 ·广州模拟 )设 Sn为数列 an 的前 n 项和，已知a12，对任意 nN*，都有 2Sn(n1)an. (1)求数列 an的通项公式； (2)若数列 4 an（an2） 的前 n 项和为 Tn，求证： 1 2Tn0，所以 1 1 n12 n n2对一切 nN*恒成立，求实数 的取值范围 解析(1)因为 an1an2(bn1bn)，bn3n5， 所以 an1an2(bn1bn)2(3n83n5)6， 所以 an 是首项为 a11，公差为6 的等差数列 所以 an6n5(nN*) (2)因为 bn2n，所以 an1an2(2n 12n)2n1， 当 n2 时， an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n2 n1 2262n12， 当 n1 时， a16，符合上式，所以an2n 12(nN* )， 由 a n2 nn2得 2 nn 2n 1 1 2 n 2n 1， 所以当 n1，2 时， 2nn 2 n1取最大值 3 4， 故 的取值范围为 (3 4， ) 4(2016 ·衡中一调 )已知数列 an 满足 an2qan(q 为实数，且q1)，nN*，a11，a22，且 a2a3，a3 a4，a4a5成等差数列 (1)求 q 的值和 an的通项公式； (2)设 bn log2a2n a2n1 ，nN*，求数列 bn 的前 n 项和 解析(1)由已知，有 (a3a4)(a2a3)(a4a5)(a3a4)， 即 a4a2a5a3， 所以 a2(q1)a3(q1)， 又因为 q1，所以 a2a3. 由 a3qa1，得 q2. 当 n2k1(kN * )时， ana2k12k 12 n1 2 ； 当 n2k(kN *)时， ana 2k2k2 n 2， 所以数列 an 的通项公式为 an 2 n1 2 ，n为奇数， 2 n 2，n为偶数 . (2)由(1)得 bnlog 2a2n a2n1 n 2 n1，nN *. 设数列 b n的前 n 项和为 Sn，则 Sn1× 1 2 02× 1 2 13× 1 2 2(n1)× 1 2 n2n× 1 2 n1， 1 2Sn1× 1 212× 1 223× 1 23 (n1)× 1 2n 1n× 1 2n， 上述两式相减，得 1 2Sn 1 2 0 1 2 1 2 2 1 2n 1 n 2 n 1 1 2n 1 1 2 n 2n2 2 2n n 2n， 整理，得 Sn4 n2 2n 1，nN*. 5(2016 ·福建晋江检测 )已知数列 an 的前 n 项的和为 Sn，且 a11 2，a n1 n1 2n an. (1)证明：数列 an n 是等比数列； (2)求通项公式an与前 n 项的和 Sn； (3)设 bnn(2Sn)，nN*，若集合 M n|bn，nN*恰有 4 个元素，求实数的取值范围 解析(1)因为 a11 2，a n1 n1 2n an，当 nN *时，an n 0.又因为 a1 1 1 2， an1 n1 an n 1 2(nN *)为常数， 所以 an n 是以 1 2为首项， 1 2为公比的等比数列 (2)由 an n 是以 1 2为首项， 1 2为公比的等比数列，得 an n 1 2×( 1 2) n1(1 2) n. 所以 ann×(1 2) n. 由错位相减法得Sn2(1 2) n1n(1 2) n. (3)因为 bnn(2Sn)(nN*)，所以 bnn(1 2) n1n2(1 2) n. 因为 bn1bn(3n2)(1 2) n1， 所以 b2b1，b2b3b4. 因为集合 Mn|bn， nN*恰有 4 个元素，且 b1b43 2，b22，b 315 8 ，b5 35 32， 所以 35 32 1 3n 1得 1 3n1 1 3n 110，得 a1， a11 a. 整理为 a2a10，解得 1a 51 2 . a 的取值范围是 (1， 51 2 )