数列通项公式求法大全配练习及答案.pdf

数列通项公式的十种求法 一、公式法 * 11 (1)() n aanddnad nN 1* 1 1 () nn n a aa qqnN q 二、累加法)( 1 nfaa nn 例 1 已知数列 n a满足 11 211 nn aana，求数列 n a的通项公式。 2 n an 例2 已 知 数 列 n a满 足 11 2313 n nn aaa， ， 求 数 列na的 通 项 公 式 。 （ 31. n n an） 三、累乘法 nn anfa)( 1 例 3 已知数列 n a满足 11 2(1)53 n nn anaa，求数列 n a的通项公式。 （ (1) 1 2 325!. n n n n an） 评注：本题解题的关键是把递推关系 1 2(1)5 n nn ana转化为 1 2(1)5 n n n a n a ， 进而求 出 132 1 1221 nn nn aaaa a aaaa ，即得数列na的通项公式。 例 4 已知数列 n a满足 11231 123(1)(2) nn aaaaanan， 求 n a的通项 公式。 （ ! . 2 n n a） 评注：本题解题的关键是把递推关系式 1 (1)(2) nn anan转化为 1 1(2) n n a nn a ， 进而求出 13 2 122 nn nn aaa a aaa ， 从而可得当2 n na时，的表达式，最后再求出数列 n a的 通项公式。 四、待定系数法qpaa nn 1 nfpaa nn 1nnn qapaa 12 （其中 p，q 均为常数）。 例5已 知 数 列 n a满 足 11 2356 n nn aaa， 求 数 列 n a的 通 项 公 式 。 （ 1 25 nn n a） 评注：本题解题的关键是把递推关系式 1 23 5 n nn aa转化为 1 1 52(5 ) nn nn aa， 从而可知数列5 n n a是等比数列，进而求出数列5 n n a的通项公式，最后再求出数列 n a的通项公式。 例 6 已知数列 n a满足 11 35241 n nn aaa，求数列 n a的通项公式。 （ 1 133522 nn n a） 评 注 ： 本 题 解 题 的 关 键 是 把 递 推 关 系 式 1 35 24 n nn aa转 化 为 1 1 5223 (522 ) nn nn aa，从而可知数列5 22 n n a是等比数列，进而求 出数列5 22 n n a的通项公式，最后再求数列 n a 的通项公式。 例 7 已知数列 na满足 2 11 23451 nn aanna，求数列 na的通项公式。 （ 42 231018 n n ann） 评注：本题解题的关键是把递推关系式 2 1 2345 nn aann转化为 22 1 3(1)10(1)182(31018) nn annann，从而可知数列 2 31018 n ann是等比数列， 进而求出数列 2 31018 n ann的通项公式， 最后再 求出数列 n a的通项公式。 五、递推公式为 n S与 n a的关系式 (或() nn Sf a) 解法：这种类型一般利用 )2( ) 1( 1 1 nSS nS a nn n 例 8 已知数列 n a前 n 项和 2 2 1 4 n nn aS.（1）求 1n a 与 n a 的关系；（ 2）求通项公 式 n a. 六 例 9 已知数列 na满足11 32313 n nn aaa，求数列 na的通项公式。 解： 1 32 31 n nn aa两边除以 1 3 n ，得 1 11 21 3333 nn nnn aa ， 则 1 11 21 3333 nn nnn aa ，故 11223211 22321 11 122 122 ()()()() 33333333 212121213 ()()()() 333333333 2(1)11111 ()1 333333 nnnnnnn nnnnn nn nnn nnnn aaaaaaaaaa aa n 因此 1 1 (1 3) 2(1)211 3 1 331 3322 3 n n n nn ann ， 则 211 33. 322 nn n an 评注：本题解题的关键是把递推关系式 1 32 31 n nn aa转化为 1 11 21 3333 nn nnn aa ， 进而求出 11223211 1122321 ()()()() 333333333 nnnnnn nnnnnn aaaaaaaaa ，即得数列 3 n n a 的通项公式，最后再求数列 n a的通项公式。 七、对数变换法（当通项公式中含幂指数时适用） 例 10 已知数列 na满足 5 1 2 3 n nn aa， 17a，求数列na的通项公式。 解：因为 5 11 237 n nn aaa，所以 1 00 nn aa，。在 5 1 2 3 n nn aa式两边取 常用对数得 1 lg5lglg3lg 2 nn aan 设 1 lg(1)5(lg) nn ax nyaxny 11 将式代入 11 式，得5lglg 3lg 2(1)5(lg nn anx nyaxny，两边消去 5 lg n a并整理，得(lg3)lg 255x nxyxny，则 lg35 lg25 xx xyy ，故 lg3 4 lg3lg2 164 x y 代入 11 式，得 1 lg3lg3lg2lg3lg3lg 2 lg(1)5(lg) 41644164 nn anan12 由 1 lg3lg3lg2lg3lg3lg2 lg1lg 710 41644164 a及12 式， 得 lg3lg3lg 2 lg0 4164 n an， 则 1 lg3lg3lg 2 lg(1) 4164 5 lg3lg3lg 2 lg 4164 n n an an ， 所以数列 lg3lg3lg 2 lg 4164 n an是以 lg3lg3lg 2 lg 7 4164 为首项，以5 为公比的等 比数列，则 1 lg3lg3lg2lg3lg3lg 2 lg(lg 7)5 41644164 n n an，因此 11 1 11111 1 6164444 11111 1 16164444 11111 1 16164444 55 51 4 lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2 lg(lg 7)5 4164464 (lg 7lg 3lg 3lg 2 )5lg 3lg 3lg 2 lg(7332 )5lg(332 ) lg(7 332 )5lg(332 ) lg(733 nn n n n n n n n n n n an 1 1 151 164 54151 51 164 2) lg(732) n n nn n 则 1 1 54151 5 164 732 n n nn n a。 评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式 5 1 23 n nn aa转化为 1 lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2 lg(1)5(lg) 41644164 nn anan，从而可知数列 lg3lg3lg 2 lg 4164 n an是等比数列，进而求出数列 lg3lg3lg2 lg 4164 n an的通项 公式，最后再求出数列 n a的通项公式。 八、迭代法 例 11 已知数列 n a满足 3(1)2 11 5 n n nn aaa，求数列 n a的通项公式。 解：因为 3(1)2 1 n n nn aa，所以 121 323(1) 232 12 nnn nnn nnn aaa 2(2)(1) 32(2)(1) 3(3)(2) (1) 11 2(3) (2)(1) (1) 1 2 3 (1)2 2 3(2) 23 (1)2 3 3 (2)(1)2 3 32 3(2) (1)2 1 3! 2 1 nn nnn nnn nnnn n n n nn n nnn n nnn n nnn n a a a a a 又 1 5a，所以数列 n a的通项公式为 (1) 1 2 3! 2 5 n n n n n a。 评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式 3(1)2 1 n n nn aa 两边取常用对数得 1 lg3(1)2lg n nn ana，即 1 lg 3(1)2 lg n n n a n a ，再由累乘法可推知 (1) 1 2 3! 2132 1 1221 lglglglg lglglg5 lglglglg n n n nnn n nn aaaa aa aaaa ，从而 1 (1) 3! 2 2 5 n n n n n a。 九、数学归纳法 例 12 已知数列 n a满足 1122 8(1)8 (21) (23)9 nn n aaa nn ， 求数列 n a的通项公式。 解：由 1 22 8(1) (21) (23) nn n aa nn 及 1 8 9 a，得 2122 32 22 4322 8(1 1)88224 (21 1) (213)992525 8(21)248348 (221) (223)25254949 8(31)488480 (231) (233)49498181 aa aa aa 由此可猜测 2 2 (21)1 (21) n n a n ，往下用数学归纳法证明这个结论。 （1）当1n时， 2 12 (2 1 1)18 (2 1 1)9 a ，所以等式成立。 （2）假设当nk时等式成立，即 2 2 (21)1 (21) k k a k ，则当1nk时， 122 8(1) (21) (23) kk k aa kk 2 222 22 22 222 22 222 22 2 2 2 (21)18(1) (21)(21) (23) (21)1(23)8(1) (21) (23) (21) (23)(23)8(1) (21) (23) (21) (23)(21) (21) (23) (23)1 (23) 2(1) 11 2(1) 1 kk kkk kkk kk kkkk kk kkk kk k k k k 2 由此可知，当1nk时等式也成立。 根据（ 1） ， （ 2）可知，等式对任何 * nN都成立。 评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n 项，进而猜出数列的通项 公式，最后再用数学归纳法加以证明。 十、换元法 例 13 已知数列 n a满足 11 1 (1 41 24)1 16 nnn aaaa， 求数列 n a的通项公式。 解：令124 nn ba，则 21 (1) 24 nn ab 故 2 11 1 (1) 24 nn ab，代入 1 1 (14124) 16 nnn aaa得 22 1 111 (1)14(1) 241624 nnn bbb 即 22 1 4(3) nn bb 因为1240 nn ba，故 11 1240 nn ba 则 1 23 nn bb，即 1 13 22 nn bb， 可化为 1 1 3(3) 2 nn bb， 所以3 n b是以 11 31243124 132ba为首项，以 2 1 为公比的等比数 列，因此 12 11 32( )( ) 22 nn n b，则 2 1 ()3 2 n n b，即 2 1 124()3 2 n n a，得 2 111 ()() 3 423 nn n a。 评注：本题解题的关键是通过将 124 n a的换元为nb，使得所给递推关系式转化 1 13 22 nn bb形式，从而可知数列3nb为等比数列， 进而求出数列3nb的通项公式， 最后再求出数列 n a的通项公式。