数学人教版九年级上册圆的基本性质和垂径定理.pdf

圆中的计算垂径定理 教学设计 【内容分析】 垂径定理及其推论是圆的性质部分非常重要的定理。垂径定理为圆的计算和作图提供了方 法和依据，所以它在中考考点上属于高频考点。垂径定理的学习无论从知识上，还是从学生能 力的培养及学习信心的提升都起着重要的作用。 【学情分析】 学生是我自己所任教班级的学生，整体学习能力薄弱，中下生若多。他们在初三上学期已 经完成垂径定理的学习，在运用定理方面仍不够灵活、熟练，又因为圆的知识点长时间运用， 遗忘率很高。学生的基础弱，遇到不懂的题目，容易放弃，他们的自信心明显不足，大部分学 生口头语言表达能力较弱，自我探索解题思路欠缺，分析问题需要老师引导。目前，有大部分 学生，肯在老师的引导下，努力解题，由被动转向主动学习。 【教学目标】 1. 进一步熟悉垂径定理及其推论的应用； 2.通过教学，提高学生分析基本图形、添加适当的辅助线探索解题思路的能力；通过 把实际问题转化一个数学问题，了解数学建模的思想，培养学生分析问题、解决问 题的能力； 3.通过练习，总结常用解题方法，渗透方程、构造直角三角形等数学思想； 4. 学会与同学交流合作，培养团队精神，体验学习过程中成功的快乐，增强学习数学 的信心和热情。 【教学重点】 1.垂径定理及其推论的灵活运用； 2.定理应用过程的方法提炼和计算能力的训练提升。 【教学难点】 添加辅助线和把实际问题转化成数学问题，并用定理及其推论解决问题。 【任务分析】 学生中下面较广，知识点掌握不牢固，遗忘率很高。通过感知基础图形，动手画变式图 形，达到巩固垂径定理，从而用垂径定理解决圆中有关计算。 【教学策略】 引入采用启发、类比，教学过程采用变式训练、分组训练、数学建模。 【教学过程】 一、 引入 1. 确定垂径定理基本图形 师：我们今天复习的内容是圆。（老师在黑板上画圆） 师：请同学们在下图中添加一条非直径的弦 CD不垂直于AB CDAB于点 E CDAB 图（ 1）图（ 2）图（ 3） 利用图（ 1）与图（ 2）图形结构的对比，确定垂径定理基本图形。 师：图（ 2），是垂径定理的基本图形。这就是今天我们复习的主角垂径定理。 根据图（ 2），同学们来说一下垂径定理图中有那些相等的量。 条件： AB 是直径；ABCD 结论： CE=DE ；弧 AC= 弧 AD ；弧 BC= 弧 BD. 让学生自行用数学符号语言表述这一结论(垂径定理 )，最后提炼出垂径定理的文字表 述垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 注意：定理中的两个条件缺一不可过圆心的直线，垂直于弦 师：垂径定理体现了直径、弦、弧三者之间的关系， 直径 AB 是直径； ABCD 弦（非直径的弦）CE=DE 弧弧 AC= 弧 AD ；弧 BC= 弧 BD 例如：条件： AB 是直径；CE=DE 结论：ABCD；弧 AC= 弧 AD ；弧 BC= 弧 BD 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 5 个条件，过圆心，垂直于弦，平分弦，平分弦所对的优弧，平分弦所对的劣 E E E · O C D · O C D · O C D · O C D · O 弧。（当以、为题设时，“弦”不能是直径。），知道2 个条件，从而得到另外3 个条件 成立，我们简称垂径定理“知二推三”。 2垂径定理应用 1. 在 O 中，CD=8 ，圆心 O 到 CD 的距离（即弦心距）为3，则半径长为5 2.在 O 中，半径OC=5 ，弦 CD 的长为 8，则 OE= 3 3. 在 O 中，半径OC=5 ，OE= 3 ，则弦 CD 的长为8 垂径定理的简单运用后，圆中半径、弦心距及弦长三者有何关系？ r 2=d2+（ 2 l ） 2 半径 2=圆心距2+（ 2 1 弦长） 2 根据此公式，在l ，r ，d 三个量中，知道任何两个量就可以求出第三个量。 设计意图：利用变式训练，加深学生对定理本质的了解，总结规律，培养学生的归纳总结 能力。 利用垂径定理求直径( 半径 ) 、弦或弦心距的长度 1.如图（ 1），在 O ， AB CD于 P，弦 CD=16 ， OP=6 ，则半径的长是 析解：连接OD,因为 AB CD于 P， 所以由垂径定理可得816 2 1 2 1 DCDP. 在 RtDOP中，由勾股定理可得OD=10 图（ 1） 2.如图（ 2）， O的半径为5，弦 8AB ，OC AB于C，则 OC的长等于 析解：连接OA,因为OCAB于C， 所以由垂径定理可得AC= 11 84 22 AB. 在 RtAOC中，由勾股定理可得 OC= 2222 543OAAC图（ 2） 3.如图（ 3）， O 的半径为20，120AOB，则弦 AB= SAOB= 解析： 过点 O 作 OCAB 于 C， 则 AC=BC ，AOC= BOC=60° C O A B E C D · O · O OAC=30 O OC=10 2 1 AO根据勾股定理3AC 或在 Rt AOC 中， sin60 ° = AO AC AC=AOsin60° =2 ×3 2 3 图（ 3） AB=32 SAOB= 3101032 2 1 2 1 OCAB 4.如图（ 4）， AB是 O的直径，弦CD AB于 E，如果 AB=10，CD=8 ，那么 AE的长为 _ 解析： AB=10， O的半径为5， 根据垂径定理可知DE=4 2 1 CD 在 RtDOE中， DEO=90 °， OD=5 ，DE=CD 2 1 =4， 根据勾股定理得：OE=3 ，则求得的AE=2 图（ 4） 5.如图（ 4）， AB 是 O的直径，弦CD AB于 E，如果 CD=8 ，AE=2 ，那么 OE的长为 解析：设OD=x ，则 OE=x-2， AB是 O的直径，弦CD AB,CD=8 ， DE=4 根据勾股定理 4 2+(x-2)2=x2 解得 x=5,OE=3 6.如图（ 5） AB 是 O 的直径， CD 是 O 的弦，且AB CD ，垂足为E，连接OC，若 cosC= 5 4 ,CD=8 ，则 OE= 解析：AB 为直径， ABCD， CE=DE CD=8 CE 4 2 1 CD cosC= 5 4 5 4 c o s CO CE C CO=5 OE= 3 图（ 5） 设计意图：熟悉常用的辅助线方法：连半径，作弦心距，与弦的一半构造直角三角形，利用勾 股定理求解或方程思想等解决问题。 已知：直径，弦长，弦心距，拱高四者知其二，既可以根据勾股定理求出另外的两个量。 例 1：如图，已知ABC内接于 O，且 AB=AC ，直径 AD交 BC于点 E， F 是 OE上的一点，使CFBD （1）求证： BE=CE ； （2）试判断四边形BFCD 的形状，并说明理由； （3）若 BC=8 ，AD=10 ，求 CD的长 （1）方法一 : 证明：AB=AC 弧 AB= 弧 AC AD 是O的直径 BE=CE 方法二： 证明： AD 是直径， ABD= ACD=90°， 在 Rt ABD 和 Rt ACD 中， ， Rt ABD Rt ACD ， BAD= CAD ， AB=AC ， BE=CE ； （2）答：四边形BFCD 是菱形 证明： AD 是直径， AB=AC ， AD BC，BE=CE ， CFBD ， FCE= DBE ， 在 BED 和 CEF 中 ， BED CEF， CF=BD ， 四边形 BFCD 是平行四边形， BAD= CAD ， BD=CD ， 四边形 BFCD 是菱形； （3）解：连接OB AD 是直径， AD=10 5ODOA AD BC，BE=CE=4 2 1 AD， 在 Rt OBE 中， 345 2222 BEOBOE DE=OD-OE=5-3=2 在 Rt CED 中， CD=2 设计意图：进一步熟悉垂径定理及其推论的应用。 三、课堂小结 师：通过本节课的学习，你对垂径定理又有哪些新的认识？收获？ 通过本节课的复习，我们又重新梳理了直径与弧、弦之间的关系定理垂径定理及推论， 以及圆的一些基本知识，圆心角、圆周角。 通过学习，我们知道解决垂径定理题目的方法：(1) 垂径定理和勾股定理有机结合可以计 算弦长、半径、弦心距等问题，关键是构造直角三角形连半径或作弦心距；(2) 为了更好理 解垂径定理，一条直线只要满足过圆心；垂直于弦；则可得平分弦；平分弦所对的优 弧；平分弦所对的劣弧 基础练习： 1、（2013?广州）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，P与 x 轴交于 O，A两点，点A的坐标为（ 6，0）， P的半径为13，则点 P的坐标为 _ （3,2 ） 第 1 题第 2 题第 3 题第 4 题 2、如图，O的直径 CD过弦 EF的中点 G，EOD 40°, 则DCF 等于 40 0 . 3、如图 ,AB 为 O的直径 ,E 是弧 BC的中点， OE交弦 BC于点 D.已知 BC=8,AB=10,则 DE的为 2 . 4、如右图，在ABC 中， O 是它的外接圆，OD AB于 D , OE AC于 E.若 DE=3 , 则 BC= 6 。 5、已知圆的半径是2 3，则该圆的内接正六边形的面积是（C ） A3 3B. 9 3C. 18 3D. 36 3 6. 如图， AB为 O直径，已知为DCB=20 o,则 DBA为 （ D ） A o 50 B. o 20 C. o 60 D. o 70 7. 如图所示，圆O的弦 AB垂直平分半径OC 则四边形OACB 是（ C ） A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.以上答案都不对 第（ 6）题第（ 7）题第（ 8）题 7.如 图，O的直径为10cm，弦AB8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度 范围 3 OP 5 9. 在半径为5cm的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm ，另一条弦长为6cm，则这两条弦 之间的距离为_1cm或 7cm_ _. D C O · 10. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧( 图中的AB ) ，点O是这段弧的圆心，C是AB 上一点， OCAB，垂足为D，AB300m ，CD50m，求这段弯路的半径多少？. 解：OCAB，AB300m， AD150m. 设半径为R，则 OD=R-50 根据勾股定理可列方程 R 2( R50) 21502， 解 得R250 答：这段弯路的半径为250m 11.(2016.南沙 ) 如图，AB是 O 的一条弦，ABOD，垂足为点C， 交 O 于点 D，点 E 在 O 上 (1)若52AOD，求DEB的度数； (2) 若6,3 OAOC，求DEBtan的值 解： (1)连接 OB. ODAB， . AD = BD AOD BOD52° DEB 1 2BOD 1 2× 52° 26° . (2)ODAB，6,3 OAOC OAC=30° ， OAD=60 ° ，AC=33 DEB 1 2AOD=30 ° 3 3 tantanOCADEB