人教A版数学必修二教案：§2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系.pdf
§2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 一、教材分析 空间中直线与平面之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系，直线与平面的相交 和平行是本节的重点和难点.空间中直线与平面之间的位置关系是根据交点个数来定义的， 要求学生在公理1 的基础上会判断直线与平面之间的位置关系.本节重点是结合图形判断空 间中直线与平面之间的位置关系. 二、教学目标 1知识与技能 （1）了解空间中直线与平面的位置关系； （2）培养学生的空间想象能力. 2过程与方法 （1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握； （2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识. 3情感、态度与价值 让学生感受到掌握空间直线与平面关系的必要性，提高学生的学习兴趣. 三、教学重点与难点 正确判定直线与平面的位置关系. 四、课时安排 1 课时 五、教学设计 （一）导入新课 思路 1.(情境导入 ) 一支笔所在的直线与我们的课桌面所在的平面,可能有几个交点?可能有几种位置关系? 思路 2.(事例导入 ) 观察长方体 （图 1） ，你能发现长方体ABCD A B C D中，线段 AB所在的直线与长方 体 ABCD ABCD的六个面所在平面有几种位置关系？ 图 1 （二）推进新课、新知探究、提出问题 什么叫做直线在平面内？ 什么叫做直线与平面相交? 什么叫做直线与平面平行? 直线在平面外包括哪几种情况? 用三种语言描述直线与平面之间的位置关系. 活动： 教师提示、点拨从直线与平面的交点个数考虑，对回答正确的学生及时表扬. 讨论结果： 如果直线与平面有无数个公共点叫做直线在平面内. 如果直线与平面有且只有一个公共点叫做直线与平面相交. 如果直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行. 直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外. 直线在平面内a 直线与平面相交a=A 直线与平面平行a （三）应用示例 思路 1 例 1 下列命题中正确的个数是( ) 若直线 l 上有无数个点不在平面内，则 l 若直线 l 与平面 平行，则l 与平面 内的任意一条直线都平行 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 若直线 l 与平面 平行，则l 与平面 内的任意一条直线都没有公共点 A.0 B.1 C.2 D.3 分析： 如图 2, 图 2 我们借助长方体模型，棱AA1所在直线有无数点在平面 ABCD 外，但棱 AA 1所在直线 与平面 ABCD 相交，所以命题 不正确； A1B1所在直线平行于平面 ABCD ，A1B1显然不平行于BD，所以命题 不正确； A1B1AB,A1B1所在直线平行于平面 ABCD ，但直线AB平面 ABCD, 所以命题 不正 确； l 与平面 平行 ,则 l 与 无公共点 ,l 与平面 内所有直线都没有公共点,所以命题 正确 . 答案： B 变式训练 请讨论下列问题： 若直线 l 上有两个点到平面的距离相等，讨论直线l 与平面 的位置关系 . 图 3 解： 直线 l 与平面的位置关系有两种情况（如图3） ，直线与平面平行或直线与平面 相交 . 点评： 判断直线与平面的位置关系要善于找出空间模型，结合图形来考虑，注意考虑问 题要全面 . 例 2 已知一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面. 已知直线 abc，直线 l a=A ，l b=B ，l c=C. 求证： l 与 a、b、c 共面 . 证明： 如图 4, ab, 图 4 a、b 确定一个平面，设为. l a=A ，l b=B, A ，B. 又A l，Bl, AB ，即 l. 同理 b、c 确定一个平面 ， l, 平面 与 都过两相交直线b 与 l. 两条相交直线确定一个平面, 与 重合 .故 l 与 a、b、c 共面 . 变式训练 已知 a ,b ,a b=A,Pb,PQa， 求证： PQ. 证明： PQa，PQ、a 确定一个平面，设为. P ，a ，Pa.又 P ，a ， Pa, 由推论 1：过 P、a 有且只有一个平面, 、重合 .PQ. 点评： 证明两个平面重合是证明直线在平面内问题的重要方法. 思路 2 例 1 若两条相交直线中的一条在平面内，讨论另一条直线与平面的位置关系 . 解： 如图 5,另一条直线与平面的位置关系是在平面内或与平面相交. 图 5 用符号语言表示为：若ab=A,b, 则 a或 a=A. 变式训练 若两条异面直线中的一条在平面内，讨论另一条直线与平面的位置关系 . 分析： 如图 6,另一条直线与平面的位置关系是与平面平行或与平面相交. 图 6 用符号语言表示为：若a 与 b 异面 ,a, 则 b或 b=A. 点评： 判断直线与平面的位置关系要善于找出空间模型，结合图形来考虑，注意考虑问 题要全面 . 例 2 若直线 a 不平行于平面, 且 a, 则下列结论成立的是( ) A. 内的所有直线与a 异面B. 内的直线与a都相交 C. 内存在唯一的直线与a平行D. 内不存在与a平行的直线 分析： 如图 7,若直线 a 不平行于平面, 且 a, 则 a与平面 相交 . 图 7 例如直线 AB与平面 ABCD 相交，直线 AB 、 CD 在平面 ABCD 内， 直线 AB 与直线 AB 相交，直线CD 与直线 AB异面，所以A、B 都不正确；平面ABCD 内不存在与a 平行的 直线，所以应选D. 答案： D 变式训练 不在同一条直线上的三点A、B、C 到平面 的距离相等，且A, 给出以下三个命题： ABC 中至少有一条边平行于; ABC 中至多有两边平行于 ； ABC 中只可能 有一条边与相交 . 其中真命题是_. 分析： 如图 8,三点 A、B、C 可能在 的同侧，也可能在两侧， 图 8 其中真命题是 . 答案： 变式训练 若直线 a, 则下列结论中成立的个数是( ) (1) 内的所有直线与a异面(2) 内的直线与a都相交(3) 内存在唯一的直线与a 平 行(4) 内不存在与a 平行的直线 A.0 B.1 C.2 D.3 分析： 直线 a, a 或 a=A. 如图 9,显然 (1)(2)(3)(4) 都有反例 ,所以应选 A. 图 9 答案： A 点评： 判断一个命题是否正确要善于找出空间模型（长方体是常用空间模型），另外考 虑问题要全面即注意发散思维. （四）知能训练 已知 =l,a且 a,b且 b, 又 ab=P. 求证： a 与 相交 ,b 与 相交 . 证明： 如图 10,ab=P, 图 10 Pa,Pb. 又 b, P. a 与 有公共点 P,即 a 与 相交 . 同理可证 ,b 与 相交 . （五）拓展提升 过空间一点，能否作一个平面与两条异面直线都平行？ 解： (1)如图 11, C D与 BD 是异面直线，可以过P 点作一个平面与两异面直线C D、BD 都平行 . 如图 12, 图 11 图 12 图 13 显然，平面PQ 是符合要求的平面. (2)如图 13,当点 P与直线 C D确定的平面和直线BD 平行时， 不存在过P点的平面与两 异面直线 CD、BD 都平行 . 点评： 判断一个命题是否正确要善于找出空间模型（长方体是常用空间模型），另外考 虑问题要全面即注意发散思维. （六）课堂小结 本节主要学习直线与平面的位置关系，直线与平面的位置关系有三种： 直线在平面内 有无数个公共点, 直线与平面相交 有且只有一个公共点, 直线与平面平行 没有公共点 . 另外，空间想象能力的培养是本节的重点和难点. （七）作业 课本习题 2.1 A 组 7、8.
