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人教版七年级上2.2 整式和整式的加减专题复习 1 / 8 整式及整式的加减要点梳理及经典例题 一、整式的有关概念 1单项式 （1）概念：注意：单项式中数与字母或字母与字母之间是乘积关系，例如：可以看 成，所以是单项式；而表示 2 与的商，所以不是单项式，凡是分母中含有字 母的就一定不是单项式. （2） 系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数. 例如：的系数是； 的系数是 注意：单项式的系数包括其前面的符号；当一个单项式的系数是1 或时，“ 1” 通常省略不写，但符号不能省略. 如：等；是数字，不是字母. （3）次数：一个单项式中，所有字母指数的和叫做这个单项式的次数. 注意：计算单项式的次数时，不要漏掉字母的指数为1 的情况 . 如的次数为 ， 而不是 5； 切勿加上系数上的指数，如的次数是3， 而不是 8； 的次数是5，而不是6. 2多项式 （1）概念：几个单项式的和叫做多项式. 其含义是：必须由单项式组成；体现和 的运算法则 . （2）项：在多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫常数项； 一个 多项式含有几个单项式就叫几项式.例如：共含 有有三项，分别是 ，所以是一个三项式. 注意：多项式的项包括它前面的符号，如上例中常数项是，而不是1. （3）次数：多项式中，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数. 注意：要防止把多项式的次数与单项式的次数相混淆，而误认为多项式的次数是各项次 数之和 . 例如：多项式中，的次数是4，的次数是5， 的次数是3，故此多项式的次数是5，而不是. 2 x 1 2 x 2 x2 x x 2 x 2 1 2 x y 1 2 2 r2 . 1 23 ,xy a b c 32 2xy z 1326 52 2 xy 32 2 x y 2 231xy 2 2,3 , 1xy 2 231xy 1 2242 235x yx yxy 22 2x y 4 3x y 2 5xy 45312 人教版七年级上2.2 整式和整式的加减专题复习 2 / 8 3整式：单项式和多项式统称做整式. 4降幂排列与升幂排列 （1）降幂排列： 把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来叫做把这个 多项式按这个字母的降幂排列. （2）把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来叫做把这个多项式按 这个字母的升幂排列. 注意：降（升）幂排列的根据是： 加法的交换律和结合律；把一个多项式按降（升） 幂重新排列，移动多项式的项时，需连同项的符号一起移动；在进行多项式的排列时，要 先确定按哪个字母的指数来排列. 例如：多项式按的升幂排 列为：； 按的降幂排列为：. 二、整式的加减 1同类项：所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项. 注意：同类项与其系数及字母的排列顺序无关. 例如：与是同类项；而 与却不是同类项，因为相同的字母的指数不同. 2合并同类项 （1）概念：把多项式中相同的项合并成一项叫做合并同类项. 注意：合并同类项时，只能把同类项合并成一项，不是同类项的不能合并，如 显然不正确；不能合并的项，在每步运算中不要漏掉. （2）法则：合并同类项就是把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母 的指数保持不变. 注意： 合并同类项，只是系数上的变化，字母与字母的指数不变，不能将字母的指数 相加； 合并同类项的依据是加法交换律、结合律及乘法分配律；两个同类项合并后的结 果与原来的两个单项式仍是同类项或者是0. 3去括号与填括号 （1）去括号法则：括号前面是“”，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项 都不变号；括号前面是“”，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号. 注意： 去括号的依据是乘法分配律，当括号前面有数字因数时，应先利用分配律计算， 切勿漏乘；明确法则中的“都”字，变符号时，各项都变；若不变符号，各项都不变. 例 如：；当出现多层括号时，一般由里向外逐 244233 32xyxyx yx yx 422334 32yxyx yx yxy 423234 32yx yxyx yx 23 2a b 32 3b a 23 2a b 32 5a b 235abab ;abcabc abcabc 人教版七年级上2.2 整式和整式的加减专题复习 3 / 8 层去括号，如遇特殊情况，为了简便运算也可由外向内逐层去括号. （2）填括号法则：所添括号前面是“”号，添到括号内的各项都不变号；所添括号 前面是“”号，添到括号内的各项都改变符号. 注意：添括号是添上括号和括号前面的“”或“”，它不是原来多项式的某一项 的符号“移”出来的；添括号和去括号的过程正好相反，添括号是否正确，可用去括号来 检验 . 例如： 4整式的加减 整式的加减实质上是去括号和合并同类项，其一般步骤是： （1）如果有括号，那么先去括号；（2）如果有同类项，再合并同类项. 注意：整式运算的结果仍是整式. 经典例题透析 类型一：用字母表示数量关系 1填空题： (1)香蕉每千克售价3 元， m 千克售价 _元。 (2)温度由 5上升 t后是 _。 (3)每台电脑售价x 元，降价10后每台售价为_元。 (4)某人完成一项工程需要a天，此人的工作效率为_。 思路点拨 ：用字母表示数量关系，关键是理解题意，抓住关键词句，再用适当的式子表 达出来。 举一反三： 变式 某校学生给“希望小学”邮寄每册元的图书240 册，若每册图书的邮费为书 ;.abcabcabcabc 人教版七年级上2.2 整式和整式的加减专题复习 4 / 8 价的 5，则共需邮费_元。 类型二：整式的概念 2指出下列各式中哪些是整式，哪些不是。 (1)x1；(2)a2；(3)；(4)SR 2； (5) ；(6) 总结升华 ： 判断是不是整式， 关键是了解整式的概念，注意整式与等式、 不等式的区别， 等式含有等号，不等式含有不等号，而整式不能含有这些符号。 举一反三： 变式 把下列式子按单项式、多项式、整式进行归类。 x2y， a b，xy 25， ， 29， 2ax9b5， 600xz，axy，xyz 1，。 分析 ：本题的实质就是识别单项式、多项式和整式。 单项式 中数和字母 、字母和字母之 间必须是相乘 的关系，多项式必须是几个单项式的和的形式。 答案： 单项式有： x2y， ， 29,600xz，axy 多项式有：ab，xy 25,2ax9b5，xyz1 整式有： x2y， ab，xy 2 5， ， 29，2ax9b5,600xz，axy，xyz 1。 类型三：同类项 3若与是同类项，那么a,b 的值分别是（） （A）a=2, b=1。（ B）a=2, b=1。 （C） a=2, b= 1。（ D）a=2, b=1。 思路点拨 :解决此类问题的关键是明确同类项定义，即字母相同且相同字母的指数相同， 要注意同类项与系数的大小没有关系。 解析 ：由同类项的定义可得：a1= b,且 2a+b=3， 解得a=2, b= 1， 故选 A。 人教版七年级上2.2 整式和整式的加减专题复习 5 / 8 举一反三： 变式 在下面的语句中，正确的有() a2b3与a 3 b 2 是同类项；x2yz 与 zx2y 是同类项； 1 与 是同类项； 字母相同的项是同类项。 A、1 个B、2 个C、 3 个D、4 个 解析 ：中a 2b3 与a3b2所含的字母都是a，b，但 a 的次数分别是2,3，b 的次数 分别是 3,2，所以它们不是同类项；中所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，所以 x 2yz 与 zx2y 是同类项；不含字母的项 (常数项 )都是同类项，正确，根据可知 不正确。故选B。 类型四：整式的加减 4化简 mn（ m+n）的结果是（） （A）0。（B）2m。 （C） 2n。（D）2m2n。 思路点拨： 按去括号的法则进行计算，括号前面是“”号，把括号和它前面的“” 号去掉，括号里各项都改变符号。 解析：原式 =m nmn=2n，故选（ C）。 举一反三： 变式 计算： 2xy+3xy=_。 分析： 按合并同类项的法则进行计算，把系数相加所得的结果作为系数，字母和字母的 指数不变。注意不要出现5x2y2的错误。 答案： 5xy。 5 （化简代入求值法）已知 x， y,求代数式 (5x 2y2xy23xy)(2xy 5x 2y2xy2 ) 思路点拨： 此题直接把x、y 的值代入比较麻烦，应先化简再代入求值。 解析 ：原式 5x 2y2xy23xy2xy5x2y2xy2 5xy 当 x，y时，原式5×。 总结升华： 求代数式的值的第一步是“代入”，即用数值替代整式里的字母；第二步是 “求值” ， 即按照整式中指明的运算，计算出结果。 应注意的问题是： 当整式中有同类项时， 应先合并同类项化简原式，再代入求值。 举一反三： 人教版七年级上2.2 整式和整式的加减专题复习 6 / 8 变式 1 当 x0，x，x-2 时，分别求代数式的2x 2x1 的值。 解：当 x0 时， 2x 2x 12×0201 1； 当 x时， 2x 2x12× ； 当 x-2 时， 2x 2x12×（ -2）2（ -2） 12×4+2111。 总结升华： 一个整式的值，是由整式中的字母所取的值确定的，字母取值不同， 一般整 式的值也不同； 当整式中没有同类项时，直接代入计算， 原式中的系数、指数及运算符号都 不改变。但应注意，当字母的取值是分数或负数时，代入时，应将分数或负数添上括号。 变式 2 先化简，再求值。 3(2x 2y3xy2)(xy2 3x2y)，其中 x ，y 1。 解：3(2x 2y 3xy2)(xy23x2y)(6x2y 9xy2)xy23x2y 6x 2y9xy2 xy23x2y 9x2y10xy2。 当x， y 1 时，原式9×× ( 1) 10×× ( 1)2 。 总结升华 ：解题的基本规律是先把原式化简为9x 2y10xy2，再代入求值，化简降低了 运算难度，使计算更加简便，体现了化繁为简，化难为易的转化思想。 变式 3 求下列各式的值。 (1)(2x 2x1) ，其中 x (2)2mn (3m)3(2nmn)，其中 mn2，mn 3。 解析 ：(1) (2x 2x1) 2x 2x1 x2x 3x234x 24 当 x时，原式 4×4945。 (2) 2mn (3m)3(2nmn) 2mn6m6n 3mn 5mn6(mn) 人教版七年级上2.2 整式和整式的加减专题复习 7 / 8 当 mn2，mn 3 时 原式 5× (3)6×2 27。 类型五：整体思想的应用 6已知 x2x 3的值为 7，求 2x 22x3 的值。 思路点拨 ：该题解答的技巧在于先求x 2x 的值，再整体代入求解，体现了数学中的整 体思想。 解析： 由题意得x2x37，所以 x2x4，所以 2(x 2 x)8，即 2x22x8，所以 2x 22x3835。 总结升华 ：整体思想就是在考虑问题时，不着眼于它的局部特征，而是将具有共同特征 的某一项或某一类看成一个整体的数学思想方法。运用这种方法应从宏观上进行分析，抓住 问题的整体结构和本质特征，全面关注条件和结论，加以研究、解决，使问题简单化。在中 考中该思想方法比较常见，尤其在化简题中经常用到。 举一反三： 变式 1 已知 x2x 10，求代数式x32x 2 7的值。 分析： 此题由已知条件无法求出x 的值，故考虑整体代入。 解析： x 2x10， x21x， x 32x27x(1x)2(1x)7xx22 2x7 -x 2-x-5（ -x2-x+1）-6 =6。 变式 2 当 x1 时，代数式px 3qx1 的值为 2003，则当 x 1 时，代数式px 3 qx 1 的值为 ( ) A、 2001B、 2002C、 2003D、2001 分析 ：这是一道求值的选择题，显然p，q 的值都不知道，仔细观察题目，不难发现所 求的值与已知值之间的关系。 解析： 当 x1 时， px 3qx1pq12003，而当 x 1 时， px3qx1 p q1，可以把 pq 看做一个整体，由pq1 2003 得 pq2002，于是 pq (p q) 2002，所以原式20021 2001。故选 A。 变式 3 已知 A3x 32x 1，B3x22x1，C2x21，则下列代数式中化简结果 为 3x 37x22 的是 ( ) A、AB2CB、AB2CC、AB2CD、AB2C 分析 ：将 A， B，C 的式子分别代入A，B，C，D 四个选项中检验，如：AB2C 3x 32x1(3x22x1)2(2x21)3x32x13x22x1 4x223x3 7x22。 故 选 C。 答案 ：C 变式 4 化简求值。 (1)3(abc)8(abc)7(abc)4(a bc)，其中 b2 (2)已知 ab2，求 2(ab)ab9 的值。 分析 ：(1)常规解法是先去括号，然后再合并同类项，但此题可将ab c，abc 分 别视为一个“整体”，这样化简较为简便；(2)若想先求出a，b 的值，再代入求值，显然行 不通，应视ab 为一个“整体”。 人教版七年级上2.2 整式和整式的加减专题复习 8 / 8 解析 ：(1)原式 3(abc)7(ab c) 8(abc)4(a bc) 4(abc)4(abc) 4a 4b4c4a4b 4c 8b。 因为 b2，所以原式8×2 16。 (2)原式 2(ab) (a b)9 (ab)9 因为 ab2，所以原式 2911。 类型六：综合应用 7已知多项式3(ax 2 2x1)(9x26x7)的值与 x 无关，试求 5a 22(a23a 4)的值。 思路点拨 ： 要使某个单项式在整个式子中不起作用，一般是使此单项式的系数为0 即可 . 解析： 3(ax2 2x1)(9x 26x7)3ax2 6x39x26x7(3a9)x24。 因为原式的值与x 无关，故3a90，所以 a3。 又因为 5a22(a23a4)5a22a26a83a26a8， 所以当 a3 时，原式 3×3 26× 3837。 总结升华 ：解答此类题目一定要弄清题意，明确题目的条件和所求，当题目中的条件或 所求发生了变化时，解题的方法也会有相应的变化。 举一反三： 变式 1当 a(x0)为何值时，多项式3(ax2 2x1)(9x 26x7)的值恒等为 4。 解析： 3(ax2 2x1)(9x 26x7)3ax2 6x39x26x7(3a9)x24。 因为 (3a9)x 244， 所以 (3a9)x20。 又因为 x0， 故有 3a9 0。 即 a3， 所以当 a3 时，多项式3(ax22x1)(9x 26x 7)的值恒等于 4。 变式 2当 a3 时，多项式3(ax 22x1)(9x26x7)的值为多少？ 解析： 3(ax2 2x1)(9x 26x7)3ax2 6x39x26x7 (3a9)x 24，当 a 3 时，原式 (3×39)x244。 8已知关于x 的多项式 (a 1)x 5x|b2|2xb 是二次三项式，则 a _，b _。 分析 ：由题意可知a10，即 a1，|b2|2，即 b 4 或 0，但当 b0 时，不符 合题意，所以b 4。 答案 ：1， 4 举一反三： 变式 若关于的多项式：，化简后是 四次三项式，求m，n 的值 答案： m=5，n=-1