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最新版小学六年级奥数经典教程讲义 目录 第一讲比较分数的大小 . - 3 - 第二讲巧求分数 . - 6 - 第三讲分数运算的技巧 - 11 - 第四讲循环小数与分数 - 16 - 第五讲工程问题（一） - 21 - 第六讲工程问题（二） - 25 - 第七讲巧用单位“ 1” . - 31 - 第八讲比和比例 . . - 35 - 第九讲百分数 . . - 40 - 第十讲商业中的数学 - 46 - 第 11 讲圆与扇形 . . - 52 - 第 12 讲圆柱与圆锥 - 58 - 第 13 讲立体图形（一） - 63 - 第 14 讲立体图形（二） - 69 - 第 15 讲棋盘的覆盖 - 75 - 第 16 讲找规律 . . - 81 - 第 17 讲操作问题 . . - 87 - 第 18 讲取整计算 . . - 93 - 第 19 讲近似值与估算 - 98 - 第 20 讲数值代入法 . - 104 - 第 21 讲枚举法 . - 109 - 第 22 讲列表法 . - 117 - 第 23 讲图解法 . - 124 - 第 24 讲时钟问题 . - 131 - 第 25 讲时间问题 . - 137 - 第 26 讲牛吃草问题 . - 142 - 第 27 讲运筹学初步（一） . - 150 - 第 28 讲运筹学初步（二） . - 157 - 第 29 讲运筹学初步（三） . - 167 - 第 30 讲趣题巧解 . - 174 - 第一讲比较分数的大小 同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。比较整数、小 数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也 就产生了多种多样的方法。 对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同 三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是： 分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大； 分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。 第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的 方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。 由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。 下面我们介绍另外几种方法。 1. “通分子”。 当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较 小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的 方法简便。 如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以 称为“通分子”。 2. 化为小数。 这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。但在比较大小 时是否简便，就要看具体情况了。 3. 先约分，后比较。 有时已知分数不是最简分数，可以先约分。 4. 根据倒数比较大小。 5. 若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较 大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。 也就是说， 6. 借助第三个数进行比较。有以下几种情况： （1）对于分数 m和 n，若 m k，kn，则 m n。 （2）对于分数 m和 n，若 m-kn-k ，则 m n。 前一个差比较小，所以m n。 （3）对于分数 m和 n，若 k-mk-n ，则 m n。 注意，（ 2）与（3）的差别在于，（ 2）中借助的数 k 小于原来的两个分 数 m和 n；（3）中借助的数 k 大于原来的两个分数m和 n。 （4）把两个已知分数的分母、分子分别相加，得到一个新分数。新 分数一定介于两个已知分数之间，即比其中一个分数大，比另一个分数 小。 利用这一点，当两个已知分数不容易比较大小，新分数与其中一个 已知分数容易比较大小时，就可以借助于这个新分数。 比较分数大小的方法还有很多，同学们可以在学习中不断发现总结， 但无论哪种方法，均来源于：“分母相同，分子大的分数大；分子相同， 分母小的分数大”这一基本方法。 练习 1 1.比较下列各组分数的大小： 第二讲巧求分数 我们经常会遇到一些分数的分子、分母发生变化的题目，例如分子 或分母加、减某数，或分子与分母同时加、减某数，或分子、分母分别 加、减不同的数，得到一个新分数，求加、减的数，或求原来的分数。 这类题目变化很多，因此解法也不尽相同。 数。 个分数。 ，这个分数是多少？ 在例 1例 4 中，两次改变的都是分子，或都是分母，如果分子、分母同 时变化，那么会怎样呢？ 数 a。 求这个自然数。 例 7 一个分数的分子与分母之和是23，分母增加 19 后得到一个新分数， 练习 2 是多少？ 第三讲分数运算的技巧 对于分数的混合运算，除了掌握常规的四则运算法则外，还应该掌 握一些特殊的运算技巧，才能提高运算速度，解答较难的问题。 1. 凑整法 与整数运算中的“凑整法”相同，在分数运算中，充分利用四则运 算法则和运算律（如交换律、结合律、分配律），使部分的和、差、积、 商成为整数、整十数从而使运算得到简化。 2. 约分法 3. 裂项法 若能将每个分数都分解成两个分数之差，并且使中间的分数相互抵 消，则能大大简化运算。 例 7 在自然数 1100 中找出 10 个不同的数，使这 10 个数的倒数的 和等于 1。 4. 代数法 5. 分组法 练习 3 8.在自然数 160中找出 8个不同的数，使这 8 个数的倒数之和等于1。 答案与提示练习 3 1.3。 8.2，6， 8 ， 12 ， 20 ， 30， 42 ， 56。 9.5680。 解：从前向后，分子与分母之和等于2 的有 1 个，等于 3 的有 2 个， 等于 4 的有 3 个人一般地，分子与分母之和等于n 的有(n-1) 个。分 子与分母之和小于9+99=108的有 1+2+3+ +106=5671 （个） 5671+9=5680 （个）。 第四讲循环小数与分数 任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小 数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。那么，什么样的 分数能化成有限小数？什么样的分数能化成纯循环小数、混循环小数 呢？我们先看下面的分数。 （1）中的分数都化成了有限小数，其分数的分母只有质因数2 和 5， 化 因为 40=2 3×5，含有 3 个 2，1 个 5，所以化成的小数有三位。 （2）中的分数都化成了纯循环小数，其分数的分母没有质因数2 和 5。 （3）中的分数都化成了混循环小数，其分数的分母中既含有质因数2 或 5，又含有 2 和 5 以外的质因数，化成的混循环小数中的不循环部分的位 数与 5，所以化成混循环小数中的不循环部分有两位。 于是我们得到结论： 一个最简分数化为小数有三种情况： （1）如果分母只含有质因数2 和 5，那么这个分数一定能化成有限 小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数2 与 5 中个数较多的那个 数的个数； （2）如果分母中只含有2 与 5 以外的质因数，那么这个分数一定能 化成纯循环小数； （3）如果分母中既含有质因数2 或 5，又含有 2 与 5 以外的质因数， 那么这个分数一定能化成混循环小数，并且不循环部分的位数等于分母 中质因数 2 与 5 中个数较多的那个数的个数。 例 1 判断下列分数中，哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环 小数？能化成有限小数的，小数部分有几位？能化成混循环小数的，不 循环部分有几位？ 分析与解： 上述分数都是最简分数，并且 32=2 5，21=3×7，250=2×53，78=2×3×13， 117=3 3×13，850=2×52×17， 根据上面的结论，得到： 不循环部分有两位。 将分数化为小数是非常简单的。反过来，将小数化为分数，同学们可能 比较熟悉将有限小数化成分数的方法，而对将循环小数化成分数的方法 就不一定清楚了。我们分纯循环小数和混循环小数两种情况，讲解将循 环小数化成分数的方法。 1. 将纯循环小数化成分数。 将上两式相减，得将上两式相减， 得从例 2、 例 3 可以总结出将纯循环 小数化成分数的方法。 纯循环小数化成分数的方法： 分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数都是9，9 的个数与循环节的位数相同。 2. 将混循环小数化成分数。 将上两式相减，得 将上两式相减，得 从例 4、例 5 可以总结出将混循环小数化成分数的方法。 混循环小数化成分数的方法： 分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所 组成的数，减去不循环数字所组成的数所得的差； 分母的头几位数字是9， 末几位数字都是0，其中 9 的个数与循环节的位数相同，0 的个数与不循 环部分的位数相同。 掌握了将循环小数化成分数的方法后，就可以正确地进行循环小数 的运算了。 例 6 计算下列各式： 练习 4 1. 下列各式中哪些不正确？为什么？ 2. 划去小数 0.27483619 后面的若干位，再添上表示循环节的两个圆 点，得到一个循环小数，例如0.274836。请找出这样的小数中最大的与 最小的。 3. 将下列纯循环小数化成最简分数： 4. 将下列混循环小数化成最简分数： 5.计算下列各式： 答案与提示练习 4 1. （1）（3）（4）不正确。 第五讲工程问题（一） 顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。其实，这 类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多 内容。 在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是： 工作量 =工作效率×工作时间， 工作时间 =工作量÷工作效率， 工作效率 =工作量÷工作时间。 工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数1 表示， 也可 工作效率指的是干工作的快慢， 其 意义是单位时间里所干的工作量。单位时间的选取，根据题目需要，可 以是天，也可以是时、分、秒等。 工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量/天”，或“工作量 / 时”等。但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。 例 1 单独干某项工程， 甲队需 100天完成，乙队需 150 天完成。甲、 乙两队合干 50 天后，剩下的工程乙队干还需多少天？ 分析与解： 以全部工程量为单位1。甲队单独干需 100天，甲的工作效 例 2 某项工程，甲单独做需36 天完成，乙单独做需45 天完成。如果开 工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了18 天才完成任务。问：甲队干了多少天？ 分析： 将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干18 天，后面的工作甲、 乙两队合干需多少天？”这样一来，问题就简单多了。 答：甲队干了 12天。 例 3 单独完成某工程，甲队需10天，乙队需 15 天，丙队需 20 天。开始 三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6 天完成这 一工程。问：甲队实际工作了几天？ 分析与解： 乙、丙两队自始至终工作了6 天，去掉乙、丙两队6 天的工 作量，剩下的是甲队干的，所以甲队实际工作了 例 4 一批零件，张师傅独做20 时完成，王师傅独做30 时完成。如 果两人同时做，那么完成任务时张师傅比王师傅多做60 个零件。这批零 件共有多少个？ 分析与解： 这道题可以分三步。首先求出两人合作完成需要的时间， 例 5 一水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管5 时可将空池灌 满，单开排水管 7 时可将满池水排完。如果一开始是空池，打开放水管1 时后又打开排水管，那么再过多长时间池内将积有半池水 例 6 甲、乙二人同时从两地出发， 相向而行。走完全程甲需 60 分钟， 乙需 40 分钟。出发后 5 分钟，甲因忘带东西而返回出发点，取东西又耽 误了 5 分钟。甲再出发后多长时间两人相遇？ 分析： 这道题看起来像行程问题，但是既没有路程又没有速度，所 以不能用时间、路程、速度三者的关系来解答。甲出发5 分钟后返回， 路上耽误 10 分钟，再加上取东西的5 分钟，等于比乙晚出发15 分钟。 我们将题目改述一下：完成一件工作，甲需60 分钟，乙需 40 分钟，乙 先干 15 分钟后，甲、乙合干还需多少时间？由此看出，这道题应该用工 程问题的解法来解答。 答：甲再出发后 15 分钟两人相遇。 练习 5 1. 某工程甲单独干 10 天完成，乙单独干15 天完成，他们合干多少 天才可完成工程的一半？ 2. 某工程甲队单独做需48 天，乙队单独做需36 天。甲队先干了 6 天后转交给乙队干，后来甲队重新回来与乙队一起干了10 天，将工程做 完。求乙队在中间单独工作的天数。 3. 一条水渠，甲、乙两队合挖需30 天完工。现在合挖12 天后，剩 下的乙队单独又挖了24 天挖完。这条水渠由甲队单独挖需多少天？ 则完成任务时乙比甲多植50 棵。 这批树共有多少棵？ 5.修一段公路，甲队独做要用40 天，乙队独做要用24 天。现在两队 同时从两端开工，结果在距中点750米处相遇。这段公路长多少米？ 6. 蓄水池有甲、乙两个进水管，单开甲管需18 时注满，单开乙管需24 时注满。如果要求 12 时注满水池，那么甲、乙两管至少要合开多长时间？ 7. 两列火车从甲、乙两地相向而行，慢车从甲地到乙地需8 时，比快车 从40 千米。求甲、乙两地的距离。 答案与提示 练习 5 2.14 天。 3.120 天。 4.350 棵。 5.6000 米。 6.8 时。 提示：甲管 12 时都开着，乙管开 7.280 千米。 第六讲工程问题（二） 上一讲我们讲述的是已知工作效率的较简单的工程问题。在较复杂的 工程问题中，工作效率往往隐藏在题目条件里，这时，只要我们灵活运 用基本的分析方法，问题也不难解决。 例 1 一项工程， 如果甲先做 5 天，那么乙接着做 20天可完成； 如果 甲先做 20 天，那么乙接着做8 天可完成。如果甲、乙合做，那么多少天 可以完成？ 分析与解： 本题没有直接给出工作效率，为了求出甲、乙的工作效率， 我们先画出示意图： 从上图可直观地看出：甲15 天的工作量和乙12 天的工作量相等， 即甲 5 天的工作量等于乙4 天的工作量。于是可用“乙工作4 天”等量 替换题中“甲工作5 天”这一条件，通过此替换可知乙单独做这一工程 需用 20+4=24（天） 甲、乙合做这一工程，需用的时间为 例 2 一项工程，甲、乙两队合作需6 天完成，现在乙队先做7 天， 然后 么还要几天才能完成？ 分析与解： 题中没有告诉甲、乙两队单独的工作效率，只知道他们 合作 们把“乙先做 7 天，甲再做 4 天”的过程转化为“甲、乙合做4 天，乙 再单独 例 3 单独完成一件工作，甲按规定时间可提前2 天完成，乙则要超 过规定时间 3 天才能完成。如果甲、乙二人合做2 天后，剩下的继续由 乙单独做，那么刚好在规定时间完成。问：甲、乙二人合做需多少天完 成？ 分析与解： 乙单独做要超过3 天，甲、乙合做2 天后乙继续做，刚 好按时完成，说明甲做2 天等于乙做 3 天，即完成这件工作，乙需要的 时间是甲的 ，乙需要 10+5=15（天）。甲、乙合作需要 例 4 放满一个水池的水，若同时打开1，2，3 号阀门，则 20分钟可 以完成；若同时打开2，3，4 号阀门，则 21 分钟可以完成；若同时打开 1，3，4 号阀门，则 28 分钟可以完成；若同时打开1，2，4 号阀门，则 30 分钟可以完成。问：如果同时打开1，2，3，4 号阀门，那么多少分钟 可以完成？ 分析与解： 同时打开 1，2，3 号阀门 1 分钟，再同时打开2，3，4 号阀门 1 分钟，再同时打开1，3，4 号阀门 1 分钟，再同时打开1，2，4 号阀门 1 分钟，这时， 1，2，3，4 号阀门各打开了 3 分钟，放水量等于 一 例 5 某工程由一、二、三小队合干，需要8 天完成；由二、三、四 小队合干，需要 10 天完成；由一、四小队合干，需15 天完成。如果按 一、二、三、四、一、二、三、四、的顺序，每个小队干一天地轮 流干，那么工程由哪个队最后完成？ 分析与解： 与例 4 类似，可求出一、二、三、四小队的工作效率之 和是 例 6 甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人 一天轮流去做，恰好整天做完，并且结束工作的是乙。若按乙、丙、甲 的顺序轮流 件工作，要用多少天才能完成？ 分析与解： 把甲、乙、丙三人每人做一天称为一轮。在一轮中，无 论谁先谁后，完成的总工作量都相同。所以三种顺序前面若干轮完成的 工作量及用的天数都相同 （见下图虚线左边） ，相差的就是最后一轮 （见 下图虚线右边）。 由最后一轮完成的工作量相同，得到 练习 6 1. 甲、乙二人同时开始加工一批零件，每人加工零件总数的一半。甲完 成 有多少个？ 需的时间相等。问：甲、乙单独做各需多少天？ 3. 加工一批零件，王师傅先做6 时李师傅再做 12 时可完成，王师傅 先做 8 时李师傅再做 9 时也可完成。现在王师傅先做2 时，剩下的两人 合做，还需要多少小时？ 独修各需几天？ 5. 蓄水池有甲、乙、丙三个进水管，甲、乙、丙管单独灌满一池水 依次需要 10，12，15 时。上午 8 点三个管同时打开， 中间甲管因故关闭， 结果到下午 2 点水池被灌满。问：甲管在何时被关闭？ 6. 单独完成某项工作，甲需9 时，乙需 12 时。如果按照甲、 乙、甲、 乙、的顺序轮流工作， 每次 1 时，那么完成这项工作需要多长时间？ 7. 一项工程，乙单独干要 17 天完成。如果第一天甲干， 第二天乙干， 这样交替轮流干，那么恰好用整天数完成；如果第一天乙干，第二天甲 干，这样交替轮流干，那么比上次轮流的做法多用半天完工。问：甲单 独干需要几天？ 答案与提示 练习 6 1.360 个。 2. 甲 18 天，乙 12 天。 3.7.2 时。 解： 由下页图知，王干 2 时等于李干 3 时， 所以单独干李需 12+6÷2×3=21 （时），王需 21÷3×2=14（时）。所求为 5. 上午 9 时。 6.10 时 15 分。 7.8.5 天。 解：如果两人轮流做完的天数是偶数，那么不论甲先还是乙先，两种 轮流做的方式完成的天数必定相同（见左下图）。 甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲 现在乙先比甲先要多用半天，所以甲先时，完成的天数一定是奇数， 于是得到右上图，其中虚线左边的工作量相同，右边的工作量也相同， 说明乙做 1 天等于甲做半天，所以乙做17 天等于甲做 8.5 天。 第七讲巧用单位“ 1” 在工程问题中，我们往往设工作总量为单位“1”。在许多分数应用题中， 都会遇到单位“ 1”的问题，根据题目条件正确使用单位“1”，能使解 答的思路更清晰，方法更简捷。 分析：因为第一天、第二天都是与全书比较，所以应以全书的页数 为单位 答：这本故事书共有240页。 分析与解： 本题条件中单位“ 1”的量在变化，依次是“全书的页 数”、“第一天看后余下的页数”、“第二天看后余下的页数”，出现 了 3 个不同的单位“ 1”。按照常规思路，需要统一单位“1”，转化分 率。 但在本题中，不统一单位“ 1”反而更方便。我们先把全书看成“ 1”， 看成“1”，就可以求出第三天看后余下的部分占全书的 共有多少本图书？ 分析与解： 故事书增加了，图书的总数随之增加。题中出现两个分 率， 这给计算带来很多不便，需要统一单位“1”。统一单位“ 1”的一个窍 门就是抓“不变量”为单位“1”。 本题中故事书、图书总数都发生了变化，而其它书的本数没有变， 可以以 图书室原来共有图书 分析与解： 与例 3 类似，甲、乙组人数都发生了变化，不变量是甲、 乙组的总人数，所以以甲、乙组的总人数为单位“1”。 例 5 公路上同向行驶着三辆汽车，客车在前，货车在中，小轿车在 后。在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离相等；走了10 分钟，小轿 车追上了货车；又过了5 分钟，小轿车追上了客车，再过多少分钟，货 车追上客车？ 分析与解： 根据“在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离相等”， 设这段距离为单位“ 1”。由“走了 10 分钟，小轿车追上了货车”，可 知小轿 可知小轿车 (10+5) 分钟比客车多行了两个这样的距离，每分钟多行这段 距离的 两班各有多少人？ 乙班有 84-48=36（人）。 练习 7 树上原有多少个桃？ 剩下的部分收完后刚好又装满6 筐。共收西红柿多少千克？ 7. 六年级两个班共有学生94 人，其中女生有39 人，已知一班的女 生占本 答案与提示练习 7 1.35 个。 2.60 个。 3.64 吨。 4.384 千克。 6. 男生 15 人，女生 21 人。 7. 一班 45 人，二班 49 人。 第八讲比和比例 比的概念是借助于除法的概念建立的。 两个数相除叫做两个数的比。例如，5÷6可记作 56。 比值。 表示两个比相等的式子叫做比例（式）。如，37=921。判断两个 比是否成比例，就要看它们的比值是否相等。两个比的比值相等，这两 个比能组成比例，否则不能组成比例。 在任意一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积。即：如果a b=cd，那么 a×d=b×c。 两个数的比叫做单比，两个以上的数的比叫做连比。例如abc。 连比中的“”不能用“÷”代替，不能把连比看成连除。把两个比化 为连比，关键是使第一个比的后项等于第二个比的前项，方法是把这两 项化成它们的最小公倍数。例如， 甲乙=56，乙丙 =43， 因为6 ，4=12，所以 5 6=10 12 ， 4 3=129， 得到甲乙丙 =10129。 例 1 已知 3(x-1)=7 9，求 x。 解： 7×(x -1)=3×9， x- 1=3×9÷7， 例 2 六年级一班的男、女生比例为32，又来了 4 名女生后，全班 共有 44 人。求现在的男、女生人数之比。 分析与解：原来共有学生 44-4=40 （人），由男、女生人数之比为3 2 知，如果将人数分为5 份，那么男生占3 份，女生占 2 份。由此求出 女生增加 4 人变为 16+4=20 （人），男生人数不变，现在男、女生人 数之比为 2420=65。 在例 2 中，我们用到了按比例分配的方法。 将一个总量按照一定的比分成若干个分量叫做按比例分配。按比例 分配的方法是将按已知比分配变为按份数分配，把比的各项相加得到总 份数，各项与总份数之比就是各个分量在总量中所占的分率，由此可求 得各个分量。 例 3 配制一种农药， 其中生石灰、硫磺粉和水的重量比是1212， 现在要配制这种农药2700 千克，求各种原料分别需要多少千克。 分析： 总量是 2700千克，各分量的比是1212，总份数是 1+2+12=15 ， 答：生石灰、硫磺粉、水分别需要180，360和 2160 千克。 在按比例分配的问题中，也可以先求出每份的量，再求出各个分量。 如例 3 中，总份数是 1+2+12=15 ，每份的量是 2700÷15=180（千克）， 然后用每份的量分别乘以各分量的份数，即用180千克分别乘以 1，2， 12，就可以求出各个分量。 例 4 师徒二人共加工零件400个，师傅加工一个零件用9 分钟，徒 弟加工一个零件用15分钟。 完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？ 分析与解： 解法很多，这里只用按比例分配做。师傅与徒弟的工作 效率 有多少学生？ 按比例分配得到 例 6 某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：大客车 30 元，小 客车 15 元，小轿车 10 元。某日通过该收费站的大客车和小客车数量之 比是 56，小客车与小轿车之比是411，收取小轿车的通行费比大客 车多 210 元。求这天这三种车辆通过的数量。 分析与解： 大客车、小轿车通过的数量都是与小客车相比，如果能 将 56 中的 6 与 411 中的 4 统一成4 ，6=12，就可以得到大客车 小客车小轿车的连比。 由 56=1012 和 411=1233，得到 大客车小客车小轿车=101233。 以 10 辆大客车、 12辆小客车、 33 辆小轿车为一组。因为每组中收 取小轿车的通行费比大客车多10×33-30×10=30（元），所以这天通过 的车辆共有 210÷30=7（组）。这天通过 大客车=10×7=70（辆）， 小客车=12×7=84（辆）， 小轿车=33×7=231（辆）。 练习 8 1. 一块长方形的地，长和宽的比是53，周长是 96米，求这块地的 面积。 2. 一个长方体，长与宽的比是 43， 宽与高的比是 54， 体积是 450 分米 3。问：长方体的长、宽、高各多少厘米？ 3. 一把小刀售价 6 元。如果小明买了这把小刀，那么小明与小强的钱数 之比是 35； 如果小强买了这把小刀， 那么小明与小强的钱数之比是9 11。问：两人原来共有多少钱？ 5. 甲、乙、丙三人分138只贝壳，甲每取走5 只乙就取走 4 只，乙 每取走 5 只丙就取走 6 只。问：最后三人各分到多少只贝壳？ 6. 一条路全长 60 千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程的长 度之比是 123，某人走各段路程所用的时间之比是345。已知他 走平路的速度是 5 千米/ 时，他走完全程用多少时间？ 7. 某俱乐部男、女会员的人数之比是32，分为甲、乙、丙三组， 甲、乙、丙三组的人数之比是1087。如果甲组中男、女会员的人数 之比是 31，乙组中男、女会员的人数之比是53，那么丙组中男、女 会员的人数之比是多少？ 答案与提示 练习 8 1.540 米 2。 2. 长 100 厘米，宽 75 厘米，高 60 厘米。 解：长宽高 =201512， 450000÷(20×15×12)=125=5 3。 长=20×5=100（厘米），宽 =15×5=75（厘米）， 高=12×5=60（厘米）。 3.86 元。 解：设小明有 x 元钱。根据小强的钱数可列方程 36+50=86 （元）。 4.2640 元。 5. 甲 50 只，乙 40 只，丙 48 只。 解：甲乙丙 =252024，138÷(25+20+24)=2， 甲=2×25=50（只），乙 =2×20=40（只）， 丙=2×24=48（只）。 6.12 时。 7.5：9 第九讲百分数 百分数有两种不同的定义。 （1）分母是 100的分数叫做百分数。 这种定义着眼于形式，把百分 数作为分数的一种特殊形式。 （2）表示一个数（比较数）是另一个数（标准数）的百分之几的数 叫做百分数。 这种定义着眼于应用，用来表示两个数的比。所以百分数 又叫百分比或百分率。 百分数通常不写成分数形式，而采用符号“”来表示，叫做百分 号。 在第二种定义中，出现了比较数、标准数、分率（百分数），这三 者的关系如下： 比较数÷标准数 =分率（百分数）， 标准数×分率 =比较数， 比较数÷分率 =标准数。 根据比较数、标准数、分率三者的关系，就可以解答许多与百分数 有关的应用题。 例 1 纺织厂的女工占全厂人数的80，一车间的男工占全厂男工的 25。问：一车间的男工占全厂人数的百分之几？ 分析与解： 因为“女工占全厂人数的80”，所以男工占全厂人数 的 1-80=20。 又因为“一车间的男工占全厂男工的25”，所以一车间的男工占 全厂人数的 20×25=5。 例 2 学校去年春季植树500棵，成活率为 85，去年秋季植树的成 活率为 90。已知去年春季比秋季多死了20 棵树，那么去年学校共种活 了多少棵树？ 分析与解： 去年春季种的树活了500×85=425（棵），死了 500-425=75（棵）。去年秋季种的树，死了75-20=55（棵），活了55÷ （1-90）×90=495 （棵）。 所以，去年学校共种活 425+495=920 （棵）。 例 3 一次考试共有 5 道试题。做对第1，2，3，4，5 题的人数分别 占参加考试人数的85，95，90，75，80。如果做对三道或三 道以上为及格，那么这次考试的及格率至少是多少？ 分析与解： 因为百分数的含义是部分量占总量的百分之几，所以不 妨设总量即参加考试的人数为100。 由此得到做错第 1 题的有 100×（1-85）=15（人）； 同理可得，做错第2，3，4，5 题的分别有 5，10，25，20 人。 总共做错 15+5+10+25+20=75 （题）。 一人做错 3 道或 3 道以上为不及格，由75÷3=25（人），推知至多 有 25 人不及格，也就是说至少有75人及格，及格率至少是75。 例 4 育红小学四年级学生比三年级学生多25，五年级学生比四年 级学生少 10，六年级学生比五年级学生多10。如果六年级学生比三 年级学生多 38 人，那么三至六年级共有多少名学生？ 分析：以三年级学生人数为标准量，则四年级是三年级的125，五 年级是三年级的 125× （1-10） ， 六年级是三年级的125× （1-10） ×（1+10）。因为已知六年级比三年级多38 人，所以可根据六年级的 人数列方程。 解：设三年级有 x 名学生，根据六年级的人数可列方程： x×125×（ 1-10）×（ 1+10）=x+38， x×125×90×110 =x+38， 1.2375x=x+38 ， 0.2375x=38 ， x=160。 三年级有 160名学生。 四年级有学生160×125=200（名）。 五年级有学生 200×（1-10） 180（名）。 六年级有学生 160+38=198（名）。 160+200+180+198=738 （名）。 答：三至六年级共有学生738 名。 在百分数应用题中有一类叫溶液配比问题 。我们都知道，将糖溶于 水就得到了糖水，其中糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液。如果水的量 不变，那么糖加得越多，糖水就越甜，也就是说，糖水甜的程度是由糖 （溶质）与糖水（溶液 =糖+水）二者重量的比值决定的，这个比值就叫 糖水的含糖量或糖含量。类似地，酒精溶于水中，纯酒精与酒精溶液二 者重量的比值就叫酒精含量。溶质、溶剂、溶液及溶质含量有如下基本 关系： 溶液重量 =溶质重量 +溶剂重量， 溶质含量 =溶质重量÷溶液重量， 溶液重量 =溶质重量÷溶质含量， 溶质重量 =溶液重量×溶质含量。 溶质含量通常用百分数表示。例如，10 克白糖溶于 90 克水中，含糖 量（溶 例 5 有含糖量为 7的糖水 600克，要使其含糖量加大到10，需 要再加入多少克糖？ 分析与解： 在 600 克含糖量为 7的糖水中，有糖（溶质）600×7 =42（克）。 设再加 x 克糖，可使其含糖量加大到10。此时溶质有（ 42+x）克， 溶液有（ 600+x）克，根据溶质含量可得方程 需要再加入 20 克糖。 例 6 仓库运来含水量为90的一种水果 100 千克，一星期后再测， 发现含水量降低到80。现在这批水果的总重量是多少千克？ 分析与解： 可将水果分成“水”和“果”两部分。一开始，果重 100×（1-90）=10（千克）。 一星期后含水量变为80，“果”与“水”的比值为 因为“果”始终是10 千克，可求出此时“水”的重量为 所以总重量是 10+40=50 （千克）。 练习 9 1. 某修路队修一条路， 5 天完成了全长的20。照此计算，完成任 务还需多少天？ 2. 服装厂一车间人数占全厂的25，二车间人数比一车间少20， 三车间人数比二车间多30。已知三车间有156人，全厂有多少人？ 3. 有三块地，第二块地的面积是第一块地的80，第三块地的面积 比第二块多 20，三块地共 69 公顷，求三块地各多少公顷。 4. 某工厂四个季度的全勤率分别为90，86，92，94。问： 全年全勤的人至少占百分之几？ 5. 有酒精含量为 30的酒精溶液若干，加了一定数量的水后稀释成 酒精含量为 24的溶液，如果再加入同样多的水，那么酒精含量将变为 多少？ 6. 配制硫酸含量为 20的硫酸溶液 1000克， 需要用硫酸含量为18 和 23的硫酸溶液各多少克？ 7. 有一堆含水量 14.5的煤，经过一段时间的风干，含水量降为 10，现在这堆煤的重量是原来的百分之几？ 答案与提示 练习 9 1.20 天。 解：5÷20-5=20（天）。 2.600 人。解： 156÷(1 -20 ) × (1+30 ) ÷25 =600（人）。 3. 第一、二、三块依次为25，20 和 24 公顷。解：第一块地的面积 为 69÷1+80+80×(1+20)=25 （公顷），第二块地为 25×80=20 （公顷），第三块地为69-25=24（公顷）。 4.62。解；设全厂有100人，则四个季度没有全勤的共有 10+14+8+6=38 （人次）。当四个季度没有全勤的人互不相同时，全年没 有全勤的人最多，为38 人，所以至少有 100-36=62（人）全勤，即全年 全勤率至少为 62。 5.20。 解：设酒精含量为 30的酒精溶液有100克，则溶质为 30 克。稀释 成酒精含量为 24的酒精溶液需加水30÷24-100=25（克）。若再加 入 25 克水，则酒精含量变为 30÷(100+25+25)=20。 6.600 克，400 克。 提示：设需要 18的溶液 x 克，则需要 23的溶液 (100-x) 克。根 据溶质重量可得 x×18+(1000- x) ×23=1000×20。解得 x=600。 7.95。 解：设原有 100 吨煤，则有水份 14.5 吨。又设风干掉水份x 吨，则 由含 现在煤的重量为 100-5=95（吨），是原来的95。 第十讲商业中的数学 市场经济中有许多数学问题。同学们可能都有和父母一起去买东西的经 历，都知道商品有定价，但是这个价格是怎样定的？这就涉及到商品的 成本、利润等听起来有些陌生的名词。 这一讲的内容就是小学数学知识在商业中的应用。 利润=售出价 -成本， 例如，一件商品进货价是80 元，售出价是 100元，则这件商品的利 润是 100-80=20（元），利润率是 在这里我们用“进货价”代替了“成本”，实际上成本除了进货价， 还包括运输费、仓储费、损耗等，为简便，有时就忽略不计了。 例 1 某商品按每个 7 元的利润卖出 13 个的钱，与按每个11 元的利 润卖出 12 个的钱一样多。这种商品的进货价是每个多少元？ 解：设进货价是每个 x 元。由“售出价 =进货价+利润”，根据前、 后两次卖出的钱相等，可列方程 （x+7）×13=（x+11）×12， 13x+91=12+132 x=41。 答：进货价是每个41 元。 例 2 租用仓库堆放 3 吨货物，每月租金 7000元。这些货物原计划要 销售 3 个月，由于降低了价格，结果2 个月就销售完了，由于节省了租 仓库的租金，所以结算下来，反而比原计划多赚了1000元。问：每千克 货物的价格降低了多少元？ 分析与解： 原计划租仓库 3 个月，现只租用了2 个月，节约了 1 个 月的租金 7000 元。如果不降低价格，那么应比原计划多赚7000 元，但 现在只多赚了 1000元，说明降价损失是7000-1000=6000（元）。 因为共有 3 吨，即 3000千克货物，所以每千克货物降低了 6000÷3000=2（元）。 例 3 张先生向商店订购了每件定价100元的某种商品 80 件。 张先生 对商店经理说： “如果你肯减价， 那么每减价 1 元，我就多订购 4 件。” 商店经理算了一下，若减价5，则由于张先生多订购， 获得的利润反而 比原来多 100 元。问：这种商品的成本是多少元？ 分析与解：设这种商品的成本是x 元。减价 5就是每件减 100×5 =5（元），张先生可多买4×5=20（件）。由获得利润的情况，可列方程 （100-x）×80 +100=（100-5-x ）×（ 80 + 20 ）， 8000-80x+100=9500-100x ， 20x=1400， x=70， 这种商品的成本是70 元。 由例 2、例 3 看出，商品降价后，由于增加了销售量，所以获得的利 润有时反而比原