大学课件-高等数学课件导数、微分及其应用.doc
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1、第二讲 导数、微分及其应用一、 导数、偏导数和微分的定义对于一元函数 对于多元函数 对于函数微分 注:注意左、右导数的定义和记号。二、 导数、偏导数和微分的计算:1)能熟练运用求导公式、运算法则计算导数、偏导数和微分;2)隐函数、参数方程的导数3)高阶导数:特别要注意莱布尼茨公式的运用。例1:求函数在处的阶导数。解:,所以有 (1)利用莱布尼茨公式对(1)两边求阶导数得 当时, 由此可得 例2:求的阶导数。解: 设其中,则有注:计算时注意一阶微分不变性的应用。4)方向导数与梯度三、 导数、偏导数及微分的应用1)达布定理:设在上可导,若则对介于的一切值,必有,使得。证明:在上可导,则在上一定有最
2、大值和最小值。 1、如果异号,无妨设, 由于,由极 限的保号性,当充分接近时有;当充分接近时有 ,这就说明不可能是在上的最大值, 所以一定存在,使得是在上的最大值,由费马 定理可得。 2、对于一般的的情形,设是介于的值,考虑函 数,则有异号,由前 面的证明可得,存在有,即。2)罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理 其中,这里在与之间的某个值。3)一元函数的单调性及极值、最值4)一元函数的凹凸性:在区间上凹:和,若,则;在区间上凸:和,若,则;性质:1、如果在区间上是凹的,则和,若,一定有 ;2、如果在区间上是凸的,则和,若,一定有 证明:因为其中,所以用数学归纳法可证明以
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- 大学 课件 高等数学 导数 微分 及其 应用
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