完美版圆锥曲线知识点总结.docx
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1、圆锥曲线的方程与性质1椭圆(1)椭圆概念平面内与两个定点 F、 F2 的距离的和等于常数2 a (大于 | F F2 | )的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆11的焦点,两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点,则有| MF1 | | MF 2 |2a 。椭圆的标准方程为:x2y21( a b0y2x 21( ab 0 )(焦点在 y 轴a2b2)(焦点在 x 轴上)或2b 2a上)。注:以上方程中a,b 的大小 ab0 ,其中 b2a2c2 ;在 x2y21 和 y2x21 两个方程中都有 ab0 的条件,要分清焦点的位置,只要看x2 和 y2的分a2b2a2b2母的大小。
2、例如椭圆x2y2( m0, n 0 , mn )当 mn 时表示焦点在 x 轴上的椭圆;当 mn 时m1n表示焦点在y 轴上的椭圆。(2)椭圆的性质x2y21 知 | x | a , | y | b ,说明椭圆位于直线 xa , yb 所围成的矩形里;范围:由标准方程b2a2对称性:在曲线方程里,若以y 代替 y 方程不变,所以若点(x, y) 在曲线上时,点(x, y) 也在曲线上,所以曲线关于 x 轴对称,同理,以x 代替 x 方程不变,则曲线关于y 轴对称。若同时以x 代替 x , y 代替 y方程也不变,则曲线关于原点对称。所以,椭圆关于x 轴、 y 轴和原点对称。这时,坐标轴是椭圆的
3、对称轴,原点是对称中心,椭圆的对称中心叫椭圆的中心;顶点:确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与x 轴、 y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中,令x0 ,得 yb ,则 B1(0,b) , B2 (0, b) 是椭圆与 y 轴的两个交点。同理令y0 得 xa ,即 A1 ( a,0) ,A2 (a,0) 是椭圆与 x 轴的两个交点。所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的顶点。同时,线段A1 A2 、 B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为2a 和 2b , a 和 b 分别叫做椭圆的长1 / 15半轴长和短半轴长。由椭圆的对称性知: 椭圆的短轴端点到焦点的距离为a
4、 ;在 Rt OB2 F2 中,| OB2 |b ,|OF2 | c ,| B2 F2 | a ,且 |OF2 |2 | B2 F2 |2| OB2 |2 ,即 c2a2b2 ;离心率: 椭圆的焦距与长轴的比ec0e1,且 e 越接近 1, c 就叫椭圆的离心率 。 a c 0 ,a越接近 a ,从而 b 就越小,对应的椭圆越扁;反之,e 越接近于 0 , c 就越接近于0 ,从而 b 越接近于 a ,这时椭圆越接近于圆。当且仅当a b 时, c0 ,两焦点重合,图形变为圆,方程为x2y2a2 。2双曲线( 1)双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线(| PF1
5、| | PF2 |2a )。注 意 : 式 中 是 差 的 绝 对 值 , 在 02a | F1 F2 | 条 件 下 ; | PF1 | | PF2 | 2a 时 为 双 曲 线 的 一 支 ;| PF2 | PF1 |2a时为双曲线的另一支(含F1 的一支);当 2a| F1F2 | 时, | PF1 | PF2 |2a表示两条射线;当 2a | F1F2| 时, | PF1 | PF2 | 2a 不表示任何图形;两定点F1 , F2 叫做双曲线的焦点,| F1F2 | 叫做焦距。( 2)双曲线的性质范围:从标准方程x 2y21 ,看出曲线在坐标系中的范围:双曲线在两条直线xa 的外侧。即
6、a 2b2x2a 2 , xa 即双曲线在两条直线xa 的外侧。对称性:双曲线x 2y 21关于每个坐标轴和原点都是对称的,这时,坐标轴是双曲线的对称轴,原点a2b2是双曲线 x 2y 21的对称中心,双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。a 2b 2顶点:双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线x2y 2x, y 轴,所a 21的方程里,对称轴是b2以令 y0 得 xa ,因此双曲线和x 轴有两个交点 A ( a,0) A2 ( a,0),他们是双曲线x 2y21 的顶点。a 2b2令 x0,没有实根,因此双曲线和y 轴没有交点。2 / 151)注意:双曲线的顶点只有两个,这是与椭圆不同的
7、(椭圆有四个顶点),双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。22叫做双曲线的实轴,它的长等于2a, a叫做双曲线的实半轴长。虚轴:线段2)实轴:线段A AB B 叫做双曲线的虚轴,它的长等于2b,b 叫做双曲线的虚半轴长。渐近线:注意到开课之初所画的矩形,矩形确定了两条对角线,这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看,双曲线x2y2a21 的各支向外延伸时,与这两条直线逐渐接近。b2等轴双曲线:1)定义: 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式: ab ;2)等轴双曲线的性质: ( 1)渐近线方程为: yx ;( 2)渐近线互相垂直。注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一,
8、即可推知双曲线为等轴双曲线,同时其他几个亦成立。3a b220x 轴,)注意到等轴双曲线的特征,则等轴双曲线可以设为:,当时交点在当 0时焦点在 y 轴上。注意 x 2y 21与 y2x21 的区别:三个量a,b, c 中 a,b 不同(互换) c 相同,还有焦点所在的坐标169916轴也变了。3抛物线(1)抛物线的概念平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直线l 上 )。定点 F 叫做抛物线的焦点,定直线l 叫做抛物线的准线。方程 y 22 pxp0 叫做抛物线的标准方程。注意:它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上,焦点坐标是F( p ,0 ),
9、它的准线方程是xp;22( 2)抛物线的性质一条抛物线,由于它在坐标系的位置不同,方程也不同,有四种不同的情况,所以抛物线的标准方程还有其他几种形式: y22 px , x22 py , x 22 py .这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表:3 / 15y22 pxy22 pxx22 pyx22 py标准方程0)( p0)( p0)( p0)( pFl yyy图形loxo FxFoxl焦点坐标( p ,0)(p ,0)(0, p )(0,p )2222准线方程pxpypypx2222范围x 0x0y0y0对称性x 轴x 轴y 轴y 轴顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0
10、,0)离心率e 1e1e1e1说明:(1)通径: 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径;( 2)抛物线的几何性质的特点:有一个顶点,一个焦点,一条准线,一条对称轴,无对称中心,没有渐近线;( 3)注意强调 p 的几何意义:是焦点到准线的距离。4. 高考数学圆锥曲线部分知识点梳理一、方程的曲线:在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹) 上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:(1) 曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(2) 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线。点与曲线的关系:若曲线C 的
11、方程是f(x,y)=0,则点 P0(x 0,y 0) 在曲线 C 上f(x 0,y0)=0 ;点P0(x 0,y 0) 不在曲线C 上f(x 0,y 0) 0。两条曲线的交点:若曲线C1, C2 的方程分别为f 1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点 P0(x 0,y 0) 是 C1, C2 的交点f1( x0 , y0 )0n 个不同的交点;方程组没有实数解,曲线就没方程组有 n 个不同的实数解,两条曲线就有f 2 ( x0 , y0 )0有交点。二、圆:1、定义: 点集 M OM=r ,其中定点 O为圆心,定长r 为半径 .4 / 152、方程: (1)标准方程:圆心在c(a,b),半
12、径为 r 的圆方程是 (x-a)2+(y-b) 2=r 2圆心在坐标原点,半径为r 的圆方程是 x2+y 2=r 2(2) 一般方程:当2222(D ,E ) 半径D +E -4F 0时,一元二次方程 x +y +Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程,圆心为22是 D 2E 24 F。配方,将方程x2+y 2+Dx+Ey+F=0化为 (x+ D ) 2+(y+E ) 2= D 2E 2 - 4F2D ,-E );224当 D2+E2-4F=0 时,方程表示一个点(-22当 D2+E2-4F 0 时,方程不表示任何图形 .( 3)点与圆的位置关系已知圆心 C(a,b),半径为 r, 点 M的坐标为
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