2019届高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3.2第3课时导数与函数的综合问题课件理北师大版名师制作优质学案.ppt

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1、第3课时 导数与函数的综合问题,3.2 导数的应用,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,题型分类 深度剖析,题型一 导数与不等式,多维探究,证明,命题点1 证明不等式 典例 (2017贵阳模拟)已知函数f(x)1 ，g(x)xln x. (1)证明：g(x)1；,当01时，g(x)0， 即g(x)在(0,1)上是减少的，在(1，)上是增加的. 所以g(x)g(1)1，得证.,证明,所以当02时，f(x)0， 即f(x)在(0,2)上是减少的，在(2，)上是增加的，,又由(1)知xln x1(当且仅当x1时取等号)， 且等号不同时取得，,命题点2 不等式恒成立或有解问题,解答,几何画板展示,

2、解 函数的定义域为(0，)，,令f(x)0，得x1. 当x(0,1)时，f(x)0，f(x)是增加的； 当x(1，)时，f(x)0，f(x)是减少的. 所以x1为函数f(x)的极大值点，且是唯一极值点，,解答,所以h(x)h(1)1，所以g(x)0， 所以g(x)是增加的，所以g(x)g(1)2， 故k2，即实数k的取值范围是(，2.,解答,(1)利用导数证明不等式的方法 证明f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数F(x)f(x)g(x)，利用F(x)的单调性证明. (2)利用导数解决不等式的恒成立问题的策略 首先要构造函数，利用导数求出最值，求出参数的取值范围. 也可分离变量，构造函数

3、，直接把问题转化为函数的最值问题.,跟踪训练 已知函数f(x)axln x，x1，e，若f(x)0恒成立，求实数a的取值范围.,解答,解 f(x)0，即axln x0对x1，e恒成立，,x1，e，g(x)0， g(x)在1，e上是减少的，,解答,题型二 利用导数研究函数的零点问题,师生共研,典例 (2018洛阳质检)已知函数f(x)xln x，g(x)x2ax3. (1)对一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围；,解 由对一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立， 即有2xln xx2ax3.,当x1时，h(x)0，h(x)是增加的， 当0x1时，h(x)0，h(x)是减

4、少的， ah(x)minh(1)4. 即实数a的取值范围是(，4.,解答,当x(0,1)时，(x)0，(x)是增加的； 当x(1，)时，(x)0，(x)是减少的.,即F(x)0恒成立，函数F(x)无零点.,利用导数研究方程的根(函数的零点)的策略 研究方程的根或曲线的交点个数问题，可构造函数，转化为研究函数的零点个数问题.可利用导数研究函数的极值、最值、单调性、变化趋势等，从而画出函数的大致图像，然后根据图像判断函数的零点个数.,跟踪训练 (1)(2017贵阳联考)已知函数f(x)的定义域为1,4，部分对应值如下表：,解析,f(x)的导函数yf(x)的图像如图所示.当1a2时，函数yf(x)a

5、的零点的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4,答案,解析 根据导函数图像知，2是函数的极小值点，函数yf(x)的大致图像如图所示. 由于f(0)f(3)2,1a2， 所以yf(x)a的零点个数为4.,(2)已知函数f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0，且x00，则实数a的取值范围是_.,解析,答案,(，2),解析 当a0时，f(x)3x21有两个零点，不合题意， 故a0，f(x)3ax26x3x(ax2)，,若a0，由三次函数图像知f(x)有负数零点，不合题意，故a0.,又a0，所以a2.,题型三 利用导数研究生活中的优化问题,师生共研,解答,典例 某商场销售某种商品的经验表

6、明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y 10(x6)2，其中3x6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克. (1)求a的值；,解 因为当x5时，y11，,解答,(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.,解 由(1)可知，该商品每日的销售量为,所以商场每日销售该商品所获得的利润为,则f(x)10(x6)22(x3)(x6) 30(x4)(x6).,于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.,由上表

7、可得，当x4时，函数f(x)取得极大值，也是最大值. 所以，当x4时，函数f(x)取得最大值且最大值等于42.,利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x). (2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0. (3)比较函数在区间端点和f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值. (4)回归实际问题，结合实际问题作答.,跟踪训练 某品牌电动汽车的耗电量y与速度x之间的关系为y 40x(x0)，为使耗电量最小，则速度应定为_.,解析,答案,40,解析 令yx239x400，得x1或x4

8、0， 由于当040时，y0. 所以当x40时，y有最小值.,一审条件挖隐含,审题路线图,审题路线图,规范解答,审题路线图,(1)存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M (正确理解“存在”的含义) g(x1)g(x2)maxM 挖掘g(x1)g(x2)max的隐含实质 g(x)maxg(x)minM 求得M的最大整数值,(理解“任意”的含义) f(x)ming(x)max 求得g(x)max1,分离参数a,axx2ln x恒成立 求h(x)xx2ln x的最大值 ah(x)maxh(1)1 a1,规范解答 解 (1)存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M成立，等价于g(x1) g

9、(x2)maxM. 2分,g(x)maxg(2)1.,则满足条件的最大整数M4. 5分,设h(x)xx2ln x，h(x)12xln xx，,在区间(1,2)上是减少的，所以h(x)maxh(1)1， 所以a1，即实数a的取值范围是1，). 12分,课时作业,1.(2018天津调研)已知函数yx33xc的图像与x轴恰有两个公共点，则c等于 A.2或2 B.9或3 C.1或1 D.3或1,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,答案,解析 y3x23，当y0时，x1. 则当x变化时，y，y的变化情况如下表：,1,2,3,4,5,6,7,8,

10、9,10,11,12,13,14,15,16,因此，当函数图像与x轴恰有两个公共点时，必有c20或c20， c2或c2.,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,2.(2017福建莆田一模)定义在R上的函数f(x)的导函数为f(x)，f(0)0.若对任意xR，都有f(x)f(x)1，则使得f(x)ex1成立的x的取值范围为 A.(0，) B.(，0) C.(1，) D.(，1),对任意xR，都有f(x)f(x)1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,函数g(x)在R上是减少的.,x0. 使得f(x)e

11、x1成立的x的取值范围为(0，).,3.(2018届全国名校联考)若不等式2xln xx2ax30对x(0，)恒成立，则实数a可取的值组成的集合是 A.a|4a0 B.a|a4 C.a|0a4 D.a|a4,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,解析 由题意得ax2xln xx23，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,当x(0,1)时，g(x)0，g(x)是增加的， 当x(1，)时，g(x)0，g(x)是减少的，函数g(x)maxg(1)4， 所以ag(x)max4，即a|a4.,解析,答案,1,2

12、,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.若函数f(x)2x39x212xa恰好有两个不同的零点，则a可能的值为 A.4 B.6 C.7 D.8,解析 由题意得f(x)6x218x126(x1)(x2)， 由f(x)0，得x2，由f(x)0，得1x2， 所以函数f(x)在(，1)，(2，)上是增加的， 在(1,2)上是减少的，从而可知f(x)的极大值和极小值分别为f(1)，f(2). 若函数f(x)恰好有两个不同的零点，则f(1)0或f(2)0，解得a5或a4，故选A.,5.某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增 加100元，已

13、知总营业收入R与年产量x的关系是R(x) 则总利润最大时，年产量是 A.100 B.150 C.200 D.300,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由题意得，总成本函数为C(x)20 000100x，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,令P(x)0，得x300，易知当x300时，总利润P(x)最大.,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6

14、,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,因为f(x)在x2处有最小值，且x1,4，所以f(2)0， 即b8，所以c5，经检验，b8，c5符合题意.,所以f(x)在1,2)上是减少的，在(2,4上是增加的，,所以函数f(x)在M上的最大值为5，故选B.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.(2017安徽江南名校联考)已知x(0,2)，若关于x的不等式 恒成立，则实数k的取值范围为_.,0，e1),解析 由题意，知k2xx20. 即kx22x对任意x(0,2)恒成立，从而k0，,令f(x)0，得x1， 当x(1,2)时，f(

15、x)0，函数f(x)在(1,2)上是增加的， 当x(0,1)时，f(x)0，函数f(x)在(0,1)上是减少的， 所以kf(x)minf(1)e1，故实数k的取值范围为0，e1).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.直线xt分别与函数f(x)ex1的图像及g(x)2x1的图像相交于点A和点B，则|AB|的最小值为_.,解析,42ln 2,解析 由题意得，|AB|et1(2t1)| |et2t2|，令h(t)et2t2， 则h(t)et2，所以h(t)在(，ln 2

16、)上是减少的， 在(ln 2，)上是增加的， 所以h(t)minh(ln 2)42ln 20， 即|AB|的最小值是42ln 2.,解析,答案,9.(2018郑州调研)已知函数f(x)ax33x1对x(0,1总有f(x)0成立，则实数a的取值范围是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4，),实数a的取值范围是4，).,10.(2018佛山质检)定义在R上的奇函数yf(x)满足f(3)0，且不等式f(x)xf(x)在(0，)上恒成立，则函数g(x)xf(x)lg|x1|的零点个数为_.,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1

17、3,14,15,16,3,答案,解析 定义在R上的奇函数f(x)满足： f(0)0f(3)f(3)，f(x)f(x)， 当x0时，f(x)xf(x)，即f(x)xf(x)0， xf(x)0，即h(x)xf(x)在x0时是增加的， 又h(x)xf(x)xf(x)， h(x)xf(x)是偶函数， 当x0时，h(x)是减少的，结合函数的定义域为R， 且f(0)f(3)f(3)0， 可得函数y1xf(x)与y2lg|x1|的大致图像如图， 由图像可知，函数g(x)xf(x)lg|x1|的零点的个数为3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.(2017全国

18、)已知函数f(x)x1aln x. (1)若f(x)0，求a的值；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 f(x)的定义域为(0，)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,当x(0，a)时，f(x)0， 所以f(x)在(0，a)上是减少的，在(a，)上是增加的， 故xa是f(x)在x(0，)上的唯一极小值点也是最小值点. 由于f(1)0，所以当且仅当a1时，f(x)0， 故a1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解答,解 由(1)知当x(1，)时，x1ln

19、x0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以m的最小值为3.,12.(2017广州调研)已知函数f(x)exmx，其中m为常数. (1)若对任意xR有f(x)0恒成立，求m的取值范围；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解答,解 由题意，可知f(x)exm1， 令f(x)0，得xm. 故当x(，m)时，exm1，f(x)0，f(x)是增加的. 故当xm时，f(m)为极小值也为最小值. 令f(m)1m0，得m1， 即对任意xR，f(x)0恒成立时， m的取值范围是(，1.,(2)当m1时，判断f(x)在0,

20、2m上零点的个数，并说明理由.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解答,解 f(x)在0,2m上有两个零点，理由如下： 当m1时，f(m)1m0，f(0)f(m)1时，g(m)em20， g(m)在(1，)上是增加的. g(m)g(1)e20，即f(2m)0. f(m)f(2m)0，f(x)在(m,2m)上有一个零点. 故f(x)在0,2m上有两个零点.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,技能提升练,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,13.(2018届

21、中山一中测试)已知a，bR，直线yaxb 与函数f(x)tan x的图像在x 处相切，设g(x)exbx2a，若在区间1,2上，不等式mg(x)m22恒成立，则实数m有 A.最大值e B.最大值e1 C.最小值e D.最小值e,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,因此a2，b1，g(x)exx22， 所以当x1,2时，g(x)ex2x0，g(x)exx22是增加的， 所以g(x)mine1，g(x)maxe22.所以eme1或me.,解析,14.(2018届全国名校联考)已知函数f(x)3ln x x22x3ln 3 ，则方程f(x)0的解的个数是_.

22、,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,答案,当x(0,3)时，f(x)0，f(x)是增加的， 当x(3，)时，f(x)0，f(x)是减少的， 当x0时，f(x)，当x时，f(x)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以方程f(x)0只有一个解.,拓展冲刺练,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(，2)(2，),答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16.(2016全国)设函数f(x)ln xx1. (1)讨论f

23、(x)的单调性；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 由题设知，f(x)的定义域为(0，)，,当00，f(x)是增加的； 当x1时，f(x)0，f(x)是减少的.,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,证明 由(1)知，f(x)在x1处取得极大值也为最大值，最大值为f(1)0. 所以当x1时，ln xx1.,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(3)设c1，证明：当x(0,1)时，1(c1)xcx.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,证明 由题设c1，设g(x)1(c1)xcx， 则g(x)c1cxln c，令g(x)0，,当x0，g(x)是增加的； 当xx0时，g(x)0，g(x)是减少的.,又g(0)g(1)0，故当00. 所以当x(0,1)时，1(c1)xcx.,本课结束,