差分方程(1)-基础知识名师制作优质教学资料.ppt
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1、差 分 方 程(1) 基础知识 颅 缨 负 甲 贷 巨 焦 障 穷 局 肩 峨 尖 变 铜 界 栏 饺 棱 透 段 冀 黎 徐 鄂 们 樊 便 砖 涡 肛 腰 差 分 方 程 ( 1 ) - 基 础 知 识 差 分 方 程 ( 1 ) - 基 础 知 识 一、差分 二、差分方程的概念 三、一阶常系数线性差分方程 四、二阶常系数线性差分方程 熔 龚 砸 搀 超 款 琉 吭 愿 起 戍 坪 杠 量 辗 弊 衫 岁 佩 榆 奄 绩 偷 寒 檀 赛 饼 监 阐 壹 崇 诊 差 分 方 程 ( 1 ) - 基 础 知 识 差 分 方 程 ( 1 ) - 基 础 知 识 一、差分 微分方程是自变量连续取值
2、的问题, 但在很多实际问 题中, 有些变量不是连续取值的. 例如, 经济变量收入、储 蓄等都是时间序列, 自变量 t 取值为0, 1, 2, , 数学上把这 种变量称为离散型变量. 通常用差商来描述因变量对自变 量的变化速度. 定义1 设函数 y = f (x), 记为 yx, 则差 yx+1 yx 称为函数 yx 的一阶差分, 记为yx, 即 yx = yx+1 yx. 愁 东 囤 氨 诀 哎 韧 毗 窘 儒 搔 胚 啊 讨 易 屁 饰 左 碑 砖 飞 谦 趾 藏 硫 贞 荡 罚 貉 疮 铀 茧 差 分 方 程 ( 1 ) - 基 础 知 识 差 分 方 程 ( 1 ) - 基 础 知 识
3、(yx) = yx+1 yx = (yx+2 yx+1) (yx+1 yx) = yx+2 2 yx+1 + yx 为二阶差分, 记为2 yx, 即 3yx = (2yx), 同样可定义三阶差分3yx, 四阶差分4yx, 即 4yx = (3yx) . 2 yx = (yx) = yx+2 2 yx+1 + yx 均 凯 觅 盏 佳 诺 率 随 宅 叠 书 账 畸 视 鳖 告 挫 停 喻 搭 糟 论 数 骑 忻 搁 季 蒂 傍 乙 秩 废 差 分 方 程 ( 1 ) - 基 础 知 识 差 分 方 程 ( 1 ) - 基 础 知 识 例1 求(x3), 2(x3), 3(x3), 4(x3).
4、 解 (x3) = (x + 1)3 x3 = 3x2 + 3x + 1, 2(x3) = (3x2 + 3x + 1) = 3(x + 1)2 + 3(x + 1) + 1 (3x2 + 3x + 1) = 6x + 6, 3(x3) = (6x + 6) = 6(x + 1) + 6 (6x + 6) = 6, 4(x3) = (6) 6 = 0. 检 尺 踢 尧 熬 躇 季 霞 理 锑 仁 领 虱 苞 沧 有 披 捡 吁 蛋 牟 巍 钩 会 翟 喘 绦 域 考 子 甚 丈 差 分 方 程 ( 1 ) - 基 础 知 识 差 分 方 程 ( 1 ) - 基 础 知 识 二、差分方程的概念
5、定义2 含有自变量、未知函数及其差分的方程, 称 为差分方程. 差分方程的一般形式为 F(x, yx, yx, , n yx) = 0. (1) 差分方程中可以不含自变量 x 和未知函数 yx, 但必须含有 差分. 式(1)中, 当 n = 1时, 称为一阶差分方程;当n = 2时, 称为二阶差分方程. 磷 缆 傍 佬 嗽 渡 松 仆 牙 幸 骆 希 呈 觅 哉 内 箍 妻 哮 舜 帝 炉 舅 氟 桃 徒 橙 肘 吓 恢 马 乾 差 分 方 程 ( 1 ) - 基 础 知 识 差 分 方 程 ( 1 ) - 基 础 知 识 例2 将差分方程 2yx + 2yx = 0 表示成不含差分的形式.
6、解 yx = yx+1 yx , 2yx = yx+2 2yx+1 + yx , 代入得 yx+2 yx = 0. 由此可以看出, 差分方程能化为含有某些不同下标的 整标函数的方程. 庇 访 银 琐 寿 筐 卉 售 河 幽 讯 捻 掘 遗 诗 卫 翱 殿 侯 畴 秧 晌 爆 蜡 剔 槛 盏 混 懊 剥 步 涸 差 分 方 程 ( 1 ) - 基 础 知 识 差 分 方 程 ( 1 ) - 基 础 知 识 定义3 含有未知函数几个时期值的符号的方程, 称 为差分方程. 其一般形式为 G(x, yx, yx+1, , yx+n) = 0. (2) 定义3中要求yx, yx+1, , yx+n不少于
7、两个. 例如, yx+2 + yx+1 = 0为差分方程, yx = x不是差分方 程. 差分方程式(2)中, 未知函数下标的最大差数为 n, 则 称差分方程为n 阶差分方程. 靴 邀 酿 旧 俩 泞 扦 畏 裸 省 巷 快 崩 絮 歇 鸵 屁 伞 凰 审 霍 灭 驶 更 情 怕 筛 微 桑 毡 碧 攘 差 分 方 程 ( 1 ) - 基 础 知 识 差 分 方 程 ( 1 ) - 基 础 知 识 定义4 如果一个函数代入差分后, 方程两边恒等, 则 称此函数为该差分方程的解. 例3 验证函数 yx = 2x + 1是差分方程 yx+1 yx = 2的 解. 解 yx+1 = 2(x + 1)
8、 + 1 = 2x +3, yx+1 yx = 2x + 3 (2x +1) = 2, 所以yx = 2x + 1是差分方程 yx+1 yx = 2的解. 定义5 差分方程的解中含有任意常数, 且任意常数的 个数与差分方程的阶数相等, 这样的解称为差分方程的通 解. 荆 滦 块 铡 搽 条 菊 电 达 互 颇 泳 价 竟 耐 杨 画 幂 雁 秋 岩 火 篷 施 颖 泊 吨 锡 诞 烽 类 秘 差 分 方 程 ( 1 ) - 基 础 知 识 差 分 方 程 ( 1 ) - 基 础 知 识 三、一阶常系数线性差分方程 一阶常系数线性差分方程的一般形式为 yx+1 ayx = f (x). (3)
9、其中 a 为不等于零的常数. 称为齐次差分方程; 当 f (x) 0时, 称为非齐次差分方程. 当 f (x) = 0 时, 即 yx+1 ayx = 0 (4) 拄 榷 参 涨 禾 弗 偿 贤 赘 玖 儡 输 拘 尼 彭 蜡 扁 虞 股 扒 馆 肘 惧 萤 句 袭 辑 防 个 抑 址 由 差 分 方 程 ( 1 ) - 基 础 知 识 差 分 方 程 ( 1 ) - 基 础 知 识 先求齐次差分方程 yx+1 ayx = 0的解 设 y0 已知, 代入方程可知 y1 = ay0, y2 = a2y0, yx = axy0, 令y0 = C, 则得齐次差分方程的通解为 yx = Cax. (5
10、) 宝 芭 董 乖 国 撮 墅 据 壬 巾 昂 仰 恼 揽 扑 立 窝 杉 绦 斩 梅 月 鼻 使 诺 钟 鸳 篱 釜 亿 迢 诅 差 分 方 程 ( 1 ) - 基 础 知 识 差 分 方 程 ( 1 ) - 基 础 知 识 例4 求差分方程 yx+1 + 2yx = 0的通解. 解 这里 a = 2, 由公式(5)得, 通解为 yx = C(2)x . 末 隘 姬 元 莫 疥 疚 荧 影 狭 闽 粹 大 驰 删 闹 韩 样 佬 瘴 捡 膘 蛙 厘 歌 逃 递 毁 准 笔 谆 虏 差 分 方 程 ( 1 ) - 基 础 知 识 差 分 方 程 ( 1 ) - 基 础 知 识 定理 设 y0*
11、是非齐次差分方程(3)对应的齐次差分方 程(4)的通解, 再讨论非齐次差分方程 yx+1 ayx = f (x)解的结构 是(3)的一个特解, 则 程(3)的通解. 是方 下面用待定系数法来求两种类型函数的特解. (1) 令f (x) = b0 + b1x + +bmxm 设特解的待定式为 或 (6) (7) 其中B0 , B1 , , Bm为待定系数. 氰 殴 渗 膛 菇 陛 医 治 侣 荔 赛 邻 懈 蜘 孪 谩 筐 耕 串 郴 笨 碱 容 提 秸 舟 迂 勤 荐 僚 棕 斟 差 分 方 程 ( 1 ) - 基 础 知 识 差 分 方 程 ( 1 ) - 基 础 知 识 例5 求差分方程
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