北京专版2019年中考数学一轮复习第四章图形的认识4.3四边形与多边形试卷部分课件.pptx

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1、2014-2018年北京中考题组,五年中考,1.(2018北京,5,2分)若正多边形的一个外角是60,则该正多边形的内角和为 ( ) A.360 B.540 C.720 D.900,答案 C 由多边形外角和为360,可知这个正多边形的边数为36060=6,由多边形内角和 公式可知内角和为180(6-2)=720.故选C.,2.(2017北京,6,3分)若正多边形的一个内角是150,则该正多边形的边数是 ( ) A.6 B.12 C.16 D.18,答案 B 由题意得,该正多边形的每个外角均为30,则该正多边形的边数是 =12.故选B.,3.(2016北京,4,3分)内角和为540的多边形是 (

2、 ),答案 C 由多边形内角和公式得(n-2)180=540,解得n=5,所以该多边形为五边形,故选C.,4.(2012北京,3,4分)正十边形的每个外角等于 ( ) A.18 B.36 C.45 D.60,答案 B 多边形的外角和为360,正十边形有十个相等的外角,每个外角为 =36.故选B.,5.(2015北京,12,3分)下图是由射线AB,BC,CD,DE,EA组成的平面图形,则1+2+3+4+ 5= .,答案 360,解析 多边形的外角和为360,1+2+3+4+5=360.,6.(2013北京,11,4分)如图,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中点,若AB=5,AD=1

3、2,则 四边形ABOM的周长为 .,答案 20,解析 AB=5,AD=12,AC=13,BO=6.5.M、O分别为AD、AC的中点,又CD=5,MO=2.5, AM=6,C四边形ABOM=AM+MO+BO+AB=6+2.5+6.5+5=20.,7.(2018北京,21,5分)如图,在四边形ABCD中,ABDC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分 BAD,过点C作CEAB交AB的延长线于点E,连接OE. (1)求证:四边形ABCD是菱形; (2)若AB= ,BD=2,求OE的长.,解析 (1)证明:ABCD, OAB=DCA. AC平分BAD, OAB=DAC, DCA=DAC, C

4、D=AD. 又AB=AD,AB=CD,四边形ABCD为平行四边形. 又CD=AD=AB,四边形ABCD为菱形. (2)四边形ABCD为菱形, OA=OC,BDAC. CEAE,OE=AO=OC. BD=2,OB= BD=1. 在RtAOB中,AB= ,OB=1, OA= =2,OE=2.,8.(2017北京,22,5分)如图,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,ADBC,AD=2BC,ABD=90,E 为AD的中点,连接BE. (1)求证:四边形BCDE为菱形; (2)连接AC,若AC平分BAD,BC=1,求AC的长.,解析 (1)证明:E为AD的中点, AD=2ED.AD=2BC,ED=B

5、C. ADBC,四边形BCDE为平行四边形. 又在ABD中,E为AD的中点,ABD=90, BE=ED,BCDE为菱形. (2)设AC与BE交于点H,如图.,ADBC,DAC=ACB. AC平分BAD,BAC=DAC, BAC=ACB,BA=BC, 由(1)可知,BE=AE=BC, AB=BE=AE,ABE为等边三角形, BAC=30,ACBE,AH=CH. 在RtABH中,AH=ABcosBAH= ,AC=2AH= .,9.(2016北京,19,5分)如图,四边形ABCD是平行四边形,AE平分BAD,交DC的延长线于点E.求 证:DA=DE.,证明 四边形ABCD为平行四边形, ABCD.B

6、AE=E. AE平分BAD,BAE=DAE. E=DAE,DA=DE.,思路分析 本题要证明在同一个三角形中的两条线段相等,可以考虑借助角相等来证明.,解题关键 解决本题的关键是要掌握平行四边形的性质,尤其是题目给出了角平分线,就需要 多思考平行四边形与角有关的性质.,10.(2015北京,22,5分)在ABCD中,过点D作DEAB于点E,点F在边CD上,DF=BE,连接AF,BF. (1)求证:四边形BFDE是矩形; (2)若CF=3,BF=4,DF=5,求证:AF平分DAB.,证明 (1)在ABCD中,ABCD, DF=BE,四边形BFDE为平行四边形. DEAB,DEB=90. 四边形B

7、FDE是矩形. (2)由(1)可得,BFC=90. 在RtBFC中,由勾股定理可得BC=5. AD=BC=5.AD=DF.DAF=DFA. ABCD,DFA=FAB. DAF=FAB. AF平分DAB.,思路分析 (1)要证四边形BFDE是矩形,先证其是平行四边形,再根据有一个角是直角的平行 四边形为矩形证明. (2)由勾股定理求AD的长,证明ADF为等腰三角形,结合ABDC,证明DAF=FAB.,解题技巧 矩形是特殊的平行四边形,其内角为直角,故常与勾股定理结合.,11.(2014北京,19,5分)如图,在ABCD中,AE平分BAD,交BC于点E,BF平分ABC,交AD于点 F,AE与BF交

8、于点P,连接EF,PD. (1)求证:四边形ABEF是菱形; (2)若AB=4,AD=6,ABC=60,求tanADP的值.,解析 (1)证明:BF是ABC的平分线, ABF=EBF. ADBC, AFB=EBF. AFB=ABF. AB=AF. 同理,AB=BE. AF=BE.又AFBE, 四边形ABEF是平行四边形. AB=AF, 四边形ABEF是菱形. (2)过点P作PGAD于点G,如图.,四边形ABEF是菱形,ABC=60, ABE是等边三角形. AB=4, AE=AB=4, AP= AE=2. 在RtAGP中,可求得PAG=60. AG=APcos 60=1, GP=APsin 60

9、= . AD=6,DG=5, tanADP= = .,12.(2013北京,19,5分)如图,在ABCD中,F是AD的中点,延长BC到点E,使CE= BC,连接DE,CF. (1)求证:四边形CEDF是平行四边形; (2)若AB=4,AD=6,B=60,求DE的长.,解析 (1)证明:四边形ABCD是平行四边形, ADBC,AD=BC. F是AD的中点, FD= AD. CE= BC,FD=CE. FDCE,四边形CEDF是平行四边形. (2)如图,过点D作DGCE于点G. 四边形ABCD是平行四边形, ABCD,CD=AB=4,BC=AD=6.,1=B=60. 在RtDGC中,DGC=90,

10、 CG=CDcos1=2,DG=CDsin1=2 . CE= BC=3,GE=1. 在RtDGE中,DGE=90, DE= = .,教师专用题组,考点一 多边形,1.(2017新疆乌鲁木齐,5,4分)如果正n边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍,则n的值是 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7,答案 C 设正n边形外角的度数为x,则与它相邻内角的度数为2x,所以x+2x=180,解得x=60. 因为36060=6,所以这个正n边形是正六边形,故选C.,2.(2015上海,4,4分)如果一个正多边形的中心角为72,那么这个正多边形的边数是 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7,答案 B 这个

11、正多边形的边数为 =5,故选B.,3.(2018山西,12,3分)图1是我国古代建筑中的一种窗格,其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹 并开始消溶,形状无一定规则,代表一种自然和谐美.图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五 条线段组成的图形,则1+2+3+4+5= 度. 图1 图2,答案 360,解析 任意n(n3)边形的外角和为360,图中五条线段组成五边形, 1+2+3+4+5 = 360.,4.(2018陕西,12,3分)如图,在正五边形ABCDE中,AC与BE相交于点F,则AFE的度数为 .,答案 72,解析 五边形ABCDE是正五边形, EAB=ABC= =108, BA=BC,BAC=

12、BCA=36, 同理可得ABE=36,AFE=ABF+BAF=36+36=72.,5.(2018贵州贵阳,13,4分)如图,点M,N分别是正五边形ABCDE的两边AB,BC上的点,且AM=BN, 点O是正五边形的中心,则MON的度数是 度.,答案 72,解析 解法一:连接OA,OB,O为正五边形ABCDE的中心, OAM=OBN,又OA=OB,AM=BN,OAMOBN,AOM=BON,MON= AOB= =72.,解法二:特殊位置法,当OMAB,ONBC时,MON=180-B=72. 解法三:作OPAB,OQBC,如图所示. 易证RtOPMRtOQN,则POM=QON,MON=POQ=180-

13、B=72.,6.(2018河北,19,6分)如图1,作BPC平分线的反向延长线PA,现要分别以APB,APC,BPC 为内角作正多边形,且边长均为1,将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案. 例如:若以BPC为内角,可作出一个边长为1的正方形,此时BPC=90,而 =45是360(多 边形外角和)的 ,这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形,填充花纹后得到一个符合要 求的图案,如图2所示. 图2中的图案外轮廓周长是 ; 在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标,则会标的外轮廓周长是 . 图1,图2,答案 14;21,解析 题图2中的图案由两个边长均为1的正八边形和1个边长

14、为1的正方形组成,且三个正多 边形三边相连,题图2中的图案外轮廓周长是6+6+2=14.由于三个正多边形的边长均为1,显然 以APB,APC为内角的两个正多边形的边数越多(即以BPC为内角的正多边形的边数越 少),会标的外轮廓周长越大.当以BPC为内角的正多边形为等边三角形时,会标的外轮廓周 长最大.此时APB=150,以APB,APC为内角的两个正多边形均为正十二边形,会标的外 轮廓周长为10+10+1=21.,7.(2017福建,15,4分)两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上,且有一个公共顶点O,其摆 放方式如图所示,则AOB等于 度.,解析 如图,正五边形中每一个内角都是108,

15、OCD=ODC=180-108=72. COD=36. AOB=360-108-108-36=108.,答案 108,8.(2015河北,19,3分)平面上,将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重 合并叠在一起,如图,则3+1-2= .,答案 24,解析 正三角形、正方形、正五边形、正六边形的每个内角的度数分别为60、90、108、 120,由题图可知3=90-60=30,1=120-108=12,2=108-90=18,所以3+1-2= 30+12-18=24.,9.(2014江苏扬州,13,3分)如图,若该图案是由8个全等的等腰梯形拼成的,则图中的1= .,答案 67.5

16、,解析 因为全等形的对应边、对应角都相等,所以由8个全等的等腰梯形围成一个正八边形, 可求出正八边形的每个内角为 =135,又因为等腰梯形同一底上的两个内角相等, 所以1= =67.5.,10.(2016河北,22,9分)已知n边形的内角和=(n-2)180. (1)甲同学说,能取360;而乙同学说,也能取630.甲、乙的说法对吗?若对,求出边数n;若不对, 说明理由; (2)若n边形变为(n+x)边形,发现内角和增加了360,用列方程的方法确定x.,解析 (1)甲对,乙不对. (2分) =360,(n-2)180=360. 解得n=4. (3分) =630,(n-2)180=630,解得n=

17、 . n为整数,不能取630. (5分) (2)依题意,得(n-2)180+360=(n+x-2)180. (7分) 解得x=2. (9分),考点二 (特殊)平行四边形,1.(2018重庆,6,4分)下列命题正确的是 ( ) A.平行四边形的对角线互相垂直平分 B.矩形的对角线互相垂直平分 C.菱形的对角线互相平分且相等 D.正方形的对角线互相垂直平分,答案 D 平行四边形的对角线互相平分,不一定垂直,选项A错误;矩形的对角线互相平分且 相等,不一定垂直,选项B错误;菱形的对角线互相垂直平分,不一定相等,选项C错误;正方形的 对角线互相垂直平分,选项D正确.故选D.,2.(2018安徽,9,4

18、分)ABCD中,E,F是对角线BD上不同的两点.下列条件中, 得出四边形 AECF一定为平行四边形的是 ( ) A.BE=DF B.AE=CF C.AFCE D.BAE=DCF,答案 B 当BE=DF时,如图1, 易证AFDCEB,ABECDF, 从而AF=CE,AE=CF, 所以四边形AECF一定是平行四边形,故A不符合题意; 当AFCE时,如图1, 则AFE=CEF,从而AFD=CEB, 又因为ADF=CBE,AD=BC, 所以AFDCEB,则AF=CE, 所以四边形AECF一定是平行四边形,故C不符合题意; 当BAE=DCF时,如图1,易证ABECDF, 可得AEB=CFD,AE=CF,

19、 所以AEF=CFE,所以AECF, 则四边形AECF一定是平行四边形,故D不符合题意; 如图2,其中AE=CF,但显然四边形AECF不是平行四边形.故B符合题意. 图1 图2,思路分析 依据平行四边形的定义或判定定理进行判断.,3.(2018陕西,8,3分)如图,在菱形ABCD中,点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点, 连接EF、FG、GH和HE.若EH=2EF,则下列结论正确的是 ( ) A.AB= EF B.AB= EF C.AB=2EF D.AB= EF,答案 D 如图,连接AC、BD交于O, 四边形ABCD是菱形, ACBD,OA=OC,OB=OD, 点E、F、G、H

20、分别是边AB、BC、CD和DA的中点, EF= AC,EH= BD, EH=2EF,BD=2AC,OB=2OA, AB= = OA, 易知OA=EF,AB= EF,故选D.,思路分析 首先根据菱形的性质得到ACBD,OA=OC,OB=OD,然后根据三角形中位线定理 得出EF= AC,EH= BD,进而得到OB=2OA,最后根据勾股定理求得AB= OA,即得AB= EF.,4.(2017河南,7,3分)如图,在ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,添加下列条件 判定ABCD 是菱形的只有 ( ) A.ACBD B.AB=BC C.AC=BD D.1=2,答案 C 根据对角线互相垂直的平行四边形

21、是菱形可得选项A正确;根据一组邻边相等的平 行四边形是菱形可得选项B正确;对角线相等的平行四边形为矩形,故选项C错误;因为CD AB,所以2=DCA,再由1=2,可得1=DCA,所以AD=CD,由一组邻边相等的平行四边 形是菱形,得ABCD是菱形,D正确.故选C.,5.(2017河北,9,3分)求证:菱形的两条对角线互相垂直. 已知:如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD交于点O. 求证:ACBD. 以下是排乱的证明过程: 又BO=DO, AOBD,即ACBD. 四边形ABCD是菱形, AB=AD. 证明步骤正确的顺序是 ( ),A. B. C. D.,答案 B 证明:四边形ABCD是菱

22、形,AB=AD, 又BO=DO,AOBD,即ACBD. 所以证明步骤正确的顺序是,故选B.,6.(2017河南,9,3分)我们知道:四边形具有不稳定性.如图,在平面直角坐标系中,边长为2的正方 形ABCD的边AB在x轴上,AB的中点是坐标原点O.固定点A,B,把正方形沿箭头方向推,使点D落 在y轴正半轴上点D处,则点C的对应点C的坐标为 ( ) A.( ,1) B.(2,1) C.(1, ) D.(2, ),答案 D 由题意可知AD=AD=CD=CD=2,AO=BO=1,在RtAOD中,由勾股定理得OD= , 由CDAB可得点C的坐标为(2, ),选D.,7.(2016河北,13,2分)如图,

23、将ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在点B处.若1=2=44,则 B为 ( ) A.66 B.104 C.114 D.124,答案 C 设AB与CD相交于点P, 由折叠知CAB=CAB, 由ABCD,得1=BAB, CAB=CAB= 1=22. 在ABC中,CAB=22,2=44, B=180-22-44=114.,8.(2016河北,6,3分)关于ABCD的叙述,正确的是 ( ) A.若ABBC,则ABCD是菱形 B.若ACBD,则ABCD是正方形 C.若AC=BD,则ABCD是矩形 D.若AB=AD,则ABCD是正方形,答案 C 若ABBC,则ABCD是矩形,不是菱形,选项A不正确;若AC

24、BD,则ABCD是菱 形,不一定是正方形,选项B不正确;若AC=BD,则ABCD是矩形,选项C正确;若AB=AD,则 ABCD是菱形,但不一定是正方形,选项D不正确.,9.(2015江西南昌,5,3分)如图,小贤为了体验四边形的不稳定性,将四根木条用钉子钉成一个矩 形框架ABCD,B与D两点之间用一根 拉直固定,然后向右扭动框架,观察所得四边形的变 化.下列判断 的是 ( ) A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形 B.BD的长度增大 C.四边形ABCD的面积不变 D.四边形ABCD的周长不变,答案 C 向右扭动框架ABCD的过程中,AD与BC的距离逐渐减小,即ABCD的高发生变化, 所以面积

25、改变,选项C错误,故选C.,10.(2014河南,7,3分)如图,ABCD的对角线AC与BD相交于点O,ABAC.若AB=4,AC=6,则BD 的长是( ) A.8 B.9 C.10 D.11,答案 C 在ABCD中,AO=CO,BO=DO, AC=6,AO=3, ABAC, 在RtABO中,BO= = =5, BD=2BO=10,故选C.,11.(2018湖北武汉,14,3分)以正方形ABCD的边AD作等边ADE,则BEC的度数是 .,答案 30或150,解析 当点E在正方形ABCD外时,如图, 四边形ABCD为正方形,ADE为等边三角形, AB=AD=AE,BAD=90,AED=DAE=6

26、0, BAE=150,AEB=ABE=15, 同理可得DCE=DEC=15, 则BEC=AED-AEB-DEC=30.,当点E在正方形ABCD内时,如图, 四边形ABCD为正方形,ADE为等边三角形,AB=AD=AE,BAD=90,AED=DAE=60, BAE=30,AEB=ABE=75, 同理可得DCE=DEC=75, 则BEC=360-AED-AEB-DEC=150. 综上,BEC=30或150.,解题关键 熟记正方形的性质、等边三角形的性质并准确作图是解题的关键.,易错警示 此题没有给出图形,需按点E的位置分类讨论,学生往往只画出点E在正方形外而导 致漏解.,12.(2018江西,12

27、,3分)在正方形ABCD中,AB=6,连接AC,BD,P是正方形边上或对角线上一点,若 PD=2AP,则AP的长为 .,答案 2, - 或2,解析 四边形ABCD是正方形,AB=6,ACBD,AC=BD=6 ,OA=OD=3 . 有三种情况:点P在AD上时, AD=6,PD=2AP,AP= AD=2; 点P在AC上时,不妨设AP=x(x0),则DP=2x,在RtDPO中,由勾股定理得DP2=DO2+OP2, 即(2x)2=(3 )2+(3 -x)2, 解得x= - (负值舍去),即AP= - ; 点P在AB上时,PAD=90,PD=2AP,ADP=30,AP=ADtan 30=6 =2 . 综

28、上所述,AP的长为2, - 或2 .,思路分析 根据正方形的性质得出ACBD,AC=BD,OB=OA=OC=OD,画出符合题意的三种情 况,根据正方形的性质、勾股定理及锐角三角函数求解即可.,解题关键 熟记正方形的性质,分析符合题意的情况,并准确画出图形是解题的关键.,易错警示 此题没有给出图形,需将点P的位置分类讨论,做题时,往往会因只画出点P在正方 形边上而致错.,13.(2018呼和浩特,16,3分)如图,已知正方形ABCD,点M是边BA延长线上的动点(不与点A重合), 且AMAB,CBE由DAM平移得到.若过点E作EHAC,H为垂足,则有以下结论:点M位置 变化,使得DHC=60时,2

29、BE=DM;无论点M运动到何处,都有DM= HM;无论点M运动到 何处,CHM一定大于135,其中正确结论的序号为 .,答案 ,解析 如图所示, 取CE的中点O,以点O为圆心,OH 为半径画圆,连接DH,延长EH交AD于F,连接FM,BH,HM,易知 EH=HA=HF.当DHC=60时,易得CEB=CHB=60,则BCE=30,所以2BE=CE=DM,故 正确.因为CHE=90,所以AHF=90,易知DHF=AHM,所以DHM=90,易知DH= HM,所以无论点M运动到何处,都有DM= HM,故正确.由可知DHM=90,而CHD45,所以无论点M 运动到何处,CHM 一定大于135,故正确.所

30、以都正确.,思路分析 点E在运动的过程中,CBA=CHE=90,故B、E、H、C四点共圆,作出图形,再进 行判断.,解题关键 解决本题的关键是要借助中点发现辅助圆.,14.(2017安徽,14,5分)在三角形纸片ABC中,A=90,C=30,AC=30 cm.将该纸片沿过点B的 直线折叠,使点A落在斜边BC上的一点E处,折痕记为BD(如图1),剪去CDE后得到双层BDE (如图2),再沿着过BDE某顶点的直线将双层三角形剪开,使得展开后的平面图形中有一个是 平行四边形.则所得平行四边形的周长为 cm.,答案 40或 (只写出一个正确答案得3分),解析 由已知可知ADBEDB,又A=90,C=3

31、0,所以ABD=EBD=C=30,则CD= BD,设AD=DE=x cm,则CD=(30-x)cm,在直角三角形ABD中,sin 30= = = ,解得x=10,所 以BD=20 cm,AB=10 cm.经分析可知满足题意的剪法有以下两种:取BD的中点F,连接EF, AF,沿EF剪开所得四边形ADEF是平行四边形,也是菱形,其边长DE为10 cm,故其周长为40 cm; 作EDB的平分线DM,沿DM剪开所得四边形是平行四边形,也是菱形,其边长DM= = = cm,故其周长为4 = cm.综上,所求周长为40 cm或 cm.,思路分析 由轴对称的性质得ADBEDB,由已知可求AD,AB,BD,考

32、虑到在三角形BDE 中,BED=90,EBD=30,BDE=60,故沿BD上的中线或EDB的平分线剪开可得平行四 边形,且都为菱形,求出边长即可求得周长.,15.(2017黑龙江哈尔滨,19,3分)四边形ABCD是菱形,BAD=60,AB=6,对角线AC与BD相交于 点O,点E在AC上,若OE= ,则CE的长为 .,答案 2 或4,解析 根据菱形的性质可得BAO=30,ACBD,OA=OC.由AB=6可得OA=OC =3 ,当E在 OA上时,CE=OC+OE=3 + =4 ,当E在OC上时,CE=OC-OE=3 - =2 . 综上,CE的长为4 或2 .,16.(2017河北,18,3分)如图

33、,依据尺规作图的痕迹,计算= .,答案 56,解析 如图,四边形ABCD是矩形,ADBC, DAC=ACB=68.由作法可知AF是DAC的平分线, EAF= DAC=34. 由作法可知,EF是线段AC的垂直平分线,AEF=90, AFE=90-34=56,=56.,思路分析 由矩形的性质得ADBC,可得出DAC的度数,由作法可知AF为DAC的平分线, 从而求出EAF的度数,又可知EF为线段AC的垂直平分线,从而得出AEF的度数,根据三角 形内角和定理得出AFE的度数,进而可得出的度数.,解题关键 熟悉角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键.,17.(2016内蒙古呼和浩特,15,3分)

34、已知平行四边形ABCD的顶点A在第三象限,对角线AC的中点 在坐标原点,一边AB与x轴平行且AB=2,若点A的坐标为(a,b),则点D的坐标为 .,答案 (-a-2,-b)或(-a+2,-b),解析 因为ABx轴,A(a,b),且AB=2,所以B的坐标为(a+2,b)或(a-2,b),因为ABCD是中心对称 图形,其对称中心与原点重合,所以点B与点D关于原点对称,所以点D的坐标为(-a-2,-b)或(-a+2, -b).,18.(2016广东,15,4分)如图,矩形ABCD中,对角线AC=2 ,E为BC边上一点,BC=3BE.将矩形 ABCD沿AE所在的直线折叠,B点恰好落在对角线AC上的B处

35、,则AB= .,答案,解析 由折叠和矩形的性质,可知BE=BE,ABE=ABE=90,EBC=90. BC=3BE, EC=2BE=2BE, ACB=30,AB= AC. AC=2 ,AB= .,19.(2018湖北黄冈,20,8分)如图,在ABCD中,分别以边BC,CD作等腰BCF,CDE,使BC=BF, CD=DE,CBF=CDE,连接AF,AE. (1)求证:ABFEDA; (2)延长AB与CF相交于点G.若AFAE,求证:BFBC.,证明 (1)四边形ABCD是平行四边形,AB=CD=DE,BF=BC=AD,ABC=ADC, 又CBF=CDE,ABF=ADE, 在ABF与EDA中,AB

36、=ED,ABF=EDA,BF=DA, ABFEDA. (2)由(1)知EAD=AFB, GBF=AFB+BAF=EAD+BAF, 易知ADBC,DAG=CBG,AFAE,EAF=90, FBC=FBG+CBG=EAD+FAB+DAG=EAF=90, BFBC.,20.(2018内蒙古包头,22,8分)如图,在四边形ABCD中,ADBC,ABC=90,AB=AD,连接BD,点E 在AB上,且BDE=15,DE=4 ,DC=2 . (1)求BE的长; (2)求四边形DEBC的面积. (注意:本题中的计算过程和结果均保留根号),解析 (1)在四边形ABCD中, ADBC,ABC=90,BAD=90.

37、 AB=AD,ABD=ADB=45. BDE=15,ADE=30. 在RtADE中,DE=4 , AE=sin 304 =2 ,AD=cos 304 =6. AB=AD=6,BE=6-2 . (5分) (2)过点D作DFBC于点F, BFD=90. BAD=ABC=90,四边形ABFD是矩形, BF=AD=6,DF=AB=6. 在RtDFC中,DC=2 , FC=4 ,BC=6+4 . S四边形DEBC=SDEB+SBDC=36+6 . (8分),21.(2018呼和浩特,18,6分)如图,已知A、F、C、D四点在同一条直线上,AF=CD,ABDE,且AB =DE. (1)求证:ABCDEF;

38、 (2)若EF=3,DE=4,DEF=90,请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度.,解析 (1)证明:ABDE,A=D, AF=CD,AF+FC=CD+FC,即AC=DF, 又AB=DE,ABCDEF. (2) (过点E作EOCF于O,由EF=3,ED=4,DEF=90,可得DF=5,所以EO=2.4,又四边形EFBC 为菱形,所以FO=CO=1.8,所以AF=CD=5-3.6=1.4).,22.(2018山西,22,12分)综合与实践 问题情境:在数学活动课上,老师出示了这样一个问题:如图1,在矩形ABCD中,AD=2AB,E是AB 延长线上一点,且BE=AB,连接DE,交BC于点M

39、,以DE为一边在DE的左下方作正方形DEFG,连 接AM.试判断线段AM与DE的位置关系. 探究展示:勤奋小组发现,AM垂直平分DE,并展示了如下的证明方法:,图1,证明:BE=AB,AE=2AB. AD=2AB,AD=AE. 四边形ABCD是矩形,ADBC. = .(依据1) BE=AB, =1.EM=DM. 即AM是ADE的DE边上的中线, 又AD=AE,AMDE.(依据2) AM垂直平分DE. 反思交流: (1)上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么? 试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上,请直接回答,不必证明; (2)创新小组受到勤奋小组的启发,继续进行探究,如图2

40、,连接CE,以CE为一边在CE的左下方作 正方形CEFG,发现点G在线段BC的垂直平分线上,请你给出证明; 探索发现: (3)如图3,连接CE,以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG,可以发现点C,点B都在线段AE的 垂直平分线上,除此之外,请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边,你还能发现哪个顶点,在哪条边的垂直平分线上,请写出一个你发现的结论,并加以证明. 图2 图3,解析 (1)依据1:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例(或平行线分线段成比 例). (1分) 依据2:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线及底边上的高互相重合(或等腰三角形的“三 线合一”). (2分)

41、 点A在线段GF的垂直平分线上. (3分) (2)证明:过点G作GHBC于点H. (4分) 四边形ABCD是矩形,点E在AB的延长线上, CBE=ABC=GHC=90. 1+2=90. 四边形CEFG为正方形, CG=CE,GCE=90.,1+3=90,2=3. GHCCBE. (6分) HC=BE.四边形ABCD是矩形,AD=BC. AD=2AB,BE=AB,BC=2BE=2HC,HC=BH. GH垂直平分BC. 点G在BC的垂直平分线上. (7分) (3)点F在BC边的垂直平分线上(或点F在AD边的垂直平分线上).(8分) 证法一:过点F作FMBC于点M,过点E作ENFM于点N. (9分)

42、 BMN=ENM=ENF=90. 四边形ABCD是矩形,点E在AB的延长线上, CBE=ABC=90.,四边形BENM为矩形. (10分) BM=EN,BEN=90. 1+2=90. 四边形CEFG为正方形, EF=EC,CEF=90.2+3=90. 1=3. CBE=ENF=90, ENFEBC. (11分) NE=BE.BM=BE. 四边形ABCD是矩形,AD=BC. AD=2AB,AB=BE,BC=2BM. BM=MC. FM垂直平分BC,点F在BC边的垂直平分线上. (12分) 证法二:过F作FNBE交BE的延长线于点N,连接FB,FC. (9分),四边形ABCD是矩形,点E在AB的延

43、长线上, CBE=ABC=N=90. 1+3=90. 四边形CEFG为正方形,EC=EF,CEF=90. 1+2=90,2=3. ENFCBE. (10分) NF=BE,NE=BC. 四边形ABCD是矩形,AD=BC. AD=2AB,BE=AB,设BE=a,则BC=EN=2a,NF=a. BF= = = a, CE= = = a,CF= = CE= a. (11分) BF=CF. 点F在BC边的垂直平分线上. (12分),23.(2017内蒙古呼和浩特,18,6分)如图,等腰三角形ABC中,BD,CE分别是两腰上的中线. (1)求证:BD=CE; (2)设BD与CE相交于点O,点M,N分别为线

44、段BO和CO的中点.当ABC的重心到顶点A的距离 与底边长相等时,判断四边形DEMN的形状,无需说明理由.,解析 (1)证明:AB,AC是等腰ABC的两腰, AB=AC, BD,CE是中线,AD= AC,AE= AB, AD=AE, 又A=A,ABDACE, BD=CE. (2)四边形DEMN为正方形. 提示:由MN、DE分别是OBC、ABC的中位线可得四边形DEMN是平行四边形,由(1)知BD =CE,故可证OE=OD,从而四边形DEMN是矩形,再由ABC的重心到顶点A的距离与底边长相 等可知四边形DEMN为正方形.,24.(2015河北,22,10分)嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的

45、四边形是平行四边形”是 正确的,她先用尺规作出了如图所示的四边形ABCD,并写出了如下不完整的已知和求证.,已知:如图,在四边形ABCD中,BC=AD, AB= . 求证:四边形ABCD是 四边形. (1)在方框中填空,以补全已知和求证; (2)按嘉淇的想法写出证明;,(3)用文字叙述所证命题的逆命题为 .,证明:,证明:,解析 (1)CD. (1分) 平行. (2分) (2)证明:连接BD. (3分) 在ABD和CDB中, AB=CD,AD=CB,BD=DB, ABDCDB. (5分) 1=2,3=4, ABCD,ADCB. (7分) 四边形ABCD是平行四边形. (8分) (3)平行四边形的对边相等. (10分),25.(2015山东聊城,21,8分)如图,在ABC中,AB=BC,BD平分ABC.四边形ABED是平行四边 形,DE交BC于点F,连接CE.求证:四边形BECD是矩形.,证明 AB=BC,BD平分ABC, BDAC,AD=CD. (2分) 四边形ABED是平行四边形, BEAD,BE=AD, (4分) BE=CD. 四边形BECD是平行四边形. (6