中南大学研究生考试 数学专业考研试题高等代数.doc
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中南大学2007年研究生入学考试试题考试科目:高等代数一、 填空题(每小题5分,共25分)1设( )2设,则秩( )3设是实数域,试写出中的正交补( )4设是向量空间上的线性变换,向量,则在基下的坐标为( )5取何值时,是正定二次型?( )二、 (本题满分15分)设为正整数,证明整除的充要条件是整除三、 (本题满分15分)设都是阶矩阵,且证明: 秩秩四、 (本题满分15分)设表示数域上向量空间,是按如下方法定义的线性变换:这里,求线性变换的核和像以及五、 (本题满分20分)设是非零实方阵,是的伴随矩阵,是的转置矩阵,1(10分)证明;2(10分)若是的特征值,则六、 (本题满分20分)求下列矩阵的特征值和特征向量:七、 (本题满分20分)设是正定矩阵,是半正定矩阵,证明:1(10分)的所有根;2(10分)八、 (本题满分20分)设和都是数域上向量空间,和分别是和的线性变换组成的向量空间,是到的同构映射。1(5分) 证明:,有;2(15分)证明:,这里表示同构。
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