小升初数学总复习行程专题.docx
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1、小升初总复习行程专题【平均速度】平均速度 =总路程÷总时间,只有分段时间相等时才等于速度的平均。【例 1】【分析与解】设上山路为x 千米,下山路为 2x 千米,则上下山的平均速度是:( x+2x )÷( x÷ 22.5+2x ÷36) =30 (千米 /时),正好是平地的速度,所以行AD总路程的平均速度就是30 千米 / 时,与平地路程的长短无关。因此共需要 72÷ 30 2.4 (时)。【例 2】【分析与解】解法、全程的平均速度是每分钟(80+70 )/2=75 米,走完全程的时间是6000/75=80 分钟,走前一半路程速度一定是80 米,
2、时间是 3000/80=37.5 分钟,后一半路程时间是80-37.5=42.5 分钟解法 2:设走一半路程时间是x 分钟,则 80*x+70*x=6*1000,解方程得: x=40 分钟 ,因为 80*40=3200 米,大于一半路程 3000 米,所以走前一半路程速度都是80 米,时间是 3000/80=37.5 分钟,后一半路程时间是40+( 40-37.5)=42.5 分钟。答:他走后一半路程用了42.5 分钟。【例 3】【分析与解】由于要求速度的比例关系,所以可将原定速度设13,那么前半路程速度为11,然后假设总路程的一半的长度为143,那么原定总时间为143×2÷
3、; 1322而前半段时间为143÷ 11 13 ,所以后半段时间为22 13 9,后半段速度为 143÷ 9 143 所以所求比例为 143 :1311: 999【评析】因为求的是“比” ,所以可充分运用“特殊值法”。【例 4】【分析与解】 设总路程中上坡的路程为“ 1 ”个单位那么下坡的路程也为“1”个单位,上坡所花的时间为 1 ,下坡所花的时间为1 ,上坡下坡所花的总时间为111,所以在坡路上的平均速度为3636214 ,学生们在平路和坡地上的平均速度都等于4 千米小时, 所以他们整个春游中的平均速度为422千米小时,6 个小时中一共行走了6×4=24(千米小
4、时).【 2 倍关系解线段多次相遇问题】两段同时出发的线段多次相遇问题: 全程数,各自的时间,各自所行路程的2 倍关系解题。相遇次数全程个数再走全程数111232352472n2n-12环形跑道: 每相遇一次,总路程多了一圈,不存在以上关系。所以如果速度和不变,则每相遇一次所用时间相同 。【例 1】【分析与解】画图易知,利用路程的2 倍关系 ,第二次相遇的地点距离B 点:( 30× 2 10)÷ 2=25 公里;所以( 1)A ,B 两地距离30 10 25 =65 公里;( 2)甲,乙的速度比为30: 35 = 6 :7【例 2】【分析与解】2 倍关系 ,确定第二次相遇点
5、在第一次相遇点的左还是右,最后得到答案为,可解得答案为 80千米。【例 3】【分析与解】按2 倍关系,确定第二次相遇点在第一次相遇点的左还是右,最后得到答案为4:5【例 4】【提示】假设 A 、B 两地相距单位“ 1”,确定第一次相遇时,甲、乙两人的行程甲、乙两人第四次相遇时行程共为2× 417,第五次相遇时行程共为2×5 1 9 .【解】 假设 A 、B两地相距单位“ 1”,甲乙两人第四次相遇时行程共为2× 4 1 7,第五次相遇时行程共 为2 × 5 l 9 第四次相遇时甲走了 ( 241)32121 ,第五次相遇时甲走了371010( 2 51)3
6、72727 ,可见两次相遇地点相距713,所以 A 、B 全程两地为 150÷3=25031010101055(米)【相遇次数】在求一段时间内的相遇次数常用时间折线图求解。例如:假设A 、B 两地相距6千米,甲从A 地出发在A、 B 两地间往返运动,速度为6 千米小时,乙从B 地出发在A 、B 两地间往返运动,速度为4 千米小时我们可以依次求出甲、乙每次到达A 地或 B 地的时间折线示意图能将整个行程过程比较清晰地呈现出来( 1)相遇次数:迎面相遇与追及相遇。(2)相遇点距两端的距离远近。 ( 3)周期。( 4)迎面相遇时所行全程数:1、3、5、, 全程数 =2 倍迎面相遇次数1。【
7、例 1】【分析与解】作图法,分别算出两人到达两端的时间,最后可得共相遇5× (12 ÷ 3)=20 次。【例 2】【分析与解】 根据题意 , 两车所行速度比为 30 20=3 2, 所以两车各行完一个单程所需要时间比为 2 3, 可作两车运动的折线图如下 :2468101214161820A2468101214161820B由图可知 , 每五次相遇时, 共行了十个单程程, 正好是一个周期,( 这个周期应看作包括五相遇点, 第六次应算作下一个周期.) 所以每行两个单程相遇一次,所以根据甲乙速度和与时间, 求出甲乙共行了多少个单程:从早上 5:00 到晚上 6:00, 共行了
8、13 时,(30+20) × 13÷ 4=162 ( 个 ) 2(千米), 162÷ 2=81(次)【例 3】【分析与解】甲、乙的运行图如下,图中实线为甲,虚线为乙。图上每一格代表 5 分钟。由上图知,第 1100× 4÷( 60+160) =20 分。距 B 地2 次相遇时距B 地最近。第60× 20-1100=100 米。2 次相遇时两人共行两个来回,用【评析】行程问题的时间折线图在两人两地多次往返问题中常常用到.【例 4】【分析与解】当两人的行程和分别为100 米, 300 米, 500 米,时,恰好是他们第1 次,第 2 次,
9、第 3次,相遇, 10 分钟两人共跑了(3 2)× 60× 103000(米),即 300÷ 10030 个全程我们知道两人同时从两地相向而行,他们总是在奇数个全程时相遇(不包括追上)1,3,5,7 ,29共 15 次【评析】这道题只是求相遇次数(不含追上),所以可以这样处理,如果含追上只能用时间拆线图。【例 5】【分析与解】运用“折线示意图”来解从“8: 30”引出的线段与其他线段一共有5 个端点,所以8:30从 A 站发出的车一共遇到5 辆从 B 站发出的车,同样的9:00 从 A 站发出的车一共遇到6 辆从 B 站发出的车, 11: 00 从 A 站发出的车
10、一共遇到3 辆从 B 站发出的车【评析】运用“折线示意图”能很好地说明整个行程过程【多人追及与相遇问题】画关键时刻示意图,分析两两是追及还是相遇问题,步步求解。【例 1】【分析】:画图如下:结合上图,如果我们设甲、乙在点C 相遇时,丙在D 点,则因为过15 分钟后甲、丙在点E 相遇,所以 C、 D 之间的距离就等于(40 60)× 15=1500(米)。又因为乙和丙是同时从点B 出发的,在相同的时间内,乙走到C 点,丙才走到D 点,即在相同的时间内乙比丙多走了1500 米,而乙与丙的速度差为50-40 10(米 / 分),这样就可求出乙从B 到 C 的时间为1500÷10
11、150(分钟),也就是甲、乙二人分别从A、B 出发到 C 点相遇的时间是150 分钟,因此,可求出 A、 B 的距离。【解】:甲和丙15 分钟的相遇路程:( 40 60)× 15=1500(米)。乙和丙的速度差:50-40=10(米 / 分钟)。甲和乙的相遇时间:1500÷10=150(分钟)。A、 B 两地间的距离:( 50 60)× 150 16500(米) 16.5 千米。答: A、 B 两地间的距离是16.5 千米 .【评析】对于多人行程,一般的解题思路仍然是从两人之间“抓等量”,不过因为是多人,请注意某两人之间的等量与另外两人之间的等量的同一关系。具体来
12、说,本题的要点在于:甲乙两人的相遇时间=乙丙两人的追及时间,乙丙两人的路程差(这是追及关系的标志)=甲丙两人的路程和.总体来说,要看出本题的两次相遇和一次追及关系。【例 2】【分析与解】甲与丙行驶7 分钟的距离差为(1000 800 ) × 7 1400(米),也就是说当甲追上骑摩托车人的时候,丙离骑摩托车人还有1400 米,丙用了147 7(分)追上了这1400 米,所以丙车和骑摩托车人的速度差为1400÷( 14 7) 200(米分),骑摩托车人的速度为800200 600(米分),三辆车与骑摩托车人的初始距离为(1000 600)× 7 = 2800(米)
13、, 乙车追上这2800 米一共用了8 分钟,所以乙车的速度为2800÷ 8 600950(米分) .【例 3】【分析与解】火车速度为30× 1000÷ 60 500(米分)要求军人与农民何时相遇,必须先知道军人和农民的速度由题目条件可知,从军人被火车头追上到车尾离他而去,一共有15 秒,这十五秒可以看做车尾追及军人的时间,所以根据追及公式,火车速度减去军人速度等于110÷( 15 60) 440(米分),所以军人的速度为500440 60 (米分)同理我们还可以求出农民的速度110÷( 12÷ 60) 50050(米分) . 8 点
14、06 分火车与农民相遇,所以 8 点时火车头与农民的距离为( 500 + 50)× 6 3300(米) ,军人与农民相遇需要3300÷( 60 50) 30(分)此时的时间为8 点 30 分【环形跑道问题】【例 1】【分析与解】 当甲、乙之间的距离等于 300 米时,即甲追上乙一条边( 300 米)需 300÷( 90 70) 15 (分),此时甲走了 90× 15÷ 300 4.5(条)边,所以甲、乙不在同一条边上,甲看不到乙但是甲只要再走 0.5 条边就可以看到乙了,即甲从出发走5 条边后可看到乙,共需30059016 2 (分)即 16
15、分340 秒【例 2】【分析与解】 假设甲与乙休息次数相同 (即第 (1) 种情况 )。设甲不算休息共行了 t 秒。根据甲比乙多行80 米,可得方程1351201355(秒 ),因为 320 ÷35560tt 80 ,解得 t=320( 秒)。甲走一条边需 80÷=35=9,所606099以甲正好走了9 条边,假设成立。甲休息了9-1=8( 次 ),甲追上乙共需320+5× 8=360( 秒 )=6 分钟。甲走了9 条边,追上的位置在B 点。【补充】【提示】“逗号” 的周长与外圆的周长相等( 2 r)都是 40 厘米。所以可以假设两只蚂蚁在同一段跑道上,求出相遇点
16、后再进行判断乙比甲多爬半圈,即 20 厘米需 20÷( 5 3) l0(秒),多爬 1.5 圈需 60÷( 5 3) 30(秒) .【分析与解】 “逗号”的周长与外圆的周长相等,都是40 厘米,所以可以假设两只蚂蚁在同一段跑道上,乙比甲多爬半圈,即 20 厘米需 20÷( 53) 10(秒),多爬 1.5 圈需 60÷( 5 3) 30(秒)第一次乙比甲多爬 20 厘米时,甲爬了 30 厘米,位于圆内的弧线上,而乙位于外圆周上两只蚂蚁没有相遇乙比甲多爬 60厘米需 60÷( 5 3) 30(秒)此时两只蚂蚁都在外圆周上,是第一次相遇,乙爬了5&
17、#215; 30 150(厘米) .【例 3】【分析与解】第一次在B1 点相遇,甲、乙共跑了400 厘米 ( 见左下图 ) 。第二次在B2 点相遇,甲、乙共跑了700 厘米 ( 见右上图 ) 。同理,第三次相遇,甲、乙又共跑了700 厘米。共用时间(400+700+700)÷(6+4)=180( 秒 ) ,甲跑了6×180=1080(厘米 ) ,距 A 点400×3 1080=120( 厘米 ) 。【评析】多次相遇问题时,有一种常见思考方法分段考虑。【例 4】【分析与解】分析各个时间段甲、乙两人的行程C 表示甲、乙第一次相遇的地点因为乙从B地到C地和从 C 地又返
18、回 B 地时所花的时间相等,而整个过程中甲恰好转一圈回到A 地,所以甲、乙在C 地第一次相遇时,甲刚好走了半圈C 地距 B 地 180 90 90(米)而甲从 A 地到 C 地用了 180÷20 9(分),所以乙每分行驶 90÷ 9 10(米)甲、乙第二次相遇,即分别同时从A 、B 地出发相向而行相遇还需要90÷( 20 +10) 3(分钟) .【例 5】【分析与解】如下图,长方形 ABCD中 AB BC=5 4。 将 AB, CD边各 5 等分, BC, DA边各 4 等分。设每份长度为 a。由于两只蚂蚁第一次在 B 点相遇,所以第一只蚂蚁走 5a, 第二只蚂蚁
19、走 4a. 接下来,第一只蚂蚁由 B 走到 E 点时,第二只蚂蚁由B 走到 F 点,再接下来,当第一只蚂蚁由E 走到 G点时,第二只蚂蚁由F 也走到 G,这时,两只蚂蚁第二次相遇在DA边上。EDCGAB【例 6】【分析与解 1】先来详细讨论一下: ( 1)先考虑 B 与 C 这两只爬虫,什么时候能到达同一位置.开始时 ,他们相差 30 厘米 , 每秒钟 B 能追上 C 的路程为5-3=2( 厘米 ); 30÷ (5-3)=15( 秒 ). 因此 ,15 秒后 B 与 C 到达同一位置 . 以后再要到达同一位置 ,B 要追上 C 一圈 , 也就是追上90 厘米 , 需要 90÷
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