全国通用版2019版高考数学一轮复习第六单元解三角形学案文201806133171.doc
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1、第六单元 解三角形教材复习课“解三角形”相关基础知识一课过正弦定理、余弦定理过双基1正弦定理2R,其中R是三角形外接圆的半径由正弦定理可以变形:(1)abcsin_Asin_Bsin_C;(2)a2Rsin A,b2Rsin B,c2Rsin C.2余弦定理a2b2c22bccos_A,b2a2c22accos B,c2a2b22abcos_C.余弦定理可以变形:cos A,cos B,cos C.1设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a2,c2 ,cos A,且bc,则b()A3B2C2 D.解析:选C由a2b2c22bccos A,得4b2126b,解得b2或4,bc,b2.
2、2在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b2c2a2bc,则角A的大小为()A30 B60C120 D150解析:选B由余弦定理可得b2c2a22bccos A,又因为b2c2a2bc,所以cos A,则A60.3在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若asin Absin Bcsin C,则ABC的形状是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定解析:选C根据正弦定理可得a2b2c2.由余弦定理得cos C0,所以角C是钝角,故选C.4(2018郑州质量预测)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,且(bc)(sin Bsin C)(ac)sin
3、A,则角B的大小为()A30 B45C60 D120解析:选A由正弦定理及(bc)(sin Bsin C)(ac)sin A,得(bc)(bc)(ac)a,即b2c2a2ac,所以a2c2b2ac,又因为cos B,所以cos B,所以B30.5在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcos Cbsin Ca0,则B_.解析:由正弦定理可得sin Bcos Csin Bsin Csin Asin(BC)sin Bcos Csin Ccos B,则sin Bsin Csin Ccos B,又sin C0,所以tan B,则B30.答案:30清易错1由正弦定理解已知三角形的两边和其中
4、一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断2利用正、余弦定理解三角形时,要注意三角形内角和定理对角的范围的限制1在ABC中,若a18,b24,A45,则此三角形解的情况是()A无解 B两解C一解 D不确定解析:选B,sin Bsin Asin 45.又ab,B有两个解,即此三角形有两解2设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a,sin B,C,则b_.解析:在ABC中,sin B,0B,B或B.又BC1.角B不存在,即满足条件的三角形不存在3在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c2a,b4,cos B.则c的值为()A4 B2C5 D6解析:选Ac2a,b4,cos
5、B,由余弦定理得b2a2c22accos B,即16c2c2c2c2,解得c4.4已知ABC中,内角A,B,C所对边分别为a,b,c,若A,b2acos B,c1,则ABC的面积等于()A. B.C. D.解析:选B由正弦定理得sin B2sin Acos B,故tan B2sin A2sin,又B(0,),所以B,又AB,则ABC是正三角形,所以SABCbcsin A11.5(2018湖南四校联考)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(a2b2c2)tan Cab,则角C的大小为()A.或 B.或C. D.解析:选A由题意知,cos C,sin C,又C(0,),C或.6已知
6、A,B两地间的距离为10 km,B,C两地间的距离为20 km,现测得ABC120,则A,C两地间的距离为()A10 km B10 kmC10 km D10 km解析:选D如图所示,由余弦定理可得,AC210040021020cos 120700,AC10(km)7(2018贵州质检)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c2(ab)26,C,则ABC的面积是()A3 B.C. D3解析:选Cc2(ab)26,c2a2b22ab6.C,c2a2b22abcos a2b2ab.由得ab60,即ab6.SABCabsin C6.8一艘海轮从A处出发,以每小时40 n mile的速度
7、沿南偏东40的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65,那么B,C两点间的距离是()A10 n mileB10 n mileC20 n mile D20 n mile解析:选A画出示意图如图所示,易知,在ABC中,AB20,CAB30,ACB45,根据正弦定理得,解得BC10.故B,C两点间的距离是10 n mile.二、填空题9在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a2,cos C,3sin A2sin B,则c_.解析:因为3sin A2sin B,所以由正弦定理可得3a2b,则b3,由余弦
8、定理可得c2a2b22abcos C4922316,则c4.答案:410在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若角A,B,C成等差数列,且边a,b,c成等比数列,则ABC的形状为_解析:在ABC中,角A,B,C成等差数列,2BAC,由三角形内角和定理,可得B,又边a,b,c成等比数列,b2ac,由余弦定理可得b2a2c22accos B,aca2c2ac,即a2c22ac0,故(ac)20,可得ac,所以ABC的形状为等边三角形答案:等边三角形11已知ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且ax,b2,B45,若三角形有两解,则x的取值范围为_解析:由ACb2,要使三角形
9、有两解,就是要使以C为圆心,以2为半径的圆与AB有两个交点,当A90时,圆与AB相切,只有一解;当A45时,交于B点,也就是只有一解,所以要使三角形有两解,需满足45A90,即sin A1,由正弦定理可得ax2sin A,所以2xb,a5,c6,sin B.(1)求b和sin A的值;(2)求sin的值解(1)在ABC中,因为ab,故由sin B,可得cos B.由已知及余弦定理,得b2a2c22accos B13,所以b.由正弦定理,得sin A.所以b的值为,sin A的值为.(2)由(1)及ac,得cos A,所以sin 2A2sin Acos A,cos 2A12sin2A.故sins
10、in 2Acoscos 2Asin.方法技巧应用正、余弦定理的解题策略(1)解三角形时,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到(2)三角形解的个数的判断:已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断即时演练1(2017山东高考)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC为锐角三角形,且满足sin B(12cos C)2sin Acos Ccos Asin C,则下列
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