全国通用版2019版高考数学一轮复习鸭部分不等式选讲学案文201806133235.doc
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1、不等式选讲第1课绝对值不等式 过双基1绝对值三角不等式定理1:如果a,b是实数,则|ab|a|b|,当且仅当ab0时,等号成立定理2:如果a,b,c是实数,那么|ac|ab|bc|,当且仅当(ab)(bc)0时,等号成立2绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解集不等式a0a0a0|x|aR(2)|axb|c,|axb|c(c0)型不等式的解法:|axb|ccaxbc;|axb|caxbc或axbc.(3)|xa|xb|c,|xa|xb|c(c0)型不等式的解法:利用绝对值不等式的几何意义求解;利用零点分段法求解;构造函数,利用函数的图象求解1不等式|x1|x2|1的解集是_解析:
2、f(x)|x1|x2|当1x2时,由2x11,解得1x1,所以不等式的解集为.答案:x|x12若存在实数x使|xa|x1|3成立,则实数a的取值范围是_解析:|xa|x1|(xa)(x1)|a1|,要使|xa|x1|3有解,可使|a1|3,3a13,2a4.答案:2,43若不等式|kx4|2的解集为,则实数k_.解析:由|kx4|22kx6.不等式的解集为,k2.答案:24设不等式|x1|x2|k的解集为R,则实数k的取值范围为_解析:|x1|x2|3,3|x1|x2|3,k(|x1|x2|)的最小值,即k3.答案:(,3)清易错1对形如|f(x)|a或|f(x)|a型的不等式求其解集时,易忽
3、视a的符号直接等价转化造成失误2绝对值不等式|a|b|ab|a|b|中易忽视等号成立的条件如|ab|a|b|,当且仅当ab0时等号成立,其他类似推导1设a,b为满足ab|ab|B|ab|ab|C|ab|a|b| D|ab|a|b|解析:选Bab|ab|.2若|x1|1,|y2|1,则|x2y1|的最大值为_解析:|x2y1|(x1)2(y2)2|x1|2|y2|25.答案:5绝对值不等式的解法典例设函数f(x)|x1|x1|a(aR)(1)当a1时,求不等式f(x)0的解集;(2)若方程f(x)x只有一个实数根,求实数a的取值范围解(1)依题意,原不等式等价于:|x1|x1|10,当x0,即1
4、0,此时解集为;当1x1时,x1(x1)10,即x,此时1时,x1(x1)10,即30,此时x1.综上所述,不等式f(x)0的解集为.(2)依题意,方程f(x)x等价于a|x1|x1|x,令g(x)|x1|x1|x.g(x).画出函数g(x)的图象如图所示,要使原方程只有一个实数根,只需a1或a时,原不等式转化为4x6x;当x时,原不等式转化为26x;当x时,原不等式转化为4x6x.综上知,原不等式的解集为.法二:原不等式可化为3,其几何意义为数轴上到,两点的距离之和不超过3的点的集合,数形结合知,当x或x时,到,两点的距离之和恰好为3,故当x时,满足题意,则原不等式的解集为.2解不等式|x1
5、|x5|2.解:当x1时,不等式可化为(x1)(5x)2,即42,显然成立,所以此时不等式的解集为(,1);当1x5时,不等式可化为x1(5x)2,即2x62,解得x5时,不等式可化为(x1)(x5)2,即40的解集(1)求M;(2)求证:当x,yM时,|xyxy|15.解:(1)f(x)当x0,得x3,舍去;当2x时,由3x10,得x,即时,由x30,得x3,即x3,综上,M.(2)证明:x,yM,|x|3,|y|3,|xyxy|xy|xy|x|y|xy|x|y|x|y|333315.绝对值不等式的综合应用典例(2017全国卷)已知函数f(x)|x1|x2|.(1)求不等式f(x)1的解集;
6、(2)若不等式f(x)x2xm的解集非空,求m的取值范围解(1)f(x)当x1时,f(x)1无解;当1x2时,由f(x)1,得2x11,解得1x2;当x2时,由f(x)1,解得x2.所以f(x)1的解集为x|x1(2)由f(x)x2xm,得m|x1|x2|x2x.而|x1|x2|x2x|x|1|x|2x2|x|2,且当x时,|x1|x2|x2x.故m的取值范围为.方法技巧(1)研究含有绝对值的函数问题时,根据绝对值的定义,分类讨论去掉绝对值符号,将原函数转化为分段函数,然后利用数形结合解决问题,这是常用的思想方法(2)f(x)a恒成立f(x)maxa.f(x)a恒成立f(x)mina.即时演练
7、已知函数f(x)|xa|2x1|.(1)当a2时,求f(x)30的解集;(2)当x1,3时,f(x)3恒成立,求a的取值范围解:(1)当a2时,由f(x)30,可得|x2|2x1|3,或或解得4x;解得x0.(1)当a1时,求不等式f(x)1的解集;(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围解:(1)当a1时,f(x)1化为|x1|2|x1|10.当x1时,不等式化为x40,无解;当1x0,解得x0,解得1x1的解集为.(2)由题设可得f(x)所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A,B(2a1,0),C(a,a1),ABC的面积为(a1)2.由题设得
8、(a1)26,故a2.所以a的取值范围为(2,)3(2016江苏高考)设a0,|x1|,|y2|,求证:|2xy4|a.证明:因为|x1|,|y2|,所以|2xy4|2(x1)(y2)|2|x1|y2|2a.4(2013全国卷)已知函数f(x)|2x1|2xa|,g(x)x3.(1)当a2时,求不等式f(x)g(x)的解集;(2)设a1,且当x时,f(x)g(x),求a的取值范围解:(1)当a2时,不等式f(x)g(x)可化为|2x1|2x2|x30.设函数y|2x1|2x2|x3,则y其图象如图所示从图象可知,当且仅当x(0,2)时,y0.所以原不等式的解集是x|0x2(2)当x时,f(x)
9、1a.不等式f(x)g(x)化为1ax3.所以xa2对x都成立故a2,即a.从而a的取值范围是.1(2018唐山模拟)已知函数f(x)|2xa|x1|.(1)当a1时,解不等式f(x)3;(2)若f(x)的最小值为1,求a的值解:(1)因为f(x)|2x1|x1|且f(1)f(1)3,所以f(x)3的解集为x|1x1(2)|2xa|x1|x1|0,当且仅当(x1)0且x0时,取等号所以1,解得a4或0.2已知函数f(x)|2x1|,g(x)|x1|a.(1)当a0时,解不等式f(x)g(x);(2)若对任意xR,f(x)g(x)恒成立,求实数a的取值范围解:(1)当a0时,由f(x)g(x),
10、得|2x1|x1|,两边平方整理得x22x0,解得x0或x2.所以原不等式的解集为(,20,)(2)由f(x)g(x),得a|2x1|x1|.令h(x)|2x1|x1|,则h(x)故h(x)minh.故所求实数a的取值范围为.3已知函数f(x)|2xa|2x1|,aR.(1)当a3时,求关于x的不等式f(x)6的解集;(2)当xR时,f(x)a2a13,求实数a的取值范围解:(1)当a3时,不等式f(x)6可化为|2x3|2x1|6.当x时,不等式可化为(2x3)(2x1)4x46,解得x时,不等式可化为(2x3)(2x1)4x46,解得1时,等价于a1a2a13,解得1a1,所以a的取值范围
11、为,14已知函数f(x)|xa|2x1|.(1)当a1时,解不等式f(x)3;(2)若f(x)2ax在a,)上有解,求a的取值范围解:(1)当a1时,f(x)3化为|x1|2x1|3,则或或解得1x2或k211,解得k或k或k0,实数k的取值范围为(,)0(,)6设函数f(x)|ax1|.(1)若f(x)2的解集为6,2,求实数a的值;(2)当a2时,若存在xR,使得不等式f(2x1)f(x1)73m成立,求实数m的取值范围解:(1)显然a0,当a0时,解集为,则6,2,无解;当a0时,解集为,则2,6,得a.综上所述,a.(2)当a2时,令h(x)f(2x1)f(x1)|4x1|2x3|由此
12、可知,h(x)在上单调递减,在上单调递增,在上单调递增,则当x时,h(x)取到最小值,由题意知,73m,解得m,故实数m的取值范围是.7(2018九江模拟)已知函数f(x)|x3|xa|.(1)当a2时,解不等式f(x);(2)若存在实数a,使得不等式f(x)a成立,求实数a的取值范围解:(1)a2,f(x)|x3|x2|f(x)等价于或或解得x3或x3,不等式的解集为.(2)由不等式性质可知f(x)|x3|xa|(x3)(xa)|a3|,若存在实数x,使得不等式f(x)a成立,则|a3|a,解得a,实数a的取值范围是.8已知函数f(x)|2x1|x|a,(1)若a1,求不等式f(x)0的解集
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