最新人教版九年级数学上册知识点总结名师优秀教案.doc
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1、人教版九年级数学上册知识点总结第二十一章 二次根式 21.1 二次根式 知识点一 二次根式的概念 (1) 一般地,我们把形如 根。其中“a(a?0)的式子叫做二次根式。二次根式a的实质是一个非负数a的算术平方”叫做二次根号。 (2) 正确理解二次根式的概念,要把握以下几点: ? 二次根式是在形式上定义的,必须含有二次根号“ 是二次根式。 ? 被开方数a必须是非负数,即a?0.如 ”的根指数为2,即“”。如4是二次根式,虽然4=2,但2不就不是二次根式,但式子是二次根式。 ”,注意,不可误认为根指数是? “”,一般省略根指数2,写作“ “1”或“0”。 提示:判断是不是二次根式,一看形式,二看数
2、值,即形式上要有二次根号,被开方数要是非负数。 知识点二 二次根式的性质 (1)a(a?0)既是二次根式,又是非负数的算术平方根,所以它一定是非负数,即a?(a?0),我们把这个性质叫做二次根式的非负性。 (2)(a)2 = a (a?0),这个性质可以正用,也可以逆用,正用时常用于二次根式的化简和计算,可以去掉根号;逆用时可以把一个非负数写成完整平方数的形式,常用于多项式的因式分解。 (3)a2 = a (a?0),这个性质可以正用,也可以逆用,正用时用于二次根式的化简,即当被开方数能化为完全平方数(式)时,就可以利用该性质去掉根号;逆用时可以把一个非负数化为一个二次根式。 知识点三 代数式
3、 定义:用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数和表示数的字母连接起来的式子,叫做代数式。 21.2 二次根式的乘除 知识点一 二次根式的乘法法则 一般地,对二次根式的乘法规定: 根指数不变。 知识点二 积的算术平方根的性质 a?b=ab(a?0,b?0),即二次根式相乘,把被开方数相乘, ab=a?b(a?0,b?0),积的算术平方根等于积中各个因式的算术平方根的积。 知识点三 二次根式的除法法则 一般地,对二次根式的除法规定: 根指数不变。 知识点四 商的算术平方根的性质 ab=ab(a?0,b,0),即两个二次根式相除,把被开方数相除, ab=a b(a?0,b,0)
4、,即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 知识点五 最简二次根式 必须满足以下两个条件: (1) (2) 被开方数不含分母; 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 21.3 二次根式的加减 知识点一 二次根式的加减 二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式合并,二次根式加减法的实质是将被开方数相同的二次根式合并,合并时只把系数相加减,根指数和被开方数不变。 知识点二 二次根式的混合运算 合运算顺序相同:先乘方开方,再 (1) 二次根式的混合运算顺序与整式的混乘除,最后加减,有括号 的先算括号里面的。 (2) 在二次根式的运算中乘法法则
5、和乘法公式仍然适用。 22.1 一元二次方程 知识点一 一元二次方程的定义 等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程。 注意一下几点: ? 只含有一个未知数;?未知数的最高次数是2;?是整式方程。 知识点二 一元二次方程的一般形式 一般形式:ax2 + bx + c = 0(a ? 0).其中,ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项。 知识点三 一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 22.2 降次
6、解一元二次方程 22.2.1 配方法 知识点一 直接开平方法解一元二次方程 (1) 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方,另一边是非负数,可以直接开平方。一般地, 对于形如x=a(a?0)的方程,根据平方根的定义可解得x1= (2) 直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m?0)形式的方程,如果p?0,就可以利用直接开 平方法。 (3) 用直接开平方法求一元二次方程的根,要正确运用平方根的性质,即正数的平方根有两个,它们 互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。 (4) 直接开平方法解一元二次方程的步骤是:?移项;?使二次项系数或含有未知数的式子的平方项 ;?两边直
7、接开平方,使原方程变为两个一元二次方程;?解一元 的系数为1一次方程,求出原方程的根。 知识点二 配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法,配方的目的是降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为:一移、二除、三配、四开。 (1) (2) (3) (4) 把常数项移到等号的右边; 方程两边都除以二次项系数; 方程两边都加上一次项系数一半的平方,把左边配成完全平方式; 若等号右边为非负数,直接开平方求出方程的解。 22.2.2 公式法 知识点一 公式法解一元二次方程 (1) 一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a?
8、0),如果b2-4ac?0,那么方程的两个根为 ,这个公式叫做一元二次方程的求根公式,利用求根公式,我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解,这种解方程的方法叫做公式法。 (2) 一元二次方程求根公式的推导过程,就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a?0) 的过程。 (3) 公式法解一元二次方程的具体步骤: ? 方程化为一般形式:ax2+bx+c=0(a?0),一般a化为正值 ? 确定公式中a,b,c的值,注意符号; ? 求出b2-4ac的值; ? 若b2-4ac?0,则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解,若b2-4ac,0,则方程无实数根。 知
9、识点二 一元二次方程根的判别式 式子b-4ac叫做方程ax+bx+c=0(a?0)根的判别式,通常用希腊字母?表示它,即?=b-4ac. ?,0,方程ax+bx+c=0(a?0)有两个不相等的实数根 一元二次方程?=0,方程ax2+bx+c=0(a?0)有两个相等的实数根 根的判别式 ?,0,方程ax2+bx+c=0(a?0)无实数根2222 22.2(3 因式分解法 知识点一 因式分解法解一元二次方程 (1) 把一元二次方程的一边化为0,而另一边分解成两个一次因式的积,进而转化为求两个求一元一 次方程的解,这种解方程的方法叫做因式分解法。 (2) 因式分解法的详细步骤: ? 移项,将所有的项
10、都移到左边,右边化为0; ? 把方程的左边分解成两个因式的积,可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式; ? 令每一个因式分别为零,得到一元一次方程; ? 解一元一次方程即可得到原方程的解。 知识点二 用合适的方法解一元一次方程 22.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 若一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x1,x2,则有x1+x2=-p,x1x2=q. 若一元二次方程a2x+bx+c=0(a?0)有两个实数根x1,x2,则有x1+x2=, 22.3 实际问题与一元二次方程 知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤: (1)(2) (3) (4) (5) (6) (1) 审:是
11、指读懂题目,弄清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量以及它们之间的等量关系。 设:是指设元,也就是设出未知数。 列:就是列方程,这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义,然后列代数式表示这个相等关系中的各个量,就得到含有未知数的等式,即方程。 解:就是解方程,求出未知数的值。 验:是指检验方程的解是否保证实际问题有意义,符合题意。 答:写出答案。 数字问题 知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型 三个连续整数:若设中间的一个数为x,则另两个数分别为x-1,x+1。 三个连续偶数(奇数):若中间的一个数为x,则另两个数分别为x-2,x+2。 三位数的表示方法:设百位、
12、十位、个位上的数字分别为a,b,c,则这个三位数是100a+10b+c. (2) 增长率问题 设初始量为a,终止量为b,平均增长率或平均降低率为x,则经过两次的增长或降低后的等量关系为a ()2=b。 (3)利润问题 利润问题常用的相等关系式有:?总利润=总销售价-总成本;?总利润=单位利润总销售量;?利润=成本利润率 (4)图形的面积问题 根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系,将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来,建立一元二次方程。 第二十三章 旋转 23.1 图形的旋转 知识点一 旋转的定义 在平面内,把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度,就叫做图形的旋转,点O叫做旋转
13、中心, 转动的角叫做旋转角。 我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。 知识点二 旋转的性质 旋转的特征:(1)对应点到旋转中心的距离相等;(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;(3)旋转前后的图形全等。 理解以下几点: (1) 图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。(2)对应点到旋转中心的距离相等,对 )图形的大小和形状都没有发生改变,只改变了 应线段相等,对应角相等。(3图形的位置。 知识点三 利用旋转性质作图 旋转有两条重要性质:(1)任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;(2)对应点到旋转中心的距离相等,它是利用旋转的性质作图的关键。步骤可
14、分为: ? 连:即连接图形中每一个关键点与旋转中心; ? 转:即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度(作旋转角) ? 截:即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离,得到各点的对应点; ? 接:即连接到所连接的各点。 23.2 中心对称 知识点一 中心对称的定义 中心对称:把一个图形绕着某一个点旋转180?,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心。 注意以下几点: 中心对称指的是两个图形的位置关系;只有一个对称中心;绕对称中心旋转180?两个图形能够完全重合。 知识点二 作一个图形关于某点对称的图形 要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形,
15、关键是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状连接起来,即可得出成中心对称图形。 知识点三 中心对称的性质 有以下几点: (1) (2) (3) 关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心,并且都被对称中心平分; 关于中心对称的两个图形能够互相重合,是全等形; 关于中心对称的两个图形,对应线段平行(或共线)且相等。 知识点四 中心对称图形的定义 把一个图形绕着某一个点旋转180?,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心。 知识点五 关于原点对称的点的坐标 在平面直角坐标系中,如果两个点关于原点对称,它们的
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