最新人教版高一数学必修一各章知识点总结名师优秀教案.doc
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1、人教版高一数学必修一各章知识点总结 一、集合与简易逻辑: 一、理解集合中的有关概念 (1)集合中元素的特征: 确定性 , 互异性 , 无序性 。 (2)集合与元素的关系用符号=表示。 (3)常用数集的符号表示:自然数集 ;正整数集 ;整数集 ;有理数集 、实数集 。 (4)集合的表示法: 列举法 , 描述法 , 韦恩图 。 (5)空集是指不含任何元素的集合。 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。 二、函数 一、映射与函数: (1)映射的概念: (2)一一映射:(3)函数的概念: 二、函数的三要素: 相同函数的判断方法:?对应法则 ;?定义域 (两点必须同时具备) (1)函数解析式的求
2、法: ?定义法(拼凑):?换元法:?待定系数法:?赋值法: (2)函数定义域的求法: ?含参问题的定义域要分类讨论; ?对于实际问题,在求出函数解析式后;必须求出其定义域,此时的定义域要根据实际意义来确定。 (3)函数值域的求法: ?配方法:转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值;常转化为型如: 的形式; ?逆求法(反求法):通过反解,用 来表示 ,再由 的取值范围,通过解不等式,得出 的取值范围;常用来解,型如: ; ?换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想; ?三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域; ?基本不等式法:转化成型如: ,利用平均值不等
3、式公式来求值域; ?单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域。 ?数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域。 三、函数的性质: 函数的单调性、奇偶性、周期性 单调性:定义:注意定义是相对与某个具体的区间而言。 判定方法有:定义法(作差比较和作商比较) 导数法(适用于多项式函数) 复合函数法和图像法。 应用:比较大小,证明不等式,解不等式。 奇偶性:定义:注意区间是否关于原点对称,比较f(x) 与f(-x)的关系。f(x) ,f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数; f(x)+f(-x)=0 f(x) =,f(-x) f(x)为奇函数。 判别方法:定义
4、法, 图像法 ,复合函数法 应用:把函数值进行转化求解。 周期性:定义:若函数f(x)对定义域内的任意x满足:f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。 a),则2a为函数f(x) 其他:若函数f(x)对定义域内的任意x满足:f(x+a)=f(x,的周期. 应用:求函数值和某个区间上的函数解析式。 四、图形变换:函数图像变换:(重点)要求掌握常见基本函数的图像,掌握函数图像变换的一般规律。 常见图像变化规律:(注意平移变化能够用向量的语言解释,和按向量平移联系起来思考) 平移变换 y=f(x)?y=f(x+a),y=f(x)+b 注意:(?)有系数,要先提取系数。如:把函数y,f(2x
5、)经过 平移得到函数y,f(2x,4)的图象。 (?)会结合向量的平移,理解按照向量 (m,n)平移的意义。 对称变换 y=f(x)?y=f(,x),关于y轴对称 y=f(x)?y=,f(x) ,关于x轴对称 y=f(x)?y=f|x|,把x轴上方的图象保留,x轴下方的图象关于x轴对称 y=f(x)?y=|f(x)|把y轴右边的图象保留,然后将y轴右边部分关于y轴对称。(注意:它是一个偶函数) 伸缩变换:y=f(x)?y=f(x), y=f(x)?y=Af(x+)具体参照三角函数的图象变换。 一个重要结论:若f(a,x),f(a+x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称; 五、反函数:
6、 (1)定义: (2)函数存在反函数的条件: (3)互为反函数的定义域与值域的关系: (4)求反函数的步骤:?将 看成关于 的方程,解出 ,若有两解,要注意解的选择;?将 互换,得 ;?写出反函数的定义域(即 的值域)。 (5)互为反函数的图象间的关系: (6)原函数与反函数具有相同的单调性; (7)原函数为奇函数,则其反函数仍为奇函数;原函数为偶函数,它一定不存在反函数。 七、常用的初等函数: (1)一元一次函数: (2)一元二次函数: 一般式 两点式 顶点式 二次函数求最值问题:首先要采用配方法,化为一般式, 有三个类型题型: (1)顶点固定,区间也固定。如: (2)顶点含参数(即顶点变动
7、),区间固定,这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内,何时在区间之外。 (3)顶点固定,区间变动,这时要讨论区间中的参数( 在区间 或 上有一根 等价命题 在区间 上有两根 在区间 上有两根注意:若在闭区间 讨论方程 有实数解的情况,可先利用在开区间 上实根分检查端点的情况。 布的情况,得出结果,在令 和(3)反比例函数: (4)指数函数: 指数函数:y= (a>o,a?1),图象恒过点(0,1),单调性与a的值有关,在解题中,往往要对a分a>1和0<a<1两种情况进行讨论,要能够画出函数图象的简图。 (5)对数函数: 对数函数:y= (a>o,a?1) 图象恒过点(
8、1,0),单调性与a的值有关,在解题中,往往要对a分a>1和0<a<1两种情况进行讨论,要能够画出函数图象的简图。 注意: (1)比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数,若底数不相同时转化为同底数的指数或对数,还要注意与1比较或与0比较。 八、导 数1(求导法则: (c)/=0 这里c是常数。即常数的导数值为0。 (xn)/=nxn,1 特别地:(x)/=1 (x,1)/= ( )/=,x-2 (f(x)?g(x)/= f/(x)?g/(x) (k?f(x)/= k?f/(x) 2(导数的几何物理意义: k,f/(x0)表示过曲线y=f(x)上的点P(x
9、0,f(x0)的切线的斜率。 V,s/(t) 表示即时速度。a=v/(t) 表示加速度。 3(导数的应用: ?求切线的斜率。 ?导数与函数的单调性的关系 已知 (1)分析 的定义域;(2)求导数 (3)解不等式 ,解集在定义域?如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论。 ?图象法:利用有关函数的图象(指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象),直接比较大小。 ?中介值法:先把要比较的代数式与“0”比,与“1”比,然后再比较它们的大小 二、均值不等式:两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 基本应用:?放缩,变形; ?求函数最值:注意:?一正二
10、定三相等;?积定和最小,和定积最大。 常用的方法为:拆、凑、平方; 三、绝对值不等式: 注意:上述等号“,”成立的条件; 四、常用的基本不等式: 五、证明不等式常用方法: (1)比较法:作差比较: 作差比较的步骤: ?作差:对要比较大小的两个数(或式)作差。 ?变形:对差进行因式分解或配方成几个数(或式)的完全平方和。 ?判断差的符号:结合变形的结果及题设条件判断差的符号。 注意:若两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小。 (2)综合法:由因导果。 (3)分析法:执果索因。基本步骤:要证只需证,只需证 (4)反证法:正难则反。 (5)放缩法:将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题
11、目的。 放缩法的方法有: ?添加或舍去一些项, ?将分子或分母放大(或缩小) ?利用基本不等式, (6)换元法:换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元和代数换元。 (7)构造法:通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式; 十、不等式的解法: (1)一元二次不等式: 一元二次不等式二次项系数小于零的,同解变形为二次项系数大于零;注:要对 进行讨论: (2)绝对值不等式:若 ,则 ; ; 注意: (1)解有关绝对值的问题,考虑去绝对值,去绝对值的方法有: ?对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值; (2).通过两边平方去绝对值;需要
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