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1、人教版高中数学必修一复习提纲数学必修一复习提纲 第一章 集合及其运算 一(集合的概念、分类: 二(集合的特征: ? 确定性 ? 无序性 ? 互异性 三(表示方法: ? 列举法 ? 描述法 ? 图示法 ? 区间法 四(两种关系: , 从属关系:对象 、 集合;包含关系:集合 、 集合 五(三种运算: ABxxAxB,|且 交集: ABxxAxB,|或 并集: A|U,xxxA且U 补集: 六(运算性质: A,A,A ? ,( ? 空集是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集( A,BAB,AB,AB ? 若,则,( AA(),AA(),痧()A,UUUUUA ? ,( ()()痧AB,()AB(
2、)()痧AB,()ABUUUUUU ? ,( nn,aaaa,123n221, ? 集合的所有子集的个数为,所有真子集的个数为,所有非空真子集的个2nCn22,数为,所有二元子集(含有两个元素的子集)的个数为( 第二章 函数 指数与对数运算 一(分数指数幂与根式: nxannnanxa,a,00如果,则称是的次方根,的次方根为0,若,则当为奇数时,的次方根有1nnaannann个,记做;当为偶数时,负数没有次方根,正数的次方根有2个,其中正的次方根记做(负n,an的次方根记做( 1(负数没有偶次方根; an为奇数,nna,nn|a()aa,n为偶数,2(两个关系式:; mnmnaa,3、正数的
3、正分数指数幂的意义:; m,1na,nma 正数的负分数指数幂的意义:( 4、分数指数幂的运算性质: mnmn,mnmn,aaa,aaa, ? ; ? ; mnmnmmm()aa,()abab, ? ; ? ; 0mnaa,1b ? ,其中、均为有理数,均为正整数 二(对数及其运算 bbN,logN,0)(0a,aN,a,1a1(定义:若,且,则( 2(两个对数: bNN,loglga,1010 ? 常用对数:,; bNN,loglnae,2.71828e ? 自然对数:,( 3(三条性质: log10,a ? 1的对数是0,即; log1a,a ? 底数的对数是1,即; ? 负数和零没有对数
4、( 4(四条运算法则: Mlogloglog,MNaaalog()loglogMNMN,,aaaN ? ; ? ; 1nMM,loglognaaloglogMnM,aan ? ; ? ( 5(其他运算性质: logbaab, ? 对数恒等式:; logaclogb,alogbc ? 换底公式:; logloglogbcc,loglog1ba,abaab ? ; nnloglogbb,maam ? ( 函数的概念 f一(映射:设A、B两个集合,如果按照某中对应法则,对于集合A中的任意一个元素,在集合B中都有唯一的一个元素与之对应,这样的对应就称为从集合A到集合B的映射( yxx二(函数:在某种变
5、化过程中的两个变量、,对于在某个范围内的每一个确定的值,按照某个对应yfx,()yyxxx法则,都有唯一确定的值和它对应,则称是的函数,记做,其中称为自变量,变化的yyx范围叫做函数的定义域,和对应的的值叫做函数值,函数值的变化范围叫做函数的值域( yfx,()A三(函数是由非空数集到非空数集B的映射( 四(函数的三要素:解析式;定义域;值域( 函数的解析式 一(根据对应法则的意义求函数的解析式; f(x)f(x,1),x,2x例如:已知,求函数的解析式( 二(已知函数的解析式一般形式,求函数的解析式; fx()ffxx()43,,f(x)例如:已知是一次函数,且,函数的解析式( f(x)f(
6、x)三(由函数的图像受制约的条件,进而求的解析式( 函数的定义域 一(根据给出函数的解析式求定义域: xR, ? 整式: ? 分式:分母不等于0 ? 偶次根式:被开方数大于或等于0 ? 含0次幂、负指数幂:底数不等于0 ? 对数:底数大于0,且不等于1,真数大于0 二(根据对应法则的意义求函数的定义域: yfx,()2,5yfx,,(32) 例如:已知定义域为,求定义域; yfx,,(32)2,5yfx,() 已知定义域为,求定义域; 三(实际问题中,根据自变量的实际意义决定的定义域( 函数的值域 一(基本函数的值域问题: 名称 解析式 值域 ykxb,,一次函数 R 24acb,),,a,0
7、4a时, 2二次函数 yaxbxc,, 24acb,(,a,04a时, k|yyR,y,0y,反比例函数 ,且 x x|0yy,指数函数 ya, yx,log对数函数 Ra yx,sin |11yy, 三角函数 yx,cos yx,tanR 二(求函数值域(最值)的常用方法:函数的值域决定于函数的解析式和定义域,因此求函数值域的方法往往取决于函数解析式的结构特征,常用解法有:观察法、配方法、换元法(代数换元与三角换元)、常数分离法、单调性法、不等式法、*反函数法、*判别式法、*几何构造法和*导数法等( 反函数 yfx,()()xA,yyxxC一(反函数:设函数的值域是,根据这个函数中,的关系,
8、用把表示出,得xy,()yxy,()xy,()xC到(若对于中的每一值,通过,都有唯一的一个与之对应,那么,就yfx,()()xA,yyxy,()()yC,x表示是自变量,是自变量的函数,这样的函数叫做函数的反函,1,1xfy,()yfx,()数,记作,习惯上改写成( fx()yx二(函数存在反函数的条件是:、一一对应( fx()三(求函数的反函数的方法: ? 求原函数的值域,即反函数的定义域 ,1yxfy,()x ? 反解,用表示,得 ,1yyfx,()x ? 交换、,得 ? 结论,表明定义域 ,1yfx,()yfx,()四(函数与其反函数的关系: ,1yfx,()yfx,() ? 函数与的
9、定义域与值域互换( ,1yfx,()fab(),(,)abyfx,()(,)ba ? 若图像上存在点,则的图像上必有点,即若,则,1fba(),( ,1yfx,()yfx,()yx, ? 函数与的图像关于直线对称( 函数的奇偶性: fx()fxfx()(),fx()x一(定义:对于函数定义域中的任意一个,如果满足,则称函数为奇函数;fxfx()(),fx()如果满足,则称函数为偶函数( fx()二(判断函数奇偶性的步骤: fx()1(判断函数的定义域是否关于原点对称,如果对称可进一步验证,如果不对称; fx()fx(),fxfx()(),fxfx()(),2(验证与的关系,若满足,则为奇函数,
10、若满足,则为偶函数,否则既不是奇函数,也不是偶函数( 二(奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称( fx()gx()()MN,NM三(已知、分别是定义在区间、上的奇(偶)函数,分别根据条件判断下列函数的奇偶性( 1fx()gx(),fx()fxgx()(),fxgx()(),fxgx()(), fx() 奇 奇 奇 奇 奇 偶 奇 偶 奇 偶 奇 奇 偶 偶 偶 偶 偶 偶 fx()f(0)0,0五(若奇函数的定义域包含,则( ykxb,,(0)k,b,0六(一次函数是奇函数的充要条件是; 2(0)a,yaxbxc,,b,0 二次函数是偶函数的充要条件是( 函数的周期性: f(x)
11、xT一(定义:对于函数,如果存在一个非零常数,使得当取定义域内的每一个值时,都有fxTfx()(),,f(x)T,则为周期函数,为这个函数的一个周期( f(x)f(x)2(如果函数所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期(如Tfx()fax()|aT的最小正周期为,则函数的最小正周期为( 果函数函数的单调性 xxfx()12一(定义:一般的,对于给定区间上的函数,如果对于属于此区间上的任意两个自变量的值,xx,12当时满足: fxfx()(),fx()12 ? ,则称函数在该区间上是增函数; fxfx()(),fx()12 ? ,则称函数在该区间上是减函数( 二(判断
12、函数单调性的常用方法: 1(定义法: ? 取值; ? 作差、变形; ? 判断: ? 定论: *2(导数法: fx() ? 求函数f(x)的导数; fx()0, ? 解不等式,所得x的范围就是递增区间; fx()0, ? 解不等式,所得x的范围就是递减区间( 3(复合函数的单调性: yfgx,()ugx,()yfu,() 对于复合函数,设,则,可根据它们的单调性确定复合函数yfgx,(),具体判断如下表: yfu,()增 增 减 减 ugx,()增 减 增 减 yfgx,()增 减 减 增 4(奇函数在对称区间上的单调性相反;偶函数在对称区间上的单调性相同( 函数的图像 一(基本函数的图像( 二
13、(图像变换: yfx,()yfxk,,(), yfx,()(0)k,(0)k,|k将图像上每一点向上或向下平移个单位,可得yfxk,,()的图像 yfx,()yfxh,,(), yfx,()(0)h,(0)h,|h将图像上每一点向左或向右平移个单位,可得yfxh,,()的图像 yfx,()yafx,(), yfx,()(1)a,将图像上的每一点横坐标保持不变,纵坐标拉伸或压缩(01),ayafx,()a为原来的倍,可得的图像 yfx,()yfax,(), yfx,()(1)a,将图像上的每一点纵横坐标保持不变,横坐标压缩或拉伸(3)圆内接四边形:若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做
14、圆内接四边形.1(01),ayfax,()a为原来的,可得的图像 yfx,()yfx,(), 集合性定义:圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心,定长叫做圆的半径,圆心定圆的位置,半径定圆的大小,圆心和半径确定的圆叫做定圆。y关于轴对称 yfx,()yfx,(), x关于轴对称 yfx,()yfx,(|), yfx,()yyy将位于轴左侧的图像去掉,再将轴右侧的图像沿轴对称到左yfx,(|)侧,可得的图像 yfx,()yfx,|()|, |a|的越小,抛物线的开口程度越大,越远离对称轴y轴,y随x增长(或下降)速度越慢。yfx,()|()|fxy,xx将位于轴下方的部分沿轴对
15、称到上方,可得的图像 三(函数图像自身的对称 关系 图像特征 7.三角形的外接圆、三角形的外心。yfxfx()(),轴对称 关于 fxfx()(),关于原点对称 yfaxfxa()(),轴对称 关于 74.94.15有趣的图形3 P36-41xa,faxfax()(),,对称 关于直线 ax,fxfax()(), 2关于直线轴对称 ab,x,faxfbx()(),, 2关于直线对称 2、在教师的组织和指导下,通过自己的主动探索获得数学知识,初步发展创新意识和实践能力。afxfxa()(),, 周期函数,周期为 四(两个函数图像的对称 一年级数学下册教材共六个单元和一个总复习,分别从数与代数、空间图形、实践活动等方面对学生进行教育。关系 图像特征 yyfx,()yfx,()关于轴对称 与 xyfx,()yfx,()轴对称 关于与 (5)切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线.yfx,()yfx,()关于原点对称 与 (6)三角形的内切圆、内心.,1yx,yfx,()yfx,()关于直线对称 与 xa,yfxa,()yfax,()对称 关于直线与 应用题yyfax,,()fax(),轴对称 关于与
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