最新高中数学新课标人教B版必修五解不等式习题精选精讲doc素材名师优秀教案.doc
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1、高中数学新课标人教B版必修五解不等式习题精选精讲doc素材均值定理的拓广 在高中数学教材中,均值不等式几乎涉及高中数学的所有章节,且在每年的高考题中常考常新,其题型主要以大小判断、求最值、求参数的取值范围以及最值时刻等几个方面出现,在高考的考试说明中也明确地要求学生能熟练地掌握均值不等式的适用条件及适用情境。高中教材中对均值定理的叙述是: a,b,ab1)定理:如果a、b是正数,那么(当且仅当a=b时取“,”号) (2a,b,c3,abc(2)定理:如果a、b、c是正数,那么(当且仅当a=b=c时取“,”号) 3a,ba,b,c3我们称()为a、b(a、b、c)的算术平均数,称()为a、b(a
2、、b、c)的几何平均数,因而这一定理ababc23又可叙述为“两个(或三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。”事实上,由数学归纳法可把这一定理拓广为“n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数” 。用均值不等式求函数的最大(小)值是高中数学的一个重点,在运用均值定理求函数的最大(小)值时,往往需要掌握“凑”(凑项、凑因子)的技巧,其目的(一)是创造一个应用不等式的情境;(二)是使等号成立的条件。 1111S,a,b,c,t,,例1(边长为的三角形,其面积等于,而外接圆半径为1,若,则S与t的大小关系a,b,c4abc是( ) A. B. C. D.不确定 StS,tSSSt例2(若正数
3、满足,则的取值范围是 ab,a,b,3aba,b(1999年全国高考题第15题) ,解:?,?,? a,b,Ra,b,2abab,a,b,3,2ab,3?,? (ab,3)(ab,1),0ab,2ab,3,0?(舍去)或 ab,1ab,3?ab,3 然而有些题由于解析式自然,从形态上看根本凑不出定值,或虽凑出定值而其等号又不能成立,对于这样的题目,学生往往为很难用甚至不能用均值定理而感到束手无策。这时就常需对函数式作“添、裂、配、凑”变形,使其完全满足均值定理要求的“正、定、等”条件后方可用之,故对变形能力的要求较高。但若把均值定理拓广为下述“含参均值定理”,那么便可避免复杂变形的情况。含参均
4、值定理的叙述是: ,,R如果a,b,c,参数,那么 ,R1222(1)(当且仅当时取“,”号); ,a,b(,a),b,2,ab(2)(当且仅当a,b时取“,”号); ,a,b,2ab3,a,,b,c,3,abc,a,b,c(3)(当且仅当时取“,”号)。 121212正参数,由“值定,可等”确定。这样可使原来不能同时成立的条件得到满足,从而求出最值。 1212y,(1,2x)x(0x0,y,()(,x)(1,2x)则 解:设2,12x,(1,2x)1(2,2)x,1,33y,(),() 2233,11,y,1,x,当且仅当即时取等号,此时。 ,x,1,2x,2,2,0max327若所含因子仅
5、幂次不同,则不需增加参数的个数。 2例2(求的最大值。 y,t(1,t)(0t0,0解:设则 12(1,t),(1,t),t,11312 y,t(1,t)(1,t),(1,t),(1,t),t,(),123,122(1)(),,t,,,,131212 (),3,12,(1,t),(1,t),t,,1,0当且仅当 12123131323,,y,即时取等号,此时。 ,t,max129223,232y,sinxcosx(0x0,a,N,ni,1,2,k),iiiiiii,1i34例3(求函数的最小值。 y,4sinx,3cosx(0,(0,)334,0,0解:设, y,(2sinx,2sinx,,)
6、,(3cosx,,),(,,,)121212643y,34,sinx,23,cosx,(,,,)则 1212223,34,sinx,23,cosx,(,,,) 1212343,2sinx,3cosx,34,23,当且仅当 121293551557,254,sin即时取等号,此时可求得。依照上例还可拓广为求某些形如,x,y,12max2222,mnmn与y,asinx,bcosx(a,b,R,m,n,N且m,n,2)的函数的最值问题。 y,asinx,bcosx当函数的解析式变量多、项数多、系数无一定规律时,如果直接用均值定理求其最大(小)值一般较为困难,此时便可通过“设参、定参”,并把表达式进
7、行适当的化分或重组,创设使用含参均值定量的情景,然后利用含参均值定理加以解决。 222x,y,z例4(已知,求的最小值。 2xy,yz,02xy,yz解:设,0,0 122222? ,2x,y,2,xy,2y,z,2,yz1122122,?(1) x,()y,2xy1,1,1222(2) y,()z,2yz,222,111122222,由(1),(2)得,为使该式左端作为目标函数的分子,须令,x,(,)y,()z,2xy,yz,,,11,22,221222222222xyz1225x,y,z525,222,解得,于是有,故,即的最小值为。 ,(x,y,z),2xy,yz,11252xy,yz2
8、xyyz,5,51例5(1997年全国高考题第22题)甲、乙两地相距S千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过C千米/小时,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成,可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比,比例系数为b;固定部分为a元。 (1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域; (2)为了使全程运输成本最小,汽车以多大速度行驶, SSaS2y,a,,bv,S(,bv)解:(1)依题意可知:汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为,全程运输成本为:,故所求vvvvay,S(,bv),v,(0,c函数及其定义域为:。 vaaaaa
9、ay,2Sab(2)若,c,?,bv,2,bv,2ab(当且仅当时取等号)?时,。 v,v,v,maxbbbbvva,a,abvbv(),,,若c,设,?, 0,c综上,为使全程运输成本最小,当时,行驶速度为v,千米/小时;当时,行驶速度为千米/时。 v,cbbb由以上各处例子可以看出,在均值定理中适当地增加参数,使其拓广为含参均值定理,可使条件与结论间的联系得以加强,使均值定理的应用更加如虎添翼,更简捷明快地解决某些难度较大的函数最值问题。 解简单的不等式 21解不等式:(x,x+1)(x+1)(x,4)(6,x)0 2解:对于任何实数x,x,x+10恒成立,所以原不等式等价于:(x+1)(
10、x,4)(6,x)0 ?(x+1)(x,4)(x,6)0 所以原不等式的解为:x,1或4x6 22x,5x,32 解不等式:?0 24x,13x,12(2x,1)(x,3)331解:原不等式即?0 它相当于 x,4 (2x+1)(x-3)(4x+3)(x-4)?0?,x? 或3?x,4 x,(4x,3)(x,4)4243 解不等式:|x,5|,|2x+3|1 133解法一:?当x?时,5,x+2x+31 x,7 ?当x5时, 5,x,2x,31 ?x,223311此时不等式的解为: ?当x?5时,x,5,2x,3,9, ?x?5 (,5):(,,,),(,5)23311 由?可知原不等式的解集
11、为: 即x。 ,,(,7):(,5):5,,,33222解法二:原不等式化为:|x,5|2x+3|+1两边平方得:x,10x+25,3x,22x+15 1222?4x+6,3x,22x+15 3x+26x,90 ?x或4x+60 ? x1 311 即:x ?原不等式的解集为:(,9):(,,,):(,7):(1,,,)3322(3a,2b)x,6(a,b),03(a,2b)x,2(b,3a),03(a,a,1)x,a,a,1,04 已知不等式与不等式同解,解不等式。 1x,2223(a,a,1)x,a,a,1,0a,Ra,a,1,03解:, ? 的解为 6(a,b)16(a,b)x,(3a,2
12、b)x,6(a,b)(3a,2b),03a,4b,03a,2b33a,2b? 中 ? 解 由题意 ? 代,2bx,6b,0x,3入所求: ? 2225 (1998年全国高考)设a?b,解关于x的不等式 ax+b(1-x)?ax+b(1-x). 2222222222解析 将原不等式化为 (a-b)x-b?(a-b)x+2(a-b)bx+b, 移项,整理后得 (a-b)(x-x)?0, ?a?b 即(a-b)0, ?x-x?0, 即 x(x-1)?0. 解此不等式,得解集 x|0?x?1. 2x,81,2x,36 (1995年全国高考) 的解集是_.解析 这是一个指数不等式,基本解法是化为同底的指
13、数形式,然后利,3,2,(x,8),2x2用指数函数的单调性转化为整式不等式. 原不等式即,也就是x-2x-80,解得-2x4.故原不等式的解集为x| -2x0 (1) 当a1时,解为xa 2) 当a=1时,解为x?R且x?1 (3) 当a1时,解为x1 xaxa,,1解关于的不等式x,1a原不等式同解于,0x,1x,1 例2. 解: 1,aa,1a,1当时,有axx,,01()(),0即()()xx,1,0注意到,1,,,()()xaxa110aaa a,1a,1?解集为|x,x1当时,有axx,01()(),0当时,有,axxx,?,0101()|aa a,11a,1注意到,11?,解集为
14、或|xxx1aaa 2例3 若a?0,解不等式x+2,a(+1). x2x(2a)x2a,,2,解析 怎样对参数a进行分类讨论,必须先对原不等式等价变形:x+2,a(+1)0x(x+2)(x,a),0. 于xx是得到必须将a与-2,0进行比较分类: ?当a,0时,解集为x|x,2或0,x,a ?当,2,a,0时,解集为x|x,2或a,x,0 ?当a=,2时,解集为x|x,0且x?,2 ?当a,2时,解集为x|x,a或,2,x,0 2 例4 解关于x的不等式:(m+1)x,4x+1?0 (m?R) 分析:此题是含参数m的不等式,首先应根据m+1是否取0确定原不等式是一元一次不等式还是一元二次不等
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