浙江专版2017_2018学年高中数学第二章平面向量2.3.4平面向量共线的坐标表示学案新人教A版必.doc
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1、23.4平面向量共线的坐标表示预习课本P98100,思考并完成以下问题如何利用向量的坐标运算表示两个向量共线? 平面向量共线的坐标表示前提条件a(x1,y1),b(x2,y2),其中b0结论当且仅当x1y2x2y10时,向量a、b(b0)共线点睛(1)平面向量共线的坐标表示还可以写成(x20,y20),即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例;(2)当a0,b0时,ab,此时x1y2x2y10也成立,即对任意向量a,b都有:x1y2x2y10ab.1判断下列命题是否正确(正确的打“”,错误的打“”)(1)已知a(x1,y1),b(x2,y2),若ab,则必有x1y2x2y1.()(2)向
2、量(2,3)与向量(4,6)反向()答案:(1)(2)2若向量a(1,2),b(2,3),则与ab共线的向量可以是()A(2,1)B(1,2)C(6,10)D(6,10)答案:C3已知a(1,2),b(x,4),若ab,则x等于()A B. C2 D2答案:D4已知向量a(2,3),ba,向量b的起点为A(1,2),终点B在x轴上,则点B的坐标为_答案:向量共线的判定典例(1)已知向量a(1,2),b(,1),若(a2b)(2a2b),则的值等于()A.B.C1D2(2)已知A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,3)判断与是否共线?如果共线,它们的方向相同还是相反?解析(1)法一:
3、a2b(1,2)2(,1)(12,4),2a2b2(1,2)2(,1)(22,2),由(a2b)(2a2b)可得2(12)4(22)0,解得.法二:假设a,b不共线,则由(a2b)(2a2b)可得a2b(2a2b),从而方程组显然无解,即a2b与2a2b不共线,这与(a2b)(2a2b)矛盾,从而假设不成立,故应有a,b共线,所以,即.答案A(2)解(0,4)(2,1)(2,3),(5,3)(1,3)(4,6),(2)(6)340,共线又2,方向相反综上,与共线且方向相反向量共线的判定方法(1)利用向量共线定理,由ab(b0)推出ab.(2)利用向量共线的坐标表达式x1y2x2y10直接求解活
4、学活用已知a(1,2),b(3,2),当k为何值时,kab与a3b平行,平行时它们的方向相同还是相反?解:kabk(1,2)(3,2)(k3,2k2),a3b(1,2)3(3,2)(10,4),若kab与a3b平行,则4(k3)10(2k2)0,解得k,此时kabab(a3b),故kab与a3b反向k时,kab与a3b平行且方向相反三点共线问题典例(1)已知(3,4),(7,12),(9,16),求证:A,B,C三点共线;(2)设向量(k,12),(4,5),(10,k),当k为何值时,A,B,C三点共线?解(1)证明:(4,8),(6,12),即与共线又与有公共点A,A,B,C三点共线(2)
5、若A,B,C三点共线,则,共线,(4k,7),(10k,k12),(4k)(k12)7(10k)0.解得k2或k11.有关三点共线问题的解题策略(1)要判断A,B,C三点是否共线,一般是看与,或与,或与是否共线,若共线,则A,B,C三点共线;(2)使用A,B,C三点共线这一条件建立方程求参数时,利用,或,或都是可以的,但原则上要少用含未知数的表达式活学活用设点A(x,1),B(2x,2),C(1,2x),D(5,3x),当x为何值时,与共线且方向相同,此时,A,B,C,D能否在同一条直线上?解:(2x,2)(x,1)(x,1),(1,2x)(2x,2)(12x,2x2),(5,3x)(1,2x
6、)(4,x)由与共线,所以x214,所以x2.又与方向相同,所以x2.此时,(2,1),(3,2),而2231,所以与不共线,所以A,B,C三点不在同一条直线上所以A,B,C,D不在同一条直线上向量共线在几何中的应用题点一:两直线平行判断1. 如图所示,已知直角梯形ABCD,ADAB,AB2AD2CD,过点C作CEAB于E,用向量的方法证明:DEBC;证明:如图,以E为原点,AB所在直线为x轴,EC所在直线为y轴建立直角坐标系, 设| |1,则| |1,|2.CEAB,而ADDC,四边形AECD为正方形,可求得各点坐标分别为E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(1,1)(1,1)(0,
7、0)(1,1),(0,1)(1,0)(1,1),即DEBC.题点二:几何形状的判断2已知直角坐标平面上四点A(1,0),B(4,3),C(2,4),D(0,2),求证:四边形ABCD是等腰梯形证明:由已知得,(4,3)(1,0)(3,3),(0,2)(2,4)(2,2)3(2)3(2)0,与共线(1,2),(2,4)(4,3)(2,1),(1)12(2)0,与不共线四边形ABCD是梯形(2,1),(1,2),|,即BCAD.故四边形ABCD是等腰梯形题点三:求交点坐标3. 如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB交点P的坐标解:法一:设tt(4,4)(4t,4t)
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