最新[高考]高考数学二轮专题复习教案4:函数与方程的思想方法名师优秀教案.doc
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1、高考高考数学二轮专题复习教案4:函数与方程的思想方法函数与方程的思想方法 一、知识整合 函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,方程f(x),0的解就是函数y,f(x)的图像与x轴的交点的横坐标,函数y,f(x)也可以看作二元方程f(x)-y,0通过方程进行研究。 就中学数学而言,函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面:一是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题:二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决,反之,
2、许多函数问题也可以用方程的方法来解决。函数与方程的思想是中学数学的基本思想,也是历年高考的重点 1(函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,建立函数关系或构造函数,运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识,用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。 2(方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决。方程的数学是对方程概念的本质认识,用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。方程思想
3、是动中求静,研究运动中的等量关系. 3(1) 函数和方程是密切相关的,对于函数y,f(x),当y,0时,就转化为方程f(x),0,也可以把函数式y,f(x)看做二元方程y,f(x),0。函数问题(例如求反函数,求函数的值域等)可以转化为方程问题来求解,方程问题也可以转化为函数问题来求解,如解方程f(x),0,就是求函数y,f(x)的零点。 (2) 函数与不等式也可以相互转化,对于函数y,f(x),当y0时,就转化为不等式f(x)0,借助于函数图像与性质解决有关问题,而研究函数的性质,也离不开解不等式。 (3) 数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数,用函数的观点处理数列问题十分重要。 *n
4、(4) 函数f(x),(n?N)与二项式定理是密切相关的,利用这个函数用赋值(ax,b)法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题。 (5) 解析几何中的许多问题,例如直线和二次曲线的位置关系问题,需要通过解二元方程组才能解决,涉及到二次方程与二次函数的有关理论。 (6) 立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。 二、例题解析 ?(运用函数与方程、表达式相互转化的观点解决函数、方程、表达式问题。 5b,c,(a、b、c?R),则有( ) 例1 已知,15a2222(A) (B) (C) (D) b,4acb,4acb,4acb,4ac解析
5、法一:依题设有 a?5,b?,c,0 52是实系数一元二次方程的一个实根; ?ax,bx,c,0522?,?0 ? 故选(B) b,4acb,4ac法二:去分母,移项,两边平方得: 222?10ac,2?5a?c,20ac 5b,25a,10ac,c2? 故选(B) b,4ac点评解法一通过简单转化,敏锐地抓住了数与式的特点,运用方程的思想使问题得到解决;2解法二转化为b是a、c的函数,运用重要不等式,思路清晰,水到渠成。 22练习1 已知关于的方程 ,(2 m,8)x +,16 = 0的两个实根 、 满足 xxxxxm1213,,则实数m的取值范围_。 x2217|mm,答案:; 22322
6、 已知函数 的图象如下,则( ) fxaxbxcxd(),,y b,0b,0,1(A) (B) ,(C) (D) b,(1,2)b,,,(2,)0 1 2 x 答案:A. 22lgx,lgy3 求使不等式lg(xy)?lga?对大于1的任意x、y恒成立的a的取值范围。 ?:构造函数或方程解决有关问题: t2例2 已知f(t),log,t?,8,对于f(t)值域内的所有实数m,不等式22恒成立,求x的取值范围。 x,mx,4,2m,4x12解析?t?,8,?f(t)?,3 22原题转化为:0恒成立,为m的一次函数(这里思维的转化很重要) m(x,2),(x,2)当x,2时,不等式不成立。 12,
7、m?,3 ?x?2。令g(m),m(x,2),(x,2)21,g(),01,问题转化为g(m)在m?,3上恒对于0,则:; 2,2,g(3),0,解得:x2或x0,0 ,0 S12111324,?d,3 7n(n,1)152S,na,d,dn,(12,d)n(2) n1222512,?d0,是关于n 的二次函数,对称轴方程为:x, Sn2d2451213,?d,3 ?61,两函数图象如下图所示,显然当x,()12,时, 2,只需使,综上可知 要使yy,log()2212,,即a12a2 当12,a时,不等式对恒成立。 x,()12,()logxx,1a2 若01,a,两函数图象如下图所示,显然
8、当时,不等式x,()12,()logxx,1a恒不成立。 可见应选C 8. A 提示:f(x+2)的图象是由f(x)的图象向左平移2个单位而得到的,又知f(x+2)的图象关于直线x=0(即y轴)对称,故可推知,f(x)的图象关于直线x=2对称,由f(x)在(,,2)上为增函数,可知,f(x)在()2,,上为减函数,依此易比较函数值的大小。 二、填空题: 9. 22,提示:|Z|=2表示以原点为原心,以2为半径的圆,即满足|Z|=2的复数Z对应的点在圆O上运动,(如下图),而|z+1,i|=|z,(,1+i)|表示复数Z与,1+i对应的两点的距离。 由图形,易知,该距离的最大值为。 22,10.
9、 fff()()()143,2 提示:由知,f(x)的图象关于直线x=2对称,又ftft()()22,,fxxbxc(),,为二次函数,其图象是开口向上的抛物线,由f(x)的图象,易知的大小。 fff()()()134、,11. m,()15,2 提示:设yxxym,,,45|,画出两函数图象示意图,要使方程12215,m有四个不相等实根,只需使 xxm,,,45|12. 最小值为 13222,,联想到两点的距离公 提示:对xxxx,,,,,,,2211110()()()222式,它表示点(x,1)到(1,0)的距离,表示点(x,xxx,,,,,613313()()221)到点(3,3)的距离
10、,于是表示动点(x,1)到两yxxxx,,,,22613个定点(1,0)、(3,3)的距离之和,结合图形,易得。 y,13min13. m,(21,2 提示:y=x,m表示倾角为45?,纵截距为,m的直线方程,而则表示以yx,1(0,0)为圆心,以1为半径的圆在x轴上方的部分(包括圆与x轴的交点),如下图所示,显然,欲使直线与半圆有两个不同交点,只需直线的纵截距,即,m)12,。 m,(21,三、解答题: 2,,,xxm302,,,xxm30,14. 解:原方程等价于 30,x,03,x,03,x2,2,,,xxm43,2, 令,在同一坐标系内,画出它们的图象, yxxym,,,43,,,,x
11、xmx3312,03,x 其中注意,当且仅当两函数的图象在0,3)上有唯一公共点时,原方程有唯,30m一解,由下图可见,当m=1,或时,原方程有唯一解,因此m的取值范围为,:3,01。 注:一般地,研究方程时,需先将其作等价变形,使之简化,再利用函数图象的直观性研究方程的解的情况。 22表示以(2,0)为圆心, 15. 解:令yxxyaxyxx,414,其中()121以2为半径的圆在x轴的上方的部分(包括圆与x轴的交点),如下图所示,表yax,()122示过原点的直线系,不等式的解即是两函数图象中半圆在直线上方的41xxax,()部分所对应的x值。 由于不等式解集Axx,|02 因此,只需要
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