最新北京四中高考数学总复习+平面向量的概念及线性运算知识梳理教案名师优秀教案.doc
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1、北京四中2014年高考数学总复习 平面向量的概念及线性运算知识梳理教案平面向量的概念、线性运算及坐标运算 【考纲要求】 1(了解向量的实际背景;理解平面向量的概念及向量相等的含义;理解向量的几何表示. 2(掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义;掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义;了解向量线性运算的性质及其几何意义. 3(了解平面向量的基本定理及其意义,掌握平面向量的正交分解及其坐标表示,会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算,理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 【知识网络】 平面向量 平平平平面面面面向向向向量量量量的的的的概坐线基念 标性本运表定示 算 理 【
2、考点梳理】 【高清课堂:平面向量的概念与线性运算401193知识要点】 考点一、向量的概念 ,1(向量:既有大小又有方向的量.通常用有向线段AB表示,其中A为起点,B为终点. ,向量AB的长度又称为向量的模; |AB|长度为0的向量叫做零向量,长度为1的向量叫做单位向量. 2(方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,规定零向量与任一向量平行. 平行向量可通过平移到同一条直线上,因此平行向量也叫共线向量. 3(长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.零向量与零向量相等. ,aa4. 与长度相等,方向相反的向量叫做的相反向量,规定零向量的相反向量是零向量. 1 要点诠释: ,?有向线段的起、终点决定向
3、量的方向,与表示不同方向的向量; ABBA,?有向线段的长度决定向量的大小,用表示,. |AB|AB|BA|,?任意两个非零的相等向量可经过平移重合在一起,因此可用一个有向线段表示,而与起点无关. 考点二、向量的加法、减法 1(向量加法的平行四边形法则 平行四边形ABCD中(如图), ,向量与的和为,记作:.(起点相同) ACADABAC,,ABAD2(向量加法的三角形法则 ,ADC根据向量相等的定义有:,即在中,. ABDC,ADDCAC,,首尾相连的两个向量的和是以第一个向量的起点指向第二个向量的终点. ,规定:零向量与向量的和等于. ABAB3. 向量的减法 ,向量与向量叫做相反向量.记
4、作:. ABBA,ABBA,ABCDABDC,,则. 要点诠释: ?关于两个向量的和应注意:两个向量的和仍是一个向量;使用三角形法则时要注意“首尾相连”;当两个向量共线时,三角形法则适用,而平行四边形法则不适用. ?向量减法运算应注意:向量的减法实质是加法的逆运算,差仍为一个向量;用三角形法则作向量减法时,记住“连结两个向量的终点,箭头指向被减向量”. 要点三、实数与向量的积 1(定义: ,a,a一般地,实数与向量的积是一个向量,记作,它的长与方向规定如下: ,(1); |,aa,aa,aa(2)当0时,的方向与的方向相同;当b(5) 若,则; |a|b|(6) 由于零向量方向不确定,故它不能
5、与任意向量平行. 4 【答案】 (1) 错;模相等,方向未必相同; (2) 错;模相等,方向未必相同; (3) 正确;因两向量的模相等,方向相同,故当他们的起点相同时,则终点必重合; (4) 正确;由定义知是对的; (5) 错;向量不能比较大小; (6) 错;规定:零向量与任意向量平行. 【变式2】在复平面中,已知点A(2,1),B(0,2),C(,2,1),O(0,0). 给出下面的结论: ,?直线OC与直线BA平行;?;?;?. ABBCCA,,OAOCOB,,ACOBOA,2其中正确结论的个数是( ) A(1 B(2 C(3 D(4 【答案】C ,11211【解析】k,,k,,?OC?A
6、B,?正确; OCBA,22022,?,?错误; ABBCAC,,,?正确; ?OAOCOB,,(0,2),?,?正确. 故选C. OBOA,2(4,0)AC,(4,0)类型二、平面向量的加减及其线性运算 ABCDAB/CDAB2CD,NCDM例2. 如图,已知梯形中,且,、分别是、,ABAD,aAB,bab的中点,设,试以、为基底表示DC、. BCMNND【解析】连结,则 ,11DCb,AB; 22,11DCb,ABNB? 22DC/NBDCNB,?, ,1BCANab,NDAD?; 2,11DMb,DC又 24,1MNDMba,DNCBDM?. 4,AB【总结升华】?本题实质上是平面向量基
7、本定理的应用,由于,是两个不共线AD的向量,那么平面内的所有向量都可以用它们表示出来. 5 ?本题的关键是充分利用几何图形中的线段的相等、平行关系,结合平行向量、相等向量的概念,向量的线性运算,变形求解. 举一反三: ,1【变式1】在?ABC中,已知D是AB边上一点,若,,,,CDCACBADDB,232,则=_.【答案】 3,【解析】由图知 ? CDCAAD,,,, ? CDCBBD,,,且。 ADBD,,20,122?+?2得:,?,?,. 32CDCACB,,CDCACB,,333,CD,ACB【变式2】?ABC中,点D在AB上,平分,若,a,1,CB,aCA,b,b,2,则( ) CD
8、,12213443ab,ab,ab,ab,A. B. C. D. 33335555B【答案】 ,1ABCDEADAB,a【变式3】如图,AEAD,为平行四边形边上一点,且,设,4,1kBC,bAFAC,BFkBE,,若,求的值. 5,11?AFAC,,()ab【解析】 ? 55,1?BFkBEkAEABk,()()b-a又 4,kAFk,(1)a+bBFAF,a而,? ? 44k,由?解得. 5OEF,【变式4】若是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( ) ,EFOFOE,,EFOFOE,EFOFOE,,A( B( C( ,EFOFOE, D( 【答案】B 6 O?ABCBC【变式5】已知
9、是所在平面内一点,为边中点,且D,,那么( ) 2OAOBOC,,0,( ,( ,( AOOD,AOOD,2AOOD,3,( 2AOOD,【答案】A ,BC【解析】因为D为边中点,所以由平行四边形法则可知:, OBOCOD,,2,又,所以. OBOCOA,,2ODOAAO,例3.设两个非零向量不共线, a,b,(1)若求证:A,B,D三点共线. ABa+bBCa+8bCDa-b,2,3().,k(2)试确定实数,使和共线. ka+ba+bk,【解析】(1)证明: ?ABa+bBCa+8bCDa-b,2,3(),; ?,,,,,BDBCCDa+8ba-ba+bAB23()5()5,共线, ?AB
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