2018年高中数学第三章不等式3.4基本不等式学案苏教版选修520180607121.doc
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1、3.4预习课本P96102,思考并完成以下问题 (1)基本不等式的形式是什么?需具备哪些条件? (2)“和定积最大,积定和最小”应怎样理解? (3)在利用基本不等式求最值时,应注意哪些方面? (4)一般按照怎样的思路来求解实际问题中的最值问题? 1重要不等式当a,b是任意实数时,有a2b22ab,当且仅当ab时,等号成立2基本不等式(1)有关概念:当a,b均为正数时,把称为正数a,b的算术平均数,把称为正数a,b的几何平均数(2)基本不等式定义:如果a,b是正数,那么,当且仅当ab时取“”(3)变形:ab2,ab2(其中a0,b0,当且仅当ab时等号成立)点睛基本不等式成立的条件:a0且b0;
2、其中等号成立的条件:当且仅当ab时取等号,即若ab时,则,即只能有.3设x,y为正实数(1)若xys(和s为定值),则当xy时,积xy有最大值,且这个值为.(2)若xyp(积p为定值),则当xy时,和xy有最小值,且这个值为2.1若x0,则x的最小值为_解析:x0,x4.答案:42若x,y(0,),且x4y1,则xy的最大值是_解析:x,y(0,),则1x4y4,即xy,当且仅当x,y时等号成立答案:3实数x,y满足x2y2,则3x9y的最小值是_解析:利用基本不等式可得3x9y3x32y22 .x2y2,3x9y26,当且仅当3x32y,即x1,y时取等号答案:64给出下面结论:若x(0,)
3、,则sin x2;若a,b(0,),则lg alg b2;若xR,则4.其中正确结论的序号是_解析:因为x(0,),所以sin x(0,1,所以成立;只有在lg a0,lg b0,即a1,b1时才成立;|x|24成立答案: 利用基本不等式比较大小典例(1)已知ma(a2),n22b2(b0),则m,n之间的大小关系是_(2)若ab1,P,Q(lg alg b),Rlg ,则P,Q,R的大小关系是_解析(1)因为a2,所以a20,又因为ma(a2)2,所以m224,由b0,得b20,所以2b22,n22b2n.(2)因为ab1,所以lg alg b0,所以Q(lg alg b)P;Q(lg al
4、g b)lg lg lg lg R.所以PQn(2)PQ0,b0.活学活用已知a,b,c都是非负实数,试比较与(abc)的 大小解:因为a2b22ab,所以2(a2b2)(ab)2,所以 (ab),同理 (bc), (ca),所以 (ab)(bc)(ca),即(abc),当且仅当abc时,等号成立.利用基本不等式证明不等式典例已知a,b,c均为正实数, 求证:3.证明a,b,c均为正实数,2(当且仅当a2b时等号成立),2(当且仅当a3c时等号成立),2(当且仅当2b3c时等号成立),将上述三式相加得6(当且仅当a2b3c时等号 成立),3(当且仅当a2b3c时等号成立),即3(当且仅当a2b
5、3c时等号成立)利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略:从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向 “未知”(2)注意事项:多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立;累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注意使用;对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,形成基本不等式模型再使用活学活用已知a,b,c为正实数, 且abc1,求证:8.证明:因为a,b,c为正实数,且abc1,所以1.同理,1,1.上述三个不等式两边均为正,相乘得8,当且仅当abc时,取等号.利用基本不等式求最
6、值典例(1)已知lg alg b2,求ab的最小值(2)已知x0,y0,且2x3y6,求xy的最大值(3)已知x0,y0,1,求xy的最小值解(1)由lg alg b2可得lg ab2,即ab100,且a0,b0,因此由基本不等式可得ab22 20,当且仅当ab10时,ab取到最小值20.(2)x0,y0,2x3y6,xy(2x3y)22,当且仅当2x3y,即x,y1时,xy取到最大值.(3)1,xy(xy)1910,又x0,y0,1021016,当且仅当,即y3x时,等号成立由得即当x4,y12时,xy取得最小值16.(1)应用基本不等式需注意三个条件:即一正、二定、三相等在具体的题目中,“
7、正数”条件往往易从题设中获得解决,“相等”条件也易验证确定,而要获得“定值”条件却常常被设计为一个难点,它需要一定的灵活性和变形技巧因此,“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性,这是解题成败的关键(2)常用构造定值条件的技巧变换:加项变换;拆项变换;统一变元;平方后利用基本不等式(3)对于条件最值要注意“1”的代换技巧的运用活学活用(1)已知0x,求函数y4x2的最小值解:(1)0x0.yx(13x)3x(13x)2,当且仅当x时,函数yx(13x)取得最大值.(2)x,4x50.y4x24x53235.当且仅当4x5,即x时取等号当x时,y取最小值为5.利用基本不等式解应用题典例某单位决定
8、投资3 200元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米长造价40元,两侧墙砌砖,每米长造价45元,顶部每平方米造价20元,求:(1)仓库面积S的最大允许值是多少?(2)为使S达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计为多长?解(1)设铁栅长为x米,一堵砖墙长为y米,而顶部面积为Sxy,依题意得,40x245y20xy3 200,由基本不等式得3 200220xy12020xy12020S.所以S61600,即(10)(16)0,故10,从而S100,所以S的最大允许值是100平方米,(2)取得最大值的条件是40x90y且xy100,求得x15,即铁栅
9、的长是15米求实际问题中最值的解题策略(1)先读懂题意,设出变量,理清思路,列出函数关系式(2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题(3)在定义域内,求函数的最大值或最小值时,一般先考虑基本不等式,当基本不等式求最值的条件不具备时,再考虑函数的单调性(4)正确写出答案 活学活用某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为yx218x25(xN*),则当每台机器运转_年时,年平均利润最大,最大值是_万元解析:每台机器运转x年的年平均利润为18,而x0,故182 8,当且仅当x5时等号成立,此时年平均利润最大,最大
10、值为8万元答案:58层级一学业水平达标1设x0,则y33x的最大值是_解析:y33x33232,当且仅当3x,即x时取等号答案:322若2xy4,则4x2y的最小值为_解析:4x2y22x2y2228.当且仅当2xy2,即x1,y2时等号成立答案:83若对于任意x0,a恒成立,则a的取值范围是_解析:,因为x0,所以x2(当且仅当x1时取等号),则,即的最大值为,故a.答案:a4某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比,如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元,那么,要使这两次费用之和最小,仓
11、库应建在离车站_千米处解析:设仓库与车站的距离为x千米,则y1,y2k2x.2,8k210.k120,k2.yx.x28,当且仅当x,即x5时取等号x5千米时,y取得最小值答案:55已知x0,y0,x2y2xy8,则x2y的最小值是_解析:依题意得(x1)(2y1)9,(x1)(2y1)26,x2y4,当且仅当x12y1,即x2,y1时取等号,故x2y的最小值是4.答案:46若0a1,0b1,且ab,则ab,2,2ab,a2b2中最大的一个是_解析:因为0a1,0b2,a2b22ab,所以四个数中最大的数应从ab,a2b2中选择而a2b2(ab)a(a1)b(b1)又因为0a1,0b1,所以a
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