最新高中数学人教版必修4_教案+-+复制名师优秀教案.doc
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1、第一章:三角函数1.11 任意角终边相同角的集合的表示;区间角的集合的书写一、引入:1回顾角的定义角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形二、新课:1角的有关概念:角的定义:角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形始边终边顶点AOB角的名称:角的分类:负角:按顺时针方向旋转形成的角 正角:按逆时针方向旋转形成的角零角:射线没有任何旋转形成的角注意:在不引起混淆的情况下,“角 ”或“ ”可以简化成“ ”;零角的终边与始边重合,如果是零角 =0;角的概念经过推广后,已包
2、括正角、负角和零角练习:请说出角、各是多少度?2象限角的概念:定义:若将角顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么角的终边(端点除外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角例1如图中的角分别属于第几象限角?B1yOx45B2OxB3y3060o例2在直角坐标系中,作出下列各角,并指出它们是第几象限的角 60; 120; 240; 300; 420; 480;答:分别为1、2、3、4、1、2象限角终边相同的角的表示:所有与角终边相同的角,连同在内,可构成一个集合S | = + k360 ,kZ,即任一与角终边相同的角,都可以表示成角与整个周角的和注意: kZ 是任一角; 终边相同的角不
3、一定相等,但相等的角终边一定相同终边相同的角有无限个,它们相差360的整数倍; 角 + k720 与角终边相同,但不能表示与角终边相同的所有角例3在0到360范围内,找出与下列各角终边相等的角,并判断它们是第几象限角120;640 ;95012答:240,第三象限角;280,第四象限角;12948,第二象限角;例4写出终边在y轴上的角的集合(用0到360的角表示) 解: | = 90+ n180,nZ例5写出终边在上的角的集合S,并把S中适合不等式360720的元素写出来4课堂小结角的定义;角的分类:负角:按顺时针方向旋转形成的角 正角:按逆时针方向旋转形成的角零角:射线没有任何旋转形成的角象
4、限角;终边相同的角的表示法1.1.2弧度制(一)弧度制的性质:半圆所对的圆心角为 整圆所对的圆心角为正角的弧度数是一个正数 负角的弧度数是一个负数零角的弧度数是零 角的弧度数的绝对值|=4角度与弧度之间的转换: 将角度化为弧度:; ;将弧度化为角度:;5常规写法: 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少 的形式, 不必写成小数 弧度与角度不能混用6特殊角的弧度角度030456090120135150180270360弧度07弧长公式弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积1.2.任意角的三角函数1. 三角函数的定义2. 诱导公式二、讲解新课: 当角的终边上一点的坐标满足时,有三角
5、函数正弦、余弦、正切值的几何表示三角函数线。1有向线段:坐标轴是规定了方向的直线,那么与之平行的线段亦可规定方向。规定:与坐标轴方向一致时为正,与坐标方向相反时为负。有向线段:带有方向的线段。2三角函数线的定义:设任意角的顶点在原点,始边与轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与点,过作轴的垂线,垂足为;过点作单位圆的切线,它与角的终边或其反向延长线交与点.()()由四个图看出:当角的终边不在坐标轴上时,有向线段,于是有, ,我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。说明:(1)三条有向线段的位置:正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段;余弦线在轴上;正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上
6、,三条有向线段中两条在单位圆内,一条在单位圆外。(2)三条有向线段的方向:正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点;余弦线由原点指向垂足;正切线由切点指向与的终边的交点。(3)三条有向线段的正负:三条有向线段凡与轴或轴同向的为正值,与轴或轴反向的为负值。(4)三条有向线段的书写:有向线段的起点字母在前,终点字母在后面。 例5. 利用单位圆写出符合下列条件的角x的范围 答案:(1);(2);例1.利用三角函数线比较下列各组数的大小:1 与 2 与 解: 如图可知: tan tan 例2利用单位圆寻找适合下列条件的0到360的角xyoTA21030xyoP1P21 sina 2 tana 解: 1 2
7、 30a150 30a90或210a270补充:1利用余弦线比较的大小; 2若,则比较、的大小; 3分别根据下列条件,写出角的取值范围: (1) ; (2) ; (3)1.2.1任意角的三角函数一、复习引入:初中锐角的三角函数是如何定义的?在RtABC中,设A对边为a,B对边为b,C对边为c,锐角A的正弦、余弦、正切依次为 角推广后,这样的三角函数的定义不再适用,我们必须对三角函数重新定义。二、讲解新课: 1三角函数定义在直角坐标系中,设是一个任意角,终边上任意一点(除了原点)的坐标为,它与原点的距离为,那么(1)比值叫做的正弦,记作,即;(2)比值叫做的余弦,记作,即;(3)比值叫做的正切,
8、记作,即;(4)比值叫做的余切,记作,即;说明:的始边与轴的非负半轴重合,的终边没有表明一定是正角或负角,以及的大小,只表明与的终边相同的角所在的位置; 根据相似三角形的知识,对于确定的角,四个比值不以点在的终边上的位置的改变而改变大小;当时,的终边在轴上,终边上任意一点的横坐标都等于,所以无意义;同理当时,无意义;除以上两种情况外,对于确定的值,比值、分别是一个确定的实数,正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量,比值为函数值的函数,以上四种函数统称为三角函数。函 数定 义 域值 域2三角函数的定义域、值域注意:(1)在平面直角坐标系内研究角的问题,其顶点都在原点,始边都与x轴的非负半轴重合.(
9、2) 是任意角,射线OP是角的终边,的各三角函数值(或是否有意义)与ox转了几圈,按什么方向旋转到OP的位置无关.(3)sin是个整体符号,不能认为是“sin”与“”的积.其余五个符号也是这样.3例题分析例1求下列各角的四个三角函数值: (通过本例总结特殊角的三角函数值)(1); (2); (3) 解:(1)因为当时,所以, , , 不存在。(2)因为当时,所以, , , 不存在,(3)因为当时,所以, , 不存在, ,例2已知角的终边经过点,求的四个函数值。解:因为,所以,于是; ; 例3已知角的终边过点,求的四个三角函数值。解:因为过点,所以, 当;当; 4三角函数的符号由三角函数的定义,
10、以及各象限内点的坐标的符号,我们可以得知:正弦值对于第一、二象限为正(),对于第三、四象限为负();余弦值对于第一、四象限为正(),对于第二、三象限为负();正切值对于第一、三象限为正(同号),对于第二、四象限为负(异号)说明:若终边落在轴线上,则可用定义求出三角函数值。练习: 确定下列三角函数值的符号:(1); (2); (3); (4)例4求证:若且,则角是第三象限角,反之也成立。5诱导公式由三角函数的定义,就可知道:终边相同的角三角函数值相同。即有:,其中,这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为02间角的三角函数值问题例5求下列三角函数的值:(1), (2),例6求函数的值域解
11、: 定义域:cosx0 x的终边不在x轴上 又tanx0 x的终边不在y轴上当x是第象限角时, cosx=|cosx| tanx=|tanx| y=2 , |cosx|=-cosx |tanx|=-tanx y=-2, |cosx|=-cosx |tanx|=tanx y=01.2.2同角三角函数的基本关系一、复习引入:1任意角的三角函数定义:设角是一个任意角,终边上任意一点,它与原点的距离为,那么:, 2当角分别在不同的象限时,sin、cos、tg的符号分别是怎样的?3背景:如果,A为第一象限的角,如何求角A的其它三角函数值;二、讲解新课: (一)同角三角函数的基本关系式:(板书课题:同角的
12、三角函数的基本关系)1. 由三角函数的定义,我们可以得到以下关系:(1)商数关系: (2)平方关系:说明:注意“同角”,至于角的形式无关重要,如等;注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的,如;对这些关系式不仅要牢固掌握,还要能灵活运用(正用、反用、变形用),如:, , 等。2例题分析:一、求值问题例1(1)已知,并且是第二象限角,求(2)已知,求解:(1), 又是第二象限角, ,即有,从而, (2), ,又, 在第二或三象限角。当在第二象限时,即有,从而,;当在第四象限时,即有,从而,总结:1. 已知一个角的某一个三角函数值,便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值中,确定角的终边位
13、置是关键和必要的。有时,由于角的终边位置的不确定,因此解的情况不止一种。2. 解题时产生遗漏的主要原因是:没有确定好或不去确定角的终边位置;利用平方关系开平方时,漏掉了负的平方根。例2已知为非零实数,用表示解:,即有,又为非零实数,为象限角。当在第一、四象限时,即有,从而, ;当在第二、三象限时,即有,从而, 例3、已知,求 解: 强调(指出)技巧:1 分子、分母是正余弦的一次(或二次)齐次式注意所求值式的分子、分母均为一次齐次式,把分子、分母同除以,将分子、分母转化为的代数式;2 “化1法”可利用平方关系,将分子、分母都变为二次齐次式,再利用商数关系化归为的分式求值;小结:化简三角函数式,化
14、简的一般要求是:(1)尽量使函数种类最少,项数最少,次数最低;(2)尽量使分母不含三角函数式;(3)根式内的三角函数式尽量开出来;(4)能求得数值的应计算出来,其次要注意在三角函数式变形时,常将式子中的“1”作巧妙的变形,二、化简练习1化简解:原式练习2三、证明恒等式例4求证:证法一:由题义知,所以左边=右边原式成立证法二:由题义知,所以又,证法三:由题义知,所以,总结:证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程,证明时常用的方法有:(1)从一边开始,证明它等于另一边; (2)证明左右两边同等于同一个式子;(3)证明与原式等价的另一个式子成立,从而推出原式成立。参考资料化
15、简解:原式 思考1已知,求 解:1 由 由 联立: 2 2、已知 求解:sin2a + cos2a = 1 化简,整理得:当m = 0时,当m = 8时,13诱导公式(一)一、复习:诱导公式(一)诱导公式(二)诱导公式(三)诱导公式(四)对于五组诱导公式的理解 :这四组诱导公式可以概括为:总结为一句话:函数名不变,符号看象限二、新课讲授:1、诱导公式(五) 2、诱导公式(六) 总结为一句话:函数正变余,符号看象限例1将下列三角函数转化为锐角三角函数:练习3:求下列函数值:例2证明:(1)(2)例3化简: 解:小结:三角函数的简化过程图:公式一或二或四任意负角的三角函数任意正角的三角函数0036
16、00间角的三角函数00900间角的三角函数查表求值公式一或三三角函数的简化过程口诀:负化正,正化小,化到锐角就行了.13诱导公式(二)一、复习:诱导公式(一)诱导公式(二)诱导公式(三)诱导公式(四)sin(pa)=sina cos(p a)=cosa tan (pa)=tana诱导公式(五)诱导公式(六)二、新课讲授:练习1将下列三角函数转化为锐角三角函数:练习2:求下列函数值:例1证明:(1)(2)例2化简: 解:例4. 小结:三角函数的简化过程图:公式一或二或四任意负角的三角函数任意正角的三角函数003600间角的三角函数00900间角的三角函数查表求值公式一或三三角函数的简化过程口诀:
17、负化正,正化小,化到锐角就行了.化简:例5. 1.4.1正弦、余弦函数的图象一、复习引入:1 弧度定义:长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。2.正、余弦函数定义:设是一个任意角,在的终边上任取(异于原点的)一点P(x,y)P与原点的距离r()则比值叫做的正弦 记作: 比值叫做的余弦 记作: 3.正弦线、余弦线:设任意角的终边与单位圆相交于点P(x,y),过P作x轴的垂线,垂足为M,则有,向线段MP叫做角的正弦线,有向线段OM叫做角的余弦线二、讲解新课: 1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象(几何法):为了作三角函数的图象,三角函数的自变量要用弧度制来度量,使自变量
18、与函数值都为实数在一般情况下,两个坐标轴上所取的单位长度应该相同,否则所作曲线的形状各不相同,从而影响初学者对曲线形状的正确认识(1)函数y=sinx的图象第一步:在直角坐标系的x轴上任取一点,以为圆心作单位圆,从这个圆与x轴的交点A起把圆分成n(这里n=12)等份.把x轴上从0到2这一段分成n(这里n=12)等份.(预备:取自变量x值弧度制下角与实数的对应).第二步:在单位圆中画出对应于角,,,2的正弦线正弦线(等价于“列表” ).把角x的正弦线向右平行移动,使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合,则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点(等价于“描点” ). 第三步:连线.用光滑曲线把这些正弦
19、线的终点连结起来,就得到正弦函数y=sinx,x0,2的图象根据终边相同的同名三角函数值相等,把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动,每次移动的距离为2,就得到y=sinx,xR的图象. 把角x的正弦线平行移动,使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合,则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx的图象. (2)余弦函数y=cosx的图象 探究1:你能根据诱导公式,以正弦函数图象为基础,通过适当的图形变换得到余弦函数的图象?根据诱导公式,可以把正弦函数y=sinx的图象向左平移单位即得余弦函数y=cosx的图象. (课件第三页“平移曲线” )正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的
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