2017_2018学年高中数学第三章变化率与导数1变化的快慢与变化率学案北师大版选修1_120180.wps
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1、11 变化的快慢与变化率 对应学生用书P34 平均变化率 某病人吃完退烧药,他的体温变化如下: x(min) 0 10 20 30 40 50 60 y() 39 38.7 38.5 38 37.6 37.3 36.8 问题 1:试比较时间 x从 0 min 到 20 min和从 20 min 到 30 min体温变化情况,哪段时间 体温变化较快? 提示:从 20 min 到 30 min变化快 问题 2:如何刻画体温变化的快慢? 提示:用平均变化率 问题 3:平均变化率一定为正值吗? 提示:不一定可正,可负,可为零 平均变化率 (1)定义:对一般的函数yf(x)来说,当自变量x从x1变为x2
2、时,函数值从f(x1)变为f(x2), fx2fx1 它的平均变化率为 . x2x1 其中自变量的变化 x2 x1称作自变量的改变量,记作 x,函数值的变化 f(x2) f(x1)称 作函数值的改变量,记作 y.这样,函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变 y fx2fx1 量的改变量之比,即 . x x2x1 (2)作用:刻画函数值在区间x1,x2上变化的快慢. 瞬时变化率 王先生于近日接到了一份交通违规处罚单,原因是上月某周日在一限速 70 km/h的路段超 速行驶王先生正上初中的儿子说:“一定是交警叔叔搞错了,那段路正好长 60 km,我们用 了一个小时,您当时还问我这段路我们
3、的平均速度呢!” 问题 1:限速 70 km/h 是指的平均速度不超过 70 km/h 吗? 1 提示:不是,是指瞬时速度 问题 2:瞬时速度与平均速度有何区别? 提示:瞬时速度刻画的是物体在某一时刻运动的快慢;平均速度刻画的是物体在一段时间 内运动的快慢 问题 3:王先生在该路段平均速度为 60 km/h,是否可能超速行驶? 提示:有可能 瞬时变化率 (1)定义:对于一般的函数 yf(x),在自变量 x从 x0变到 x1的过程中,设 xx1x0, y fx1fx0 fx0xfx0 yf(x1)f(x0),则函数的平均变化率是 . x x1x0 x 而当 x 趋于 0 时,平均变化率就趋于函数
4、在 x0点的瞬时变化率 (2)作用:刻画函数在一点处变化的快慢 y fx0xfx0 1. 为平均变化率,其中 x可正、可负,不能为零 x x 2瞬时变化率的实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于 0 时的值 对应学生用书P35 求平均变化率 1 例 1 求函数 yx3在 x0到 x0x之间的平均变化率,并计算当 x01,x 时平 2 均变化率的值 思路点拨 直接利用定义求平均变化率,先求出表达式,再代入数据,就可以求出相应 平均变化率的值 精解详析 yf(x0x)f(x0) (x0x)3x30 3x20x3x0(x)2(x)3, 函数 yx3在 x0到 x0x之间的平均变化率为: y 3x20
5、3x0x(x)2. x 1 当 x01,x 时, 2 2 1 1 19 平均变化率的值为 31231 ( )2 . 2 2 4 一点通 求平均变化率的步骤是: (1)先计算函数值的改变量 yf(x1)f(x0); (2)再计算自变量的改变量 xx1x0; y fx1fx0 (3)求平均变化率 . x x1x0 1在平均变化率的定义中,自变量的增量 x满足( ) Ax0 Bx0 Cx0 Dx0 答案:C 2一物体的运动方程是 s3t2,则在一小段时间2,2.1内相应的平均速度为( ) A0.41 B3 C4 D4.1 s 32.12322 解析: 4.1. t 2.12 答案:D 3求函数 yf
6、(x)2x25 在区间2,2x内的平均变化率 解:yf(2x)f(2) 2(2x)25(2225) 8x2(x)2, y 82x. x 即平均变化率为82x. 求瞬时变化率 1 例 2 以初速度 v0(v00)竖直上抛的物体,t s 时的高度 s与 t的函数关系为 sv0t 2 gt2,求物体在时刻 t0处的瞬时速度 思路点拨 本题可先求物体在 t0到 t0t之间的平均速度,然后求当 t趋于 0 时的 瞬时速度 1 1 精 解 详 析 s v0(t0 t) g(t0 t)2 gt 20) (v 0 gt0)t 2 (v0t0 2 1 2 g(t)2, s 1 v0gt0 gt. t 2 3 s
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