2017_2018学年高中数学第三章变化率与导数2导数的概念及其几何意义学案北师大版选修1_1201.wps
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1、22 导数的概念及其几何意义 对应学生用书P36 导数的概念 在高台跳水运动中,如果我们知道运动员相对于水面的高度 h(单位:m)与起跳后的时间 t(单位:s)存在关系 h(t)4.9t2 6.5t10,那么我们就能计算起跳后任意一段时间内的平均速度 v,通过平均速度 v来描述运动员的运动状态,但用平均速度一般 不能反映运动员在某一时刻的瞬时速度 问题 1:怎么求运动员在 t0时刻的瞬时速度? 提示:先求运动员在(t0,t0t)间平均速度 v,当 t趋于 0 时,平均速度就趋于运 动员在 t0时刻的瞬时速度 问题 2:当 x趋于 0 时,函数 f(x)在(x0,x0x)上的平均变化率即为函数
2、f(x)在 x0 处的瞬时变化率,你能说出其中的原因吗? 提 示:当 x趋于 0 时,x0x就无限接近于点 x0,这样(x0,x0x)上的平均变化率 就可以看作点 x0处的瞬时变化率 问题 3:函数 f(x)在 x0点的瞬时变化率叫什么? 提示:函数 f(x)在 x0点的导数 导数的定义 函数 yf(x)在 x0点的瞬时变化率是函数 yf(x)在 x0点的导数用符号 f ( x0)表示, 记作: fx1fx0 fx0xfx0 f(x0)lix m li m . 1x0 x1x0 x x0 导数的几何意义 在函数 yf(x)的图像上任取两点 A(x1,f(x1),B(x1x,f(x1x) 1 f
3、x1xfx1 问题 1: 是函数 f(x)在(x1,x1x)上的平均变化率,有什么几 x 何意义? 提示:函数 yf(x)图像上 A,B两点连线的斜率 问题 2:x趋于 0 时,函数 yf(x)在(x1,x1x)上的平均变化率即为函数 yf(x) 在 x1点的瞬时变化率,能否看成函数 yf(x)在(x1,f(x1)处的切线斜率? 提示:能 问题 3:函数 yf(x)在 x0处的导数的几何意义是什么? 提示:函数 yf(x)图像上点(x0,f(x0)处的切线斜率 导数的几何意义 函数 yf(x)在 x0处的导数,是曲线 yf(x)在点(x0,f(x0)处的切线的斜率 1函数 yf(x)在某点处的
4、瞬时变化率就是函数在该点处的导数 2导数的几何意义就是曲线上某点处的切线的斜率 对应学生用书P37 导数的概念及应用 x x 例 1 建造一栋面积为 x平方米的房屋需要成本 y万元,y是 x的函数,yf(x) 10 10 0.3,求 f(100),并解释它的实际意义 思路点拨 函数yfx在x 导数的定义 100处的瞬时变化率 解释f100的意义 精解详析 当 x从 100 变为 100x时,函数值 y关于 x的平均变化率为 f100xf100 x 100x 100x3100 1003 10x 1 1 10 10 100x10 当 x趋于 100 时,即 x趋于 0 时,平均变化率趋于 0.10
5、5,即 f(100)0.105, f(100)0.105 表示当建筑面积为 100 平方米时,成本增加的速度为 1 050 元/平方米, 2 也就是说当建筑面积为 100 平方米时,每增加 1 平方米的建筑面积,成本就要增加 1 050 元 一点通 利用导数定义求函数在某点处的导数的步骤: 第一步,求函数的增加量 yf(x0x)f(x0); y fx0xfx0 第二步,求平均变化率: ; x x y 第三步,求 f(x0)lxim0 . x 1.已知函数 yf(x)的图像如图所示,设函数 yf(x)从1 到 1 的平均变化率为 v1,从 1 到 2 的平均变化率为 v2,则 v1与 v2的大小
6、 关系为( ) Av1v2 Bv1v2 Cv1v2 D不能确定 y1 y2 解析:记 v1 tan 1,v2 tan 2,易知 12,所以 v1v2. x1 x2 答案:C 2已知函数 f(x)x21,则 f(1)_. 解析:yf(1x)f(1)(1x)211212x(x)2, y 2xx2 2x, x x y f(1) lim lim (2x)2. x0 x0 x 答案:2 3一个物体的运动方程为 s1tt2,其中 s 的单位是 m,t 的单位是 s,求物体在 3 s 末的瞬时速度 解:物体在 3 s 末的瞬时速度,即求物体在 t3 时的导数 s f3tf3 t t 13t3t21332 t
7、 t25t t5, t 函数在 t3 处的瞬时速度为 3 s s(3) lim lim (t5)5, t x0 x0 即物体在 3 s 末的瞬时速度为 5 m/s. 求曲线的切线方程 2 例 2 求曲线 f(x) 在点(2,1)处的切线方程 x 2 思路点拨 函数 f(x) 在 x2 时的导数即为点(2,1)处切线的斜率,故可先 x 求 f(2),再求曲线的切线方程 精解详析 由导数的几何意义,曲线在点(2,1)处的切线的斜率就等于函数 f(x) 2 在点(2,1)处的导数 x 而 f(2) lim x0 f2xf2 x 2 1 2x 1 1 lim lim ,故曲线在点(2,1)处的切线方程
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